문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 마방진 (문서 편집) [[분류:이산수학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]] [include(틀:이산수학)] || 4 || 9 || 2 || || 3 || 5 || 7 || || 8 || 1 || 6 || ||<-3>'''3×3 마방진의 예'''|| [목차] {{{+1 [[魔]][[方]][[陣]] / magic square}}} == 역사 == 마방진의 기원은 분명하지는 않으나 약 3000년 전 중국의 우(禹)나라의 우왕이 강의 치수공사를 하던 중에 물 속에서 나온 거북이 등에 있는 무늬를 보고 처음으로 생각해 내었다고 한다. 그 후 마방진은 신비한 전설과 같이 인도, 페르시아, 아라비아 상인들에 의해 서아시아, 남아시아, 유럽으로 전해졌다. n^^2^^개의 수를 n × n 사각형에 가로 세로 대각선의 합이 같도록 배열한 것. 수학의 요소임에도 불구하고 이름에 '魔'나 'magic'이란 글자가 있는 등 [[오컬트]]의 성격이 남아 있는데, 이는 과거에는 마방진을 신비한 힘이 깃들어 있는 [[부적]]처럼 여겼기 때문이다. 현재도 오컬트적인 [[탈리스만#s-1]]을 만들때 마방진을 사용한다. == 특징 == 보통은 1부터 n^^2^^까지 채운 것을 말한다. 넓은 의미로는 수를 특정한 모양으로 배열해서 정해진 단위의 합이 일정한 것. === 홀수 차수 마방진 === 홀수 마방진의 경우 대각선으로 숫자를 써가면서 다 채운 다음에 상하좌우에 튀어나온 숫자들을 반대편으로 넘기면 끝난다. 드라마 [[뿌리깊은 나무(SBS)|뿌리깊은 나무]]에서 [[세종(용비어천가 시리즈)|어린 세종]]이 이걸 스스로 찾아내는 장면이 나온다. || || || ~~9~~ || || || || || 8 || '''1''' || 6 || || || ~~7~~ || '''3''' || 5 || '''7''' || ~~3~~ || || || 4 || '''9''' || 2 || || || || || ~~1~~ || || || === 짝수 차수 마방진 === 짝수 마방진의 경우는 4×4의 경우와 이를 응용한 8×8(12x12, 16x16 등 4의 배수라면 동일한 방법으로 가능하다.) ==== [math(2^{n}\times 2^{n})] 차수 마방진 ==== 이 경우 [math(2^{n}\times 2^{n})](단, [math(n\geq 2)]) 매우 쉽게 만들어 진다. 2진법 표기를 응용하는데, 1에서 시작하여, 다음 점화식을 거치게 된다. (1). [math(a_1)]=1 (2). [math(n)]번째 단계를 [math(a_n)]이라 할 때, [math(a_{n+1}=a_{n}\times 2^{\lceil\log_{2}{a_n}\rceil}+b_{n})]([math(b_n)]은 [math(a_n)]의 1의 보수[* 2진법 숫자의 1과 0을 모조리 바꾸는 과정을 의미한다. 예를 들어서 1101의 보수는 0010이 된다. 실제로는 1101을 0000 1101로 봐서 1111 0010으로 만들어야 하지만, 여기서는 자리수는 무시.])[* 말은 어렵게 설명했지만, 실상은 전 단계의 수를 써 넣은 뒤, 전 단계의 수를 1과 0을 서로 바꿔서 뒤에 이어서 쓰면 된다.] 이 과정을 반복하면 다음과 같이 된다. [math(a_1=1)] [math(a_2=10)] [math(a_3=1001)] [math(a_4=1001\quad0110)] [math(a_5=1001\quad0110\quad0110\quad1001)] [math(a_6=1001\quad0110\quad0110\quad1001\quad0110\quad1001\quad1001\quad0110)] 식으로 전개된다. 이 중에서 [math(a_{2k+1})](단, [math(k \geq 2)])를 택하면 된다. 여기서 [math(a_{2k+1})]순열을 이용해서 [math(2^{k}\times 2^{k})] 마방진을 만들면 다음과 같다. 아래는 [math(a_5)]와 4×4를 예시로 들었다. 1) 먼저, 4×4 칸에 [math(a_5)]을 한 칸에 1자리씩 적어넣는다. [math(a_{2k+1})]를 택했다면 [math(2^{k}\times 2^{k})] 칸을 택하면 된다. || 1 || 0 || 0 || 1 || || 0 || 1 || 1 || 0 || || 0 || 1 || 1 || 0 || || 1 || 0 || 0 || 1 || 2) 그 후, 1부터 16까지를 칸에 맞춰 적어넣는다. 단, 1)에서 적은 수가 0일 경우는 생략한다. [math(a_{2k+1})]를 택했다면 1~[math(2^{2k})]를 적어넣으면 된다. || 1^^1^^ || 0 || 0 || 1^^4^^ || || 0 || 1^^6^^ || 1^^7^^ || 0 || || 0 || 1^^10^^ || 1^^11^^ || 0 || || 1^^13^^ || 0 || 0 || 1^^16^^ || 3) 이제 16에서 1까지를 칸에 맞춰 적어넣는다. 단 2)에서 숫자를 적어넣었을 경우는 생략한다. [math(a_{2k+1})]를 택했다면 [math(2^{2k})]~1을 적어넣으면 된다. || 1^^1^^ || 0^^15^^ || 0^^14^^ || 1^^4^^ || || 0^^12^^ || 1^^6^^ || 1^^7^^ || 0^^9^^ || || 0^^8^^ || 1^^10^^ || 1^^11^^ || 0^^5^^ || || 1^^13^^ || 0^^3^^ || 0^^2^^ || 1^^16^^ || 4) 1)에서 적어넣은 1과 0을 지운다. 이로서 완성. || 1 || 15 || 14 || 4 || || 12 || 6 || 7 || 9 || || 8 || 10 || 11 || 5 || || 13 || 3 || 2 || 16 || ==== 그 외 짝수차 마방진 ==== a×a차 마방진과 b×b차 마방진의 구성을 알고 있을 때, ab×ab차 마방진은 a차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식과 b차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식으로 만들어질 수 있다. 예를 들어서 12×12차 마방진의 경우, 12=3×4이므로 다음 두가지 구성이 만들어진다. ||<:><-12> 3×3차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식 || ||<:><-3> 1 ||<:><-3> 15 ||<:><-3> 14 ||<:><-3> 4 || ||<:>8 ||<:>1 ||<:>6 ||<:>134 ||<:>127 ||<:>132 ||<:>125 ||<:>118 ||<:>123 ||<:>35 ||<:>28 ||<:>33 || ||<:>3 ||<:>5 ||<:>7 ||<:>129 ||<:>131 ||<:>133 ||<:>120 ||<:>122 ||<:>124 ||<:>30 ||<:>32 ||<:>34 || ||<:>4 ||<:>9 ||<:>2 ||<:>130 ||<:>135 ||<:>128 ||<:>121 ||<:>126 ||<:>119 ||<:>31 ||<:>36 ||<:>29 || ||<:><-3> 12 ||<:><-3> 6 ||<:><-3> 7 ||<:><-3> 9 || ||<:>107 ||<:>100 ||<:>105 ||<:>53 ||<:>46 ||<:>51 ||<:>62 ||<:>55 ||<:>60 ||<:>80 ||<:>73 ||<:>78 || ||<:>102 ||<:>104 ||<:>106 ||<:>48 ||<:>50 ||<:>52 ||<:>57 ||<:>59 ||<:>61 ||<:>75 ||<:>77 ||<:>79 || ||<:>103 ||<:>108 ||<:>101 ||<:>49 ||<:>54 ||<:>47 ||<:>58 ||<:>63 ||<:>56 ||<:>76 ||<:>81 ||<:>74 || ||<:><-3> 8 ||<:><-3> 10 ||<:><-3> 11 ||<:><-3> 5 || ||<:>71 ||<:>64 ||<:>69 ||<:>89 ||<:>82 ||<:>87 ||<:>98 ||<:>91 ||<:>96 ||<:>44 ||<:>37 ||<:>42 || ||<:>66 ||<:>68 ||<:>70 ||<:>84 ||<:>86 ||<:>88 ||<:>93 ||<:>95 ||<:>97 ||<:>39 ||<:>41 ||<:>43 || ||<:>67 ||<:>72 ||<:>65 ||<:>85 ||<:>90 ||<:>83 ||<:>94 ||<:>99 ||<:>92 ||<:>40 ||<:>45 ||<:>38 || ||<:><-3> 13 ||<:><-3> 3 ||<:><-3> 2 ||<:><-3> 16 || ||<:>116 ||<:>109 ||<:>114 ||<:>26 ||<:>19 ||<:>24 ||<:>17 ||<:>10 ||<:>15 ||<:>143 ||<:>136 ||<:>141 || ||<:>111 ||<:>113 ||<:>115 ||<:>21 ||<:>23 ||<:>25 ||<:>12 ||<:>14 ||<:>16 ||<:>138 ||<:>140 ||<:>142 || ||<:>112 ||<:>117 ||<:>110 ||<:>22 ||<:>27 ||<:>20 ||<:>13 ||<:>18 ||<:>11 ||<:>139 ||<:>144 ||<:>137 || ||<:><-12> 4×4차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식 || ||<:><-4>8||<:><-4>1||<:><-4>6|| ||<:>113 ||<:>127 ||<:>126 ||<:>116 ||<:>1 ||<:>15 ||<:>14 ||<:>4 ||<:>81 ||<:>95 ||<:>94 ||<:>84 || ||<:>124 ||<:>118 ||<:>119 ||<:>121 ||<:>12 ||<:>6 ||<:>7 ||<:>9 ||<:>92 ||<:>86 ||<:>87 ||<:>89 || ||<:>120 ||<:>122 ||<:>123 ||<:>117 ||<:>8 ||<:>10 ||<:>11 ||<:>5 ||<:>88 ||<:>90 ||<:>91 ||<:>85 || ||<:>125 ||<:>115 ||<:>114 ||<:>128 ||<:>13 ||<:>3 ||<:>2 ||<:>16 ||<:>93 ||<:>83 ||<:>82 ||<:>96 || ||<:><-4>3||<:><-4>5||<:><-4>7|| ||<:>33 ||<:>47 ||<:>46 ||<:>36 ||<:>65 ||<:>79 ||<:>78 ||<:>68 ||<:>97 ||<:>111 ||<:>110 ||<:>100 || ||<:>44 ||<:>38 ||<:>39 ||<:>41 ||<:>76 ||<:>70 ||<:>71 ||<:>73 ||<:>108 ||<:>102 ||<:>103 ||<:>105 || ||<:>40 ||<:>42 ||<:>43 ||<:>37 ||<:>72 ||<:>74 ||<:>75 ||<:>69 ||<:>104 ||<:>106 ||<:>