문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 클라인의 병 (문서 편집) [include(틀:기하학·위상수학)] [[파일:external/upload.wikimedia.org/Klein_bottle_translucent.png]] [목차] == 개요 == Klein Bottle(Klein's Bottle). [[위상수학]]상의 특이입체. 간단히 말하자면 '''[[뫼비우스의 띠]]의 [[3차원]] 버전.''' 클라인 대롱이라고도 한다. 4차원에선 표현 가능하나 3차원에선 표현하지 못한다. [[독일]]의 수학자 [[펠릭스 클라인]](Felix Klein)이 만들었다고 해서 이런 이름이 붙었다. 원래 이름은 클라인의 '''면'''을 뜻하는 [[http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%81%B4%EB%9D%BC%EC%9D%B8_%EB%B3%91|Kleinsche Fläche]]였다고 하는데, 클라인의 '''병'''(Kleinsche Flasche)으로 [[오역|번역자가 잘못 보았다]]. 그리고 병이라는 오역을 독일어권이 받아들였다. == 상세 == 클라인의 병을 둘로 쪼개면 뫼비우스의 띠 모양이 나타난다. 각 띠의 가장자리가 맞붙은 형태. 뫼비우스의 띠A에서 한 쪽을 한 바퀴 돌고 다른 쪽으로 나올 때 뫼비우스의 띠B로 갈아타고, 뫼비우스의 띠 B에서 또 한 쪽으로 한 바퀴 돌고 다른 쪽으로 나올 때 뫼비우스의 띠A로 갈아타는 식이다. [[파일:external/3.bp.blogspot.com/klein.gif|width=100&align=center]] 뫼비우스의 띠와 마찬가지로 겉과 속이 일체화된 도형으로, 3차원상에서는 표현의 한계로 뚫고 들어가는 부분이 생기나 [[꼬인 위치|실제로는 그렇지 않다]]고 한다. 위 그림은 단지 보기 쉽게 3차원으로 표현한 것일 뿐이다. 여튼 위상수학을 공부하는 수학자라면 지겹게 보게 되는 도형. [[2차원]] 공간의 한계를 [[3차원]] 공간에서 해결한 [[뫼비우스의 띠]]와 비슷하게, 3차원의 한계를 [[4차원]]에서 해결한 초입방체로, 그 구조는 뫼비우스의 띠와 같아 안과 밖이 구분되지 않는다는 점이 특징이다. ||{{{#!wiki style="margin:-5px -10px" [[파일:attachment/토러스/ab-a-b.png|width=100%]]}}}|| * [[토러스]]([[원환면]]): 위 그림에서와 같이 평면의 가장자리를 서로 같은 방향으로 붙여주면 [[도넛]]모양의 원환면이 된다. 굳이 3D모델링을 안 써도 사무실에 굴러다니는 A4 용지로도 금방 만들 수 있을 정도로 간단하다. * 위 그림에서 한 쪽은 원환면처럼 그대로 붙여주고, 나머지 방향을 거꾸로 붙여주면 클라인의 병이 된다. (물론 3차원에서 이를 구현할 수는 없다.) * 가로축도 세로축도 거꾸로 붙여주면 [[사영평면]]이 된다. 이건 그림으로 도식화하기도 좀 애매할 정도. [youtube(dfhiVaJj9UY)] 당연하게도 우리가 사는 3차원에서 클라인의 병을 만드는 것은 불가능하다. 뫼비우스의 띠를 종이에 그릴 때 종이가 꼬아지는 부분은 면이 안 보이게 그리는 것처럼, 이 병을 3차원에서 만들기 위해서는 튜브에 구멍을 뚫어야 하기 때문. 그래서 클라인 병은 입체가 아닌 '초'입체로 분류된다. 그 중에는 겉으로 보이는 모양이 비슷하게 모형을 만든 것도 있지만, 이 모형들은 전부 구멍을 뚫은 탓에 안팎이 구분되므로 엄연히 같지는 않다. 현실에서 제대로 만든 모형은 뼈대만 있는 와이어프레임(wireframe) 모형뿐이다. 간단한 예로 클라인의 병에는 이론적으로 물을 담을 수 없어야 하지만, 우리가 사는 3차원에서 만든 모형은 물을 넣어보면 병 안쪽에 물이 찬다.[* 3분 35초부터 클라인의 병에 물을 넣고 빼내는 과정이 나온다.] 당연하게도, 이건 3차원 상에서 보이는 모양만 재현한 거라 그렇다. [[뫼비우스의 띠]]는 3차원상에선 띠를 뚫지 않고 안쪽에서 바깥쪽으로 나갈 수 있지만 2차원 그림으로 그렸을 땐 불가능한 것을 생각해 보자. [[3ds Max]] 같은 [[그래픽 툴]]을 이용해서 다음과 같은 과정으로 만들 수 있다. 그래픽 툴은 3D인데 어떻게 4D를 만들 수 있는가 의문이 들 수도 있는데, 위의 클라인 병은 3차원 이미지가 아닌 4차원 이미지다. 클라인 병은 3차원으로 보면 공중에 덩그러니 떠 있는 원 2개로 보일 뿐 병으로는 보이지 않을 것이다.[* 원이 2개인 이유는 4차원 위상이 시작점과 끝점이 같고, 그 사이에 극점이 하나인 그래프를 가지기 때문이다. 저 위의 도형에서 가느다란 부분을 눌러 안쪽으로 민다고 생각해보자. 그 경우 편의상 만들어놓았던 작은 구멍의 위치가 뒤로 이동하며, 점점 뒤로 이동하다가... 대략 그런 느낌이다.][* 정확히는 3D 툴에서도 만들 수 없긴 하다. 3D 툴에서 '면'은 앞뒷면의 구분이 존재하는데, 그림처럼 앞면과 뒷면을 서로 붙일 수 없기 때문. 때문에 구현하려면 두께를 주거나 시작부분과 끝부분의 면을 닫지 않고 점을 붙여두기만 해야한다.] || [[파일:external/upload.wikimedia.org/60px-Klein_Bottle_Folding_2.svg.png]] || 1. 속이 빈 원기둥을 준비한다.[* 꼭 원기둥이 아니라도 상관없다.] || || [[파일:external/upload.wikimedia.org/90px-Klein_Bottle_Folding_3.svg.png]] || 2. 1.을 ㄷ자 모양으로 구부린다. || || [[파일:external/upload.wikimedia.org/90px-Klein_Bottle_Folding_5.svg.png]] || 3. 2.에서 한쪽 끝을 반대쪽 끝의 벽에 쑤셔넣고 뚫려 있는 곳으로 그 끝을 빼낸다. || || [[파일:external/upload.wikimedia.org/90px-Klein_Bottle_Folding_6.svg.png]] || 4. 3.에서 삐져나온 부분을 '''뒤집어서''' 반대쪽 끝과 연결한다. || 한편, 이 도형을 [[4차원]] 방향으로 뒤집으면[* 이를 넣는다(immersion)고 한다.] 대략 아래와 같이 전혀 막히거나 겹쳐지는 부분이 없는 형태가 나온다. 쉽게는 그냥 클라인 병이 유령과 같이 실체가 없어서 스스로를 통과할 수 있다고 생각하고 뒤집는다 상상하면 된다. 그럼 고무줄이 두 번 꼬인 듯한 모습이 연상될 것이다. || [[파일:external/upload.wikimedia.org/220px-KleinBottle-Figure8-01.png]] || 각종 교육 서적에서는 '안과 밖이 구분되어 있지 않기 때문에 클라인 병에 물을 담을 수 없다'라고 설명하고는 하는 데 뫼비우스의 띠처럼 물이 병의 안쪽면을 타다보면 언젠가는 바깥쪽으로 나갈 수 있기에 틀린 설명은 아니다. 하지만 아무래도 3차원 공간에 사는 입장에서는 최소한 관이나 밑바닥 쪽에서 물이 고일 수 있는 것처럼 보이기 때문에 쉽게 이해가 가지 않는 설명이다. 따라서 앞서 설명했듯이 3차원에서 겉보기에는 병처럼 보이지만 실제로는 위 이미지 같이 애초에 무언가를 담을 수 없는 형상이기에 물을 담을 수 없다라고 이해하는 것이 편하다. 이는 우리가 3차원밖에 보지 못하기에 쉽게 이해하기 어려운 부분이며 초입방체를 직관적으로 받아들이기 어려운 사례 중 하나이다. == 대중매체에서 == *[[네이버 웹툰]] [[쿠베라(웹툰)|쿠베라]]에서 [[http://comic.naver.com/webtoon/detail.nhn?titleId=131385&no=94&weekday=tue|넌지시 언급되는 위상형태]]. 클라인의 병이라는 이름이 언급되지는 않지만, 뫼비우스의 띠의 양 모서리를 이어붙이면 나오는 위상으로 언급된다. 당연히 3차원에 사는 보통 인간들은 클라인의 병조차 생각해 낼 수 없다.[* 상위랭크 마법사인 [[라나 레이미아]]조차 상상하지 못해서 실제로 만들어서 붙여보는 짓을 했다. 정확히는 교수가 과제로 낸 거라 '안되는걸 시킬리 없다'며 붙들고 있었다. 문제는 이 과제가 클라인의 병을 모르는 상태로 '''3차원에서는 구현이 불가능하다는 것'''을 직관적으로 알 수 있는지를 보기 위한 문제라는 것.] 구멍이 뚫리지 않은 제대로 된 답을 상상할 수 있는 인간은 계산 없이 마법을 사용할 수 있다.[* 고차원에 거주하는 수라나 신의 경우 이걸 무리없이 상상할 수 있고, 초월기를 사용하는 하프들도 가능한 모양이지만 순혈이나 쿼터의 경우는 엄청나게 드물다고 언급된다.] *[[조세희]] 작가의 연작소설 [[난장이가 쏘아올린 작은 공]]에 나오는 챕터 '클라인씨(氏)의 병'에서 언급된다. 피해자가 가해자가 되고, 가해자가 피해자가 되는 자본주의의 현실과 모든 사람이 불평등 없이 살고자 하는 희망을 나타내는 일종의 장치다. 주인공 [[영수]]는 클라인씨의 병을 보고 깨달음을 얻고 은강그룹 회장의 동생을 살해한다. *[[가면라이더 디케이드]]에서 [[가면라이더 디케이드(가면라이더)]]가 사용하는 [[라이드 북커]]도 이 병의 형식을 이용해서 카드를 무한히 담을 수 있고, 사용자의 원하는 생각에 따라서 원하는 카드가 자동적으로 맨 앞으로 나오는 형식을 이용하기에 싸울때 라이드 북커에서 일일이 카드를 찾지 않는다. 그리고 라이드 북커 건 모드의 에너지원이나 [[머신 디케이더]]의 연료도 클라인의 병을 통해 무한정 공급할 수 있다고 한다. *[[매직 더 개더링]]의 Elkin Bottle은 클라인의 애너그램이며 그림 역시 클라인의 병이다. [[http://gatherer.wizards.com/Pages/Card/Details.aspx?multiverseid=2403|카드 그림]] *[[리비아썬]]에서는 이 병에 시체들을 숨겨서 옮긴 뒤, 특수한 허브와 소금을 넣은 단지에 넣어서 부활시키는 갈바룬[* 작품 속에서 등장하는 중동 국가들을 모델로 한 가상의 국가 중 하나.]인들이 나온다. *[[폴아웃: 뉴 베가스]]의 DLC인 [[올드 월드 블루스]]의 [[싱크 탱크(폴아웃: 뉴 베가스)|싱크 탱크]]의 일원인 '''클라인 박사'''의 이름도 여기서 따왔다. 다른 멤버들의 이름도 모두 '''무한함'''을 상징하는 단어에서 따왔다는 걸 생각하면 싱크 탱크의 속성과도 잘 연결되는 설정이다. *[[일본]]의 [[추리 소설]] 중에도 여기에서 제목을 따온 '클라인의 항아리(クラインの壺)'라는 작품이 있다. 1993년에 나온 작품으로 VR([[가상현실]]) [[게임]]을 소재로 하고 있다. 참고로 이 소설에서 유래된게 [[소드 아트 온라인]]의 등장인물인 [[클라인(소드 아트 온라인)|클라인]]이다. *베르나르 베르베르의 소설 [[잠(베르나르 베르베르)|잠]]에서도 등장한다. 주인공의 성이 클라인이며 이는 클라인 병에서 유래하였다. 클라인 병과 같이 현실세계와 인간 내면은 연속적이며 내면의 성찰을 통해 현실의 진실에 접근할 수 있다는 것을 비유하고자 사용하고 있다. *[[용자왕 가오가이가]]의 [[기계31원종]] 중 폐원종은 이 클라인의 병을 만드는 능력을 지녔고, 이를 사용해 [[GGG(용자왕 가오가이가)|GGG]]와 제이더를 봉인했다. 그러나 [[스타 가오가이가]]가 시전한 더블 헤드 드라이버로 찰나의 순간에 구멍이 생겨[* 이 때 [[시시오 레오]]가 언급한 탈출법은 위상수학적 의미로 해석한 [[중간값 정리]]의 일종이다. 클라인 스페이스의 각 지점의 곡률이 급격하게 변하기 때문에, 중간값 정리에 의해 곡률이 '''통상공간과 일치하는''' 점이 존재할 수 밖에 없고, 그 점에 억지로 '''블랙홀급 공간변동을 일으킬 수 있는''' 두 드라이버의 힘을 최대로 발휘해서 깨버린 것. 작중 용어로는 '''레프리션 필드와 어레스팅 필드의 최대 곡률이 일치하는 특이쌍곡점이 존재한다'''라고 언급하는데, 여기서 말하는 레프리션 필드는 확장되려는 힘. 즉 '''음의 곡률''' 필드이며, 어레스팅 필드는 수축시키려는 힘. 즉 '''양의 곡률''' 필드다.] 제이더가 탈출해 밖에 있던 [[제이 아크]]와 메가퓨전해 폐원종을 쓰러트려 클라인의 병은 소멸했고, GGG는 해방된다. * [[유희왕]]의 [[토폴로직 폭탄 드래곤]]은 클라인의 병을 어깨뽕(?)으로 쓰는 위엄을 보여준다. *[[푸른 강철의 아르페지오]]에 등장하는 [[안개의 함대]]가 사용하는 방어막인 '클라인 필드'는 이 클라인의 병의 원리를 이용한 것이다. * [[아카데미에 위장취업당했다]] 68화 마력의 공감각편 에서 주인공 [[루드거 첼리시]]가 자신의 강의를 듣는 [[아카데미에 위장취업당했다/등장인물 #s-2.2| 플로라 루모스]] 에게 자신이 연구중인 마법술식 '클라인 병'을 보여준다.[* 마법술식이란 마력이 흐르는 그림인데, 그걸 3차원으로 옮기고 또 3차원의 뫼비우스의 띠 같은 이 클라인 병에까지 옮기려 하고 있는 것이다.] == 관련 문서 == * [[뫼비우스의 띠]] * [[사영평면]] [[분류:기하학]][[분류:위상수학]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기