와 의 내적 ap + bq + cr = 0이어야 한다.
* 직선의 방정식이 (x - A)/a = (y - B)/b, z = c와 같이 특정한 좌표가 상수일 경우 그 직선과 평행한 평면은 해당 좌표의 값이 일정한 평면이다. 예를 들어 (x - 1)/2 = (y - 1)/4, z = 3으로 나타내어지는 직선과 평행한 평면은 z = k(k는 상수) 꼴로 나타내어지는 평면이다. 단, 여기서 z = 3인 경우 평면이 직선을 포함하므로 교점은 무한히 많다.
* 직선이 평면에 포함되어 교점이 무한히 많은 경우: 직선의 방정식을 만족시키는 모든 점 (x, y, z)가 평면의 방정식을 만족시켜야 한다. 직선 (x - A)/a = (y - B)/b = (z - C)/c에서 (x - A)/a = (y - B)/b = (z - C)/c = t라 하면 x = at + A, y = bt + B, z = ct + C가 되고, 이를 평면의 방정식 px + qy + rz + s = 0에 대입할 때 이것이 t에 대한 항등식이 되어야 한다. 즉 p(at + A) + q(bt + B) + r(ct + C) + s = (ap + bq + cr)t + Ap + Bq + Cr + s = 0이 t에 대한 항등식이 되어야 하므로, ap + bq + cr = 0, Ap + Bq + Cr + s = 0이 되어야 한다. 여기서 직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터의 내적이 0임을 알 수 있다.
* 이를 검토하는 방법도 있는데, 직선 위의 2개의 점이 평면에 포함되는지의 여부를 알아보는 것이다. 직선 위의 2개의 점이 모두 평면에 포함되면 직선 전체가 평면에 포함된다. 직선 위의 두 점을 각각 (A, B, C), (A + a, B + b, C + c)라 하고 이를 평면의 방정식에 대입하면 각각 ① Ap + Bq + Cr + s = 0, ② (A + a)p + (B + b)q + (C + c)r + s = 0이 되는데, ②에서 ①을 빼면 ③ ap + bq + cr = 0이 된다. 여기서 ①과 ③은 상술한 't에 대한 항등식이 될 조건'과 같다.
* 교점이 1개인 경우: 위 2가지에 해당되지 않는 경우이다. 즉 직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터의 내적이 0이 아니기 때문에, 서로 수직이 아닌 경우이다.
예를 들어 보자.
* 직선 (x - 1)/2 = (y - 1)/3 = (z - 1)/5와 평면 x + y - z + 1 = 0이 있다고 하자. 직선의 방향벡터 <2, 3, 5>와 평면의 법선벡터 <1, 1, -1>의 내적은 0이므로 직선과 평면은 평행하거나 직선이 평면에 포함된다. 이때 (x - 1)/2 + (y - 1)/3 + (z - 1)/5 = t라 하면 x = 2t + 1, y = 3t + 1, z = 5t + 1이고 이를 x + y - z + 1 = 0에 대입하면 (2t + 1) + (3t + 1) - (5t + 1) + 1 = 2 ≠ 0이므로 직선이 평면에 포함되지 않는다. 따라서 직선과 평면은 평행하므로 교점이 존재하지 않는다.
* 직선 (x - 3)/3 = (y - 1)/2 = z - 1과 평면 x - y - z - 1 = 0이 있다고 하자. (x - 3)/3 = (y - 1)/2 = z - 1 = t이면 x = 3t + 3, y = 2t + 1, z = t + 1이고, 이를 x - y - z + 1 = 0에 대입하면 (3t + 3) - (2t + 1) - (t + 1) - 1 = 0이 되고, 이를 계산하면 0 = 0이므로 항등식이 된다. 따라서 직선이 평면에 포함되므로 교점은 무한히 많다. 실제로 직선 위의 점 (3, 1, 1)과 (6, 3, 2)를 평면의 방정식에 대입하면 모두 0 = 0이 나온다.
* 직선 x = y = z와 평면 x + y + z = 0의 경우, 직선의 방향벡터 <1, 1, 1>과 평면의 법선벡터 <1, 1, 1>의 내적은 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0이므로 교점이 1개이다. 실제로 교점을 구해 보면 원점 하나뿐이다.