문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 극한 (문단 편집) === [[초실수체|비표준 해석학]]에서의 정의 === 엡실론-델타 논법이 나온 이래, 무한소라는 존재는 별 주목을 받지 못하게 되다가, 다시 150년 후인 20세기 후반에 아브라함 로빈슨, Detlef Laugwitz 등의 수학자가 실수에서 성립하는 1차 논리 문장으로 표현 가능한 명제는 모두 그대로 성립하면서 무한소와 무한대를 포함하는 수체계인 [[초실수체|초실수]]라는 엄청난 물건을 가지고, 비표준 해석학이란 것을 만들었다. 비표준해석학에서는 엡실론-델타 논법 대신 무한소를 이용하여 해석학의 정리들을 똑같이 증명할 수 있다. 비표준 해석학에서 극한을 어떻게 정의하는지 알기 위해서는 '''확장원리'''와 '''전달원리'''에 대해 알아야 하는데, 쉽게 얘기해서 확장원리는 실함수 [math(f)]의 자연스러운 확장인 초실함수 [math(f^{*})]가 존재한다는 것이고, 전달원리란 쉽게 얘기해서, 실수에 대해 [math(f)]가 만족하는 [[술어 논리|1차 논리]]로 표현 가능한 명제는 초실수에 대해 [math(f^{*})]도 만족한다는 것이다. 예를들어, 삼각함수 [math(\sin x,\:\cos x)]에 대해, 확장원리에 따라 자연스러운 확장인 초실함수 [math(\sin^{*}x, \cos^{*}x)]가 존재해서, 전달원리에 의해 임의의 초실수 [math(x)]에 대해 [math(-1\leq\sin^{*}x\leq1)], [math(\cos^{*2}x+\sin^{*2}x=1)] 등의 명제가 참이라는 것이다. '''표준부분원리'''란, 임의의 유한 초실수[math(a)]에 대해 [math(a={\rm st}(a)+\epsilon)]을 만족하는 실수 [math({\rm st}(a))]와 무한소 [math(\epsilon)]이 유일하게 존재한다는 것이다.[* 임의의 실수에 대해 실수의 소수부분과 정수부분의 합으로 유일하게 나타낼 수 있는 것과 비슷한 논리이다.] 여기서, [math({\rm st}(a))]를 [math(a)]의 표준부분이라 하는데, [math(a)]에 무한히 가까운 실수이다. 이 때, 일변수 실함수 [math(f)]의 [math(x\to c)]로의 극한은 다음과 같이 정의된다.[* 물론 이 정의는 엡실론-델타 논법과 완벽히 동치이다.] > 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)][* 한 쪽 극한에 대해서 생각할 필요가 있을 때에는, '임의의 무한소' 대신 '임의의 양(음)의 무한소'에 대해로 바꾸면 된다.]에 대해 > 1. [math({\rm st}(f^{*}(c+\epsilon))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=L)]이다. > 1. [math(f^{*}(c+\epsilon))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=\infty)]이다. > 1. [math(f^{*}(c+\epsilon))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=-\infty)]이다. 비슷하게, [math(x\to\infty)]일 때와 [math(x\to-\infty)]일 때의 극한은 > 임의의 양의 무한대 [math(H)]에 대해 > 1. [math({\rm st}(f^{*}(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=L)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=\infty)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=-\infty)]이다. > 임의의 음의 무한대 [math(H)]에 대해 > 1. [math({\rm st}(f^{*}(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=L)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\infty)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty)]이다. 예를 들어서 [math(\sin x)]는 임의의 실수 [math(x\neq 0)]에 대해, [math(|\sin x|<|x|)]가 성립해서, 확장원리와 전달원리에 의해 임의의 초실수 [math(x\neq 0)]에 대해 [math(|\sin^{*}x|<|x|)]가 성립하므로, 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대해, [math(-|\epsilon|<\sin^{*}\epsilon<|\epsilon|)]이 성립하고, [math(0={\rm st}(-|\epsilon|)\leq {\rm st}(\sin^{*}\epsilon)\leq {\rm st}(|\epsilon|)=0)] 이므로, [math(\lim\limits_{x\to 0}{\sin x}=0)]이다. [math(f)]가 대수 함수라면 더 간단한데, 예를 들어서 [math(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{2}})]일 때, 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대해, [math(f^{*}(\epsilon)=\displaystyle\frac{1}{\epsilon^{2}})]은 양의 무한대이므로, [math(\lim\limits_{x\to0}\displaystyle\frac{1}{x^{2}}=\infty)]이다. [math(f)]가 디리클레 함수라면 어떨까. 즉, [math(x\in \mathbb{Q})] 이면 [math(f(x)=1)]이고, [math(x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q})] 이면 [math(f(x)=0)]일 때, 유리수 [math(r)]로의 극한이 발산한다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. > 확장원리와 전달원리에 의해 [math(x)]가 초유리수이면 [math(f^{*}(x)=1)], [math(x)]가 초무리수이면 [math( f^{*}(x)=0)]이다. 자연수 [math(n)]이 주어지면, 무리수의 조밀성에 의해, [math(r저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기