문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 대수학 (문단 편집) ==== 학부 ==== 1~2학년 때 '''[[선형대수학]]''' 수강을 완료한 3학년들을 대상으로 하는 '''현대대수(학)''', 또는 '''추상대수(학)'''이라는 이름의 수업이 기본적인 [[군론]]과 [[환론]]을 다루며 시작한다. 교재들이 모두 [[해석학(수학)|해석학]]처럼 [[집합]]과 대수를 먼저 빠르게 다룬 후, 대수를 보다 적극적으로 활용하여 추상적으로 배우기 때문에 초심자 입장에서 추상적일수록 어렵게 느껴지긴 하지만, 이쪽을 선호하는 교수와 교과서들이 많아지면서 어쩔 수 없게 되었다. 현대대수학에서는 후반부에 가면 [[선형대수학]]을 선수과목으로 요구하나[* 갈루아 이론을 공부하기에 앞서 확대체(field extension. 어느 체 F가 주어질 때 F를 부분체로 가지는 체 K)의 다양한 유형을 배우는데, 이 때 확대체는 기존 체 위에서 정의된 벡터공간으로 취급하여 다뤄진다. 여러 대수학 서적에서 확대체를 다루는 챕터 중간에 뜬금없이 벡터공간을 다루는 소단원이 끼어들어있는 경우가 많은데 이런 이유에 기인한다. 선형대수학I 과정에서 배운 기저나 선형독립성 등이 이 부분에서 꽤나 요긴하게 쓰인다. 또한 가군(Module)을 다룰때, 특히 가환대수의 메인 테마인 가군은 특정 조건에 따라 선형대수와 공유하는 정리들이 상당히 많이 있어, 사실상 석사과정 이후로는 하나의 학문으로 취급된다.], 전반부는 집합론을 제대로 이해했다는 가정 하에는 정수론[* Well-ordering principle이나 Division Algorithm을 정수론에서 잘 배워 두면 환론과 다항식 부분을 이해하기 더 수월해진다. 계속 배우다 보면 중국인의 나머지 정리를 일반화한 것도 배우는데, 수강하다 보면 정수론 배워 놓길 잘했다는 생각이 들 정도이다. 물론 주 내용이 사전에 익숙하냐 아니냐의 차이일 뿐이라, 필수적으로 들어야 하는 과목까지는 아니다.] 외엔 따로 선수과목이 없다. 보통은 대수학 계열 교수가 정수론 수업도 오픈하는 경우가 많아서, 대수학 수업 초반부에서 '수강생들 대부분이 이 정도는 알겠지' 하고 정수론 부분을 가볍게만 다루고 넘어가는 교수도 있다. 이 경우에는 고생할 수도 있으니, 만약 정수론 과목을 수강하게 된다면 이왕 듣는 거 열심히 공부하도록 하자. 일반적으로 대학교의 현대대수학 수업은 3학년 과정으로, 두 학기에 걸쳐 진행된다. 첫 학기에는 [[군(대수학)|군]], [[환(대수학)|환]] 등을 배우고 최종적으로 [[3대 작도 불능 문제]]의 작도불능성을 증명[* 사실 세 개 모두를 증명하는 것은 아니고, 두 개만 일반적으로 보인다. ~~여기까지의 반년 넘는 삽질이 고통스러워서 그렇지~~ 작도를 다루는 챕터까지 와서 마주하는 증명은 많이 어렵지는 않다.]하며, '''첫 학기 수업은 높은 확률로 전공필수'''라서 수학과생이라면 도저히 피할 수가 없다. 두 번째 학기에는 [[갈루아 이론]]을 배우고 이때 5차 이상의 방정식이 insolvable by radicals한 것, 즉 5차 이상의 방정식부터는 방정식의 계수를 가지고 근호 씌우기와 사칙연산하기로 방정식의 근의 공식을 구하지 못함을 증명한다.[* 참고로 2~4차 방정식은 이러한 방식을 이용한 근의 공식이 존재한다. 2차방정식의 경우는 우리가 중학교 때 배우는 그 근의 공식이 맞다.] 그러나 여느 수학과 학부 과정이 그렇듯이 이것은 어디까지나 이상적인 진도로, 양이 너무 많아서 교수자나 학생이나 현대대수학 교과서 하나를 3학년 두 학기만으로 모두 달리는 것은 생각보다 쉽지 않다. 때문에 1학기에 군 진도만 다 나가기도 벅차서(군만 다뤄도 한도끝도 없이 수업을 이어나가는게 얼마든지 가능하다!) 환과 체, 가군을 2학기 때에 간신히 끝내는 학교들도 많은데, 덕분에 현대대수학 수업은 4학년 때에도 '대수학특강'이나 '호몰로지 대수', '갈루아 이론', '대수기하입문', '대수적 코딩이론', '체론' 등 화려한 간판으로 바꿔 달고 응용이나 심화학습 및 대학원 공부와의 연계를 추구하는 수업으로 계속 이어진다. 경우에 따라서는 4학년을 넘어 대학원에서도 이어진다. --하지만 전공필수 과목이 아니라서 3학년 수업에 비하면 강의실은 한산하다-- 물론 여기까지 배워도 여전히 걸음마 단계이다. 그러나 이 학부 수준의 대수학은 나중에 가면 [[해석학(수학)|해석학]]과 함께 많이 사용하는 툴이 된다. 예를 들어 [[대수적 정수론]]의 첫 장을 펴려면 [[갈루아 이론]]을 알아야 한다거나. 대체로 학부 수준 대수학 입문 과정에서는, 적어도 현대대수학 첫 학기 진도까지는 추상적이긴 해도 직관적으로 이해하기 쉬운 부분이 많아서 사람에 따라선 쉽다고 느껴질 수 있고, 경우에 따라선 뭐 이렇게 당연한 것을 증명하고 앉았냐고 생각할 수도 있다. 그러나 그런 과정을 하나하나 쌓는 것을 소홀히 하면 가면 갈수록 쏟아져 나오는 --이게 뭔 소리야 싶은-- 어렵고 난해한 내용에 당황하게 된다. 초반에 비직관적이고 어려운 개념들[* 해석학의 기본이자 극한에 관한 정리인 [[엡실론 델타 논법]], 실수의 성질을 다루는 공리인 [[실수(수학)#s-2|완비성 공리]], 좌표계의 위상적 성질을 다루는 [[콤팩트성|컴팩트 집합]] 등, 후반부 과정을 분석하기 위한 도구들이라고 보면 된다. 후반부 과정이 고등학교 1학년 ~ 대학교 1학년에 걸쳐 학부생들이 많이 접하여 익숙한 개념/정리들이라 그렇지, 그것들이 얼마나 논리적이고 어려운 토대 위에 세워졌는지를 알기 위한 사전작업이다.]이 쏟아져 나오지만 이에 익숙해지면 비교적 직관적인 대상들[* 미분, 적분, 수열, 급수, 함수 등 학부생들이 기존에 많이 접했지만 논리적 토대가 너무 복잡해서 중간 과정은 다 잘라먹고 결과물만 교과서에서 다룬 것들을 1학기 때 배운 것들을 통해 훨씬 자세히 분석한다. 물론 이것도 푸리에 해석/기초 측도론 과정을 다룬다면 온갖 낯선 개념이 장대비처럼 퍼부어대지만, 어쨌든 그것도 함수 미적분이라서 대수학 후반부 과정에 비하면 훨씬 익숙하고 직관적이다.]을 다루면서 수월해지는 해석학과는 과목 성격이 다르다고 보면 된다. 대수학은 초반에는 직관적이지만[* 기초 군론과 체론, 정수론 부분, 동형사상 정리 등 어지간한 1학기 과정 부분. 군론과 체론은 개념이 쉬운 편이라 한두 번 들어도 이해가 나름 수월한 편이고, 정수론 부분이나 동형사상 같은 경우는 이미 2학년 과정 때 선형대수학이나 정수론을 통해 접한 부분이라서 익숙한 편이다.] 후반에 추상적이고 비직관적인 대상들[* 실로우 정리, 갈루아 이론, 유클리드 정역 등, 1학기 과정 최후반부나 2학기 과정 중후반부 과정은 그간 배운 것들로 기존에는 배우지도 않았고 익숙하지도 않았던 비직관적이고 추상적인 것들을 분석하는 과정이기 때문에, 1학기 때 제대로 공부를 하지 않았으면 해석학II '따위'와는 비교할 수도 없는 고통에 시달릴 수도 있다.]이 쏟아져 나오기 때문이다. 해석학이 결과를 미리 알고 과정에서 고통받는 과목이라면, 대수학은 과정을 미리 알고 결과에서 고통받는 과목이라고 보면 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기