문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 매끄러움 (문단 편집) == [[해석학(수학)|해석학]]에서의 매끄러움 == 무한히 미분해도 계속 [[연속함수|연속]]인 함수의 성질을 '함수의 매끄러움'이라고 한다. 예를 들자면 [[삼각함수]] [math(\sin x)]은 미분하면 [math( \cos x )]이 되고, 다시 미분하면 [math(-\sin x)]이 되고... 가 계속 반복되는데, 이들은 모두 연속이기 때문에 매끄럽다고 할 수 있다. [[다항함수]]는 (차수+1)만큼 미분하고 나면 [math(0)]이 되는데, 일종의 상수함수로 생각할 수 있고, 상수함수는 연속이기 때문에 다항함수는 모두 매끄럽다. 지수함수나 로그함수도 물론 매끄럽다. 연속인 함수의 합성함수가 연속이므로 초등함수는 모두 매끄럽다. [[대칭함수|홀함수와 짝함수]]는 홀짝을 반복하는 형태로 매끄러운 함수이다.[* 물론 원래 함수가 매끄럽다는 가정 하에.] 미분이 몇 번 되는가를 기준으로 함수를 분류하기도 하는데, [math(C^{\infty})]이 매끄러운 함수들의 집합을 의미하며, [math(C^{k})]는 k-계도함수가 연속함수로 존재하는 함수들의 집합이다. [math(C^0)]은 연속인 함수의 집합이다. 한편 '''해석함수'''(analytic function)라는 함수의 클래스가 있는데, 이는 모든 점에 대해 그 점 근방에서 [[테일러 급수]]가 원래 함수로 수렴하는 함수들의 모임이다. 해석함수의 집합을 [math(C^{\omega})]라 쓰기도 한다. 이 다른 이름이 있는 이유는, [[병리적 함수|매끄럽지만 해석함수가 아닌 함수]]가 있기 때문이다. 다음의 [[조각적 정의]]된 함수가 자주 나오는 예시이다. [math( f(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & x > 0 \\ 0 & x \le 0 \end{cases})] 이 함수 [math(f)]는 [math(x=0)]에서 무한 번 미분할 수 있고 모든 미분계수가 0이다. 즉 매끄러운 함수이지만 [math(x=0)]에서의 테일러 급수는 0이므로 0점의 어떤 근방에서도 [math(f)]와 일치하지 않아 해석함수가 될 수 없다. --아무리 [[실해석학]]이 반례의 천국이라도 매끄러운 함수마저 이런 뒤통수를 치다니-- 대신 복소수에서 복소수로 가는 열린 집합 위의 복소함수에 대해서는 [math(C^1)] = [math(C^{\infty})] = [math(C^{\omega})]이 성립한다. 실수에서의 미분 가능보다 복소수에서 미분 가능이 훨씬 까다로운 조건이기 때문. 교재에서 한 번 미분했을 때 연속인 함수인 경우 매끄럽다고 표현한다면 정의역을 한 번 살펴보자. 덕분에 축복 받은 [[복소해석학]]에서는 매끄러움이란 말을 쓰지 않고 한 번 미분 가능하면 그냥 복소해석적(complex analytic)이라 부르고 끝내버린다. 물론 실수 등 정의역이 열린 집합이 아니면 전혀 성립하지 않는다. 다변수 미적분학에서는 비슷하게 모든 방향의 편도함수가 계속 [[연속함수|연속]]이면 된다. 해석함수도 비슷하게 정의할 수 있고, 역시 위의 예시처럼 매끄럽지만 해석함수가 아닌 함수도 있다. 위의 예시는 일부 구간에서 0이고 다른 구간에서 1인 매끄러운 함수 등을 마음대로 만들 수 있기 때문에 은근히 유용하게 쓰인다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기