문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 무리수 (문단 편집) === 무리수임을 [[증명]]하기 === [math(\sqrt 2)]가 무리수임을 증명하는 방법이 있다. 이 증명은 [[유클리드]]의 원론 13권에 나오는 유구한 증명이다. 단, 기존의 수학 이론을 집대성하려는 목적으로 쓰여진 원론이라는 책의 특성상 유클리드가 발견한 방법일 가능성은 낮다. > 1. [math(\sqrt 2)]를 [[귀류법|무리수가 아닌 유리수라 가정하고,]] [math(\sqrt 2 = \dfrac pq)]로 놓는다. 이 때 [math(p)]와 [math(q)]는 [[서로소]]인 정수이다. > 1. 양변을 제곱하여 [math(p^2 = 2q^2)]로 만든다. > 1. [math(p^2=2q^2)]이므로 [math(p^2)]은 짝수이며, 따라서 [math(p)]도 짝수다. [math(p = 2k)]로 놓고, 위의 식에 대입한다. > 1. [math(4k^2 = 2q^2)]에서 [math(q^2 = 2k^2)]이며 같은 논리로 [math(q)] 역시 짝수다. [math(p)]와 [math(q)]가 모두 짝수면 서로소라는 가정에 모순된다. 가정에 모순이 발생했으므로 가정은 거짓이며 [math(\sqrt 2)]는 유리수가 아니다. 이 문제가 [[서울대학교]] [[대학별고사]]에서 맨 처음 나왔을 때는 전국적인 [[관광]] 플레이를 선사했다. 시간이 지난 지금은 해법이 잘 알려져있다. 참고로 [math(n \ge 3)]인 정수에 대해 [math(2)]의 [math(n)][[제곱근]] [math(\sqrt[n] 2)]이 무리수인 것을 증명하는 것은 위의 방법과 같다. 서로소인 정수 [math(p)], [math(q)]에 대해 [math(\sqrt[n] 2 = \dfrac p q)]라 가정하고 양변을 [math(n)]제곱하면 [math(2 = \dfrac{p^n}{q^n} \Leftrightarrow 2q^n = p^n)]이므로 [math(p)]는 짝수, [math(p = 2k)]로 놓은 다음 [math(2q^n = 2^n k^n)], [math(q^n = 2^{n-1} k^n)]이므로 [math(q)]가 짝수, [math(p)], [math(q)]는 서로소라는 가정에 모순. 따라서 [math(\sqrt[n] 2)]는 무리수. 그리고 자연수의 [math(n)]제곱근의 실수해는 '''정수가 아닌 유리수인 경우가 존재하지 않는다.''' 증명법은 동치 명제인 '''정수가 아닌 유리수의 자연수 제곱이 자연수가 될 수 없다'''는 것을 증명하는 방법이다. 이것은 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타낸 후 분자와 분모를 소인수분해하면 지수법칙만으로도 간단하게 증명할 수 있다.[* 기약분수의 분자와 분모는 공통으로 가진 소인수가 없으므로 자연수 제곱을 해주어도 공통된 소인수가 없어 약분되지 않는다.] 그렇지만 무리수인지 유리수인지 증명되지 않은 실수도 있다. 예를 들어 [math(\pi)]와 [math(e)]는 무리수 임이 증명되었지만, 이 두수의 합 또는 차인 [math(\pi+e)]나 [math(\pi-e)]는 무리수인지 아닌지 증명되지 않았다. 다만 둘 중 적어도 하나가 무리수라는 사실은 알 수 있다.[* 둘을 합하면 무리수인 [math(2\pi)]가 되므로 둘 모두 유리수라고 가정하면 유리수끼리의 합은 항상 유리수가 된다는 점에 모순이 되기 때문이다.] 이는 유리수에서 실수로 확장하는 과정이 연산의 자유화를 위한 대수적인 확대(extension)가 아니라 수를 빼곡히 채워 넣고자 하는데서 온 완비화(completion)의 과정이기 때문이다.[* 오히려 실수에서 복소수로의 확장은 실수의 대수적인 확대로 유리수까지 구성하는 과정과 유사하다.] 연산과는 영 관련없는 방식으로 추가되었기 때문에 연산과의 관계를 알아내기가 정말 정말 어렵다.[* 다만 무리수 중 대수적인 수는 다항식에 뿌리를 두고 있어 연산과 관련이 깊다. ] [[원주율]] [[π|[math(\pi)]]]가 무리수임은 1761년에 람베르트[* [[람베르트 W 함수]]의 그 람베르트다.]에 의해 처음 증명되었다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기