문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 미분 (문단 편집) === 미분가능성과 연속 === 간단하게 말해서 미분가능이면 연속이다. 이것을 다음과 같이 나타낼 수 있다. >[math(f'(c))]의 값이 존재하면 [math(f)]는 [math(x=c)]에서 연속이다. 어떤 함수가 [math(x=c)]에서 연속이라는 것은 [math(\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = f(c))]이므로 이를 증명하면 된다. [math(x \ne c)]일 때, [math(\displaystyle f(x) = f(c) + \biggl\{ \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \biggr\} (x-c))]이므로 [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to c} f(x) &= \lim_{x \to c} \biggl\{ f(c) + \frac{f(x)-f(c)}{x-c} (x-c) \biggr\} \\ &= \lim_{x \to c} f(c) + \lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \cdot \lim_{x \to c} (x-c) \\ &= f(c) + f'(c) \cdot 0 \\ &= f(c) \end{aligned})] 이 정리의 역은 성립하지 않는다. 즉, [math(f)]가 [math(x=c)]에서 연속이더라도 [math(f)]가 [math(x=c)]에서 반드시 미분가능한 것은 아니다. 예를 들어 [math(y=|x|)] 같은 함수는 [math(x=0)]에서 연속이지만 좌우 미분계수가 다르므로 [math(x=0)]에서 미분가능하지 않다.[* 참고로 [math(|x|)]의 실제 미분은 [math(|x| \to \mathrm{sgn}(x) \to 2\delta(x) \to 2\delta'(x) \cdots)] 같은 식으로 흘러간다.] [[카를 바이어슈트라스]]는 [[바이어슈트라스 함수|'''모든 점에서 연속이지만 동시에 모든 점에서 미분 불가능한 함수''']]를 제시하기도 했다. 미분가능하지 않은 점에는 연속이 아닌 점, 첨점(뾰족점), 접선의 기울기가 발산하는 점[* 쉽게 말해 접선이 y축과 평행하거나 일치하는 경우. 예를 들면 [math(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{{\rm d} \sqrt{x}}{{\rm d}x} = \infty)]] 등이 있다. 일반적으로 복소함수의 미분가능성은 실함수의 미분가능성보다 훨씬 조건이 까다롭다. [[코시-리만 방정식]]의 해가 되어야 하기 때문. 가령 [[켤레복소수]] 함수 [math(f(z) = \overline{z})]는 복소평면 전체에서 연속이지만 코시-리만 방정식의 해가 되지 못해 미분 불가능하다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기