문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 미분 (문단 편집) === [[절댓값]]이 포함된 미분계수식 === [[절댓값]] 함수와의 [[합성함수]]의 미분계수는 [[부호 함수]]가 포함된 식의 꼴로 나타낼 수 있다. || [math(\begin{aligned} |f(x)|' &= (\operatorname{sgn} \circ f)(x)\,f'(x) \\ f(|x|)' &= \operatorname{sgn}(x)\,f'(|x|)\end{aligned})] || 혹은 다음과 같이 미분가능성을 생각할 수도 있다. >[math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능할 때, [math(|f(x)|)]가 [math(x=a)]에서 미분가능할 필요충분조건은 다음 중 하나를 만족하는 것이다. >1. [math(f(a)\ne 0)] >2. [math(f(a)=0)]이고 [math(f'(a)=0)] 증명: 1. [math(f(a)\ne 0)]인경우: [math(f(a)>0)]인 경우만 증명한다.[* [math(f(x)<0)]인 경우는 -만 붙여주면 된다.] [math(f(x))]는 [math(x=a)]에서 미분가능하므로 연속이다. 따라서 충분히 [math(a)]를 포함하는 충분히 작은 열린구간을 생각하면 이 구간에서 [math(f(x)>0)]이다. 즉, 이 구간에서 [math(|f(x)|=f(x))]이므로 [math(f(x))]가 미분가능하면 [math(|f(x)|)]도 미분가능하고 그 역도 성립한다. 2. [math(f(a)=0)]인 경우: [math(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|}{x-a})]의 좌극한과 우극한, 즉 [math(|f(x)|)]의 좌미분계수와 우미분계수를 생각하자. [math(x\to a+)]일 때 [math(x-a=|x-a|)]이므로 [math(\displaystyle \lim_{x\to a+}\frac{|f(x)|}{x-a}=\lim_{x\to a+}\left|\frac{f(x)}{x-a}\right|=|f'(a)|\cdots(1))] [math(x\to a-)]일 때 [math(x-a=-|x-a|)]이므로 [math(\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{|f(x)|}{x-a}=\lim_{x\to a-}-\left|\frac{f(x)}{x-a}\right|=-|f'(a)|\cdots(2))] [math(|f(x)|)]가 미분가능한 필요충분조건은 (1)과 (2)의 두 값이 같은 것이므로 [math(f'(a)=0)]이다. 한편, 여기서 1.과 2., [math(f(x)<0)]일 조건을 모두 만족하는 || [math(|f(x)|' = (\operatorname{sgn} \circ f)(x)\,f'(x))] || 로 일반화된 미분계수식을 얻을 수 있다. [math(\square)] ||<#fff> [[파일:2022 9평 수학 22.png|width=370&align=center]] || || '''2022학년도 9월 고3 22번''' || {{{#!folding 풀이 [펼치기 · 접기] ---- 문제의 식을 알기 쉽게 위하여 [math(|f(x)|=p(x))]로 두고, [math(-h=t)]로 치환하면 다음이 성립한다. || [math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{|f(x+h)|-|f(x-h)|}h&=\lim_{h\to 0+}\frac{p(x+h)-p(x-h)}h\\&=\lim_{h\to 0+}\frac{p(x+h)-p(x)}h-\lim_{\color{red}h\to 0+}\frac{p(x\,{\color{red}-\,h})-p(x)}{\color{red}h}\\&=\lim_{h\to 0+}\frac{p(x+h)-p(x)}h-\lim_{\color{red}t\to 0-}\frac{p(x\,{\color{red}+\;t})-p(x)}{\color{red}-\,t}\\&=\lim_{h\to 0+}\frac{p(x+h)-p(x)}h+\lim_{t\to 0-}\frac{p(x+t)-p(x)}t\end{aligned})] || 즉, 함수 [math(|f(x)|=p(x))]의 좌미분계수와 우미분계수의 합을 나타낸다. 이제 이 식 전체를 [math(q(x))]라 하고, [math(q(x))]의 연속성을 조사하자. 가령 [math(|f(x)|=p(x))]가 다음과 같은 개형인 경우를 보자. [[파일:분자에 절댓값이 포함된 미분계수식_수정.jpg|width=270&align=center]] 그림에 표시된 첨점을 제외한 [math(p(x))]의 모든 점은 미분가능하다. 이때는 좌미분계수와 우미분계수가 같고 미분계수가 그 값으로 정의된다. [math(q(x))]는 [math(p(x))]의 좌미분계수와 우미분계수의 합이므로, 미분가능한 점에서는 미분계수의 두 배가 된다. 미분가능한 모든 구간에서는 그 도함수가 다항식으로 주어지므로, 도함수가 연속이다. 따라서 미분가능한 구간에서는 [math(q(x))] 역시 연속이다. 그러나 '''첨점에서는 좌미분계수와 우미분계수가 다르다.''' 정확히는 '''반수'''([[反]][[數]]/opposite number, 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수) 관계이다. 왜냐하면 원래부터 수평선 위에 있던 부분은 [math(f(x))]의 미분계수(이 그림에서는 좌미분계수)를, 원래 아래에 있었으나 뒤집어 올리면서 대칭이동된 부분은 [math(-f(x))]의 미분계수(이 그림에서는 우미분계수)를 조사해야 하기 때문이다. 미분계수는 평균변화율의 극한이므로 결국 극한의 일종이다. 따라서 극한의 성질에 의하여 [math(-f(x))]의 미분계수는 [math(f(x))]의 미분계수에 음의 부호를 붙인 것과 같다. 따라서 위 그림의 첨점에서는 좌미분계수와 우미분계수가 정확히 반수 관계를 이루며, 첨점에서의 [math(q(x))]의 값은 모두 [math(0)]이다. 첨점 근방에서는 [math(q(x))]의 값이 [math(0)]이 아니므로, 결국 [math(\boldsymbol{q(x)})]'''는 [math(\boldsymbol{|f(x)|=p(x)})]의 첨점에서만 불연속'''이다. 참고로 [math(f(x)=(x+1)^2(x-2))]이고 정답은 [math(f(5)=108)]이다. [[연속함수#s-5]] 문서에서 밝힌 원리에 따라, [math(q(x))]가 불연속점을 갖는데 (가)에 따라 [math(g(x)=f(x-3)q(x))]가 연속함수가 되려면 첨점에서 [math(f(x-3)=0)]이 되어야 한다. 이 사실과 (나)를 적절히 이용하면 곡선 [math(f(x))]의 개형을 추론할 수 있다. ---- }}} ||<#fff> [[파일:2023년 3월 고3 수학 22번.jpg|width=370&align=center]] || || '''2023학년도 3월 고3 22번''' || {{{#!folding 풀이 [펼치기 · 접기] ---- [math(\displaystyle\lim_{x\to k}\frac{g(x)-g(k)}{|x-k|})]의 값이 존재하려면 다음과 같이 좌극한과 우극한의 값이 같아야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\displaystyle\lim_{x\to k-}\frac{g(x)-g(k)}{|x-k|}=\lim_{x\to k+}\frac{g(x)-g(k)}{|x-k|})]}}} 이때, 좌극한은 [math(x)]가 [math(k)]보다 작은 쪽에서 [math(k)]로 접근하는 극한이므로 [math(|x-k|=-(x-k))]가 되고, 우극한은 반대로 큰 쪽에서 접근하는 극한이므로 [math(|x-k|=x-k)]가 되므로 위 식의 양변을 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\displaystyle\lim_{x\to k-}-\frac{g(x)-g(k)}{x-k}=\lim_{x\to k+}\frac{g(x)-g(k)}{x-k})]}}} 다름이 아니라 좌변은 좌미분계수에 음의 부호를 붙인 것이고, 우변은 정확히 우미분계수이다. 즉, 문제의 극한값이 존재하려면 [math(g(x))]의 좌미분계수와 우미분계수가 모두 [math(0)]이어서 [math(x=k)]에서의 미분계수가 [math(0)]으로 정의되거나, [math(g(x))]의 좌미분계수와 우미분계수가 '''반수'''([[反]][[數]]/opposite number, 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수) 관계이면 된다. 이 경우 미분계수는 정의되지 않는다. 이것의 기하학적 의미를 알아보자. 가령, [math(f(x))]의 [[극값]]이 세 개인 경우는 다음과 같다. [[파일:분모에 절댓값이 포함된 미분계수식.jpg|width=360&align=center]] 위 그림과 같이, [math(g(x)=|f(x)-t|)]의 그래프의 개형은 [math(f(x))]의 그래프를 직선 [math(y=t)]에 대하여 뒤집어 올린 모양이다.[* 주의할 것은 '모양'(또는 '개형')만이 그렇다는 것이지 그림의 굵은 그래프가 정확히 [math(g(x))]의 그래프는 아니라는 점이다. 그림의 굵은 그래프의 정확한 방정식은 [math(g(x)=|f(x)-t|)]가 아니라 [math(y=|f(x)-t|+t)]이다. 그러나 상수항을 미분하면 [math(0)]이 되듯이, [math(t)]는 상수이므로 그래프를 위아래로 평행이동시킬 뿐 그래프의 개형에는 영향을 주지 않는다. 그래서 이 문제의 극한값이 존재하도록 하는 [math(k)]의 개수를 조사할 때에도 상수항 [math(t)]의 존재 여부는 전혀 중요하지 않다. 그래서 그림에서는 [math(g(x))]의 '개형'만을 고려하는 것이다.] 이때 초록색 점은 미분계수가 [math(0)]인 점이며, 빨간색 점은 좌미분계수와 우미분계수가 반수 관계인 점이다. 이 점들은 '''곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]를 수평선에 대하여 뒤집어 올리는 과정에서 발생하는 첨점'''이라고 할 수 있는데, 그 이유는 위 문제에서 설명한 바와 동일하다. [[서울특별시교육청]]에서는 다음과 같은 해설을 제시했다. [math(g'(k)=0)]이려면 [math(f'(k)=0)]이면 충분하며, 첨점에서는 [math(g(k)=f(k)=t)]임을 위 그림을 통해서도 쉽게 이해할 수 있을 것이다. [[파일:2023년 3월 고3 수학 22번 해설.jpg|width=250&align=center]] 참고로 문제에서 [math(f(x)=(x+2)^2(x-2)(x+6)+4)], [math(h(4)=5)]이며, 정답은 [math(f(4)+h(4)=724+5=729)]이다. [각주] }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기