문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 미분 (문단 편집) == 기타 == [[영국]] 수학계는 라이프니츠 식이 나온 이후에도 뉴턴 식을 고집하다가 결국 유럽 대륙에 비해 수학의 발전이 약 100~200년 뒤처지게 되었다. 뉴턴과 라이프니츠 이전에, 사실 [[피에르 드 페르마]]가 좌표평면 비슷한 것을 만들면서 접선을 구하는 방법을 생각해냈다.[* 좌표평면은 데카르트와 독자적으로 연구해서 '[[대수기하학]]'의 시초기도 하다.] 미분을 도입할 때 곡선상의 두 점에 대해 두 점을 잇는 직선인 할선을 생각한 후에, 한 점을 다른 한점에 극한으로 보내는 방식이 페르마가 생각했던 접선을 정의하는 방식이다. 다만 이는 모든 곡선에 보편적으로 적용할 수 있는 ''''완전한 해법'은 결코 아니었으며,''' 이러한 모든 곡선, 모든 점에서의 접선을 구할 수 있는 일반적인 방법은 뉴턴과 라이프니츠가 거의 동일한 시기에 '최초로' 발견해낸 것이 옳으며, 정확하게는 뉴턴이 더 빨랐다. [[물리]] 공부할 때에는 [[적분]]과 더불어 사실상 필수이다[* 애초에 그 유명한 [math(\mathbf{F}=m \mathbf{a})]도 미분방정식이다!]. 물론 [[고등학생]] 수준에서는 최고값/최저값 찾기에나 쓰지만, 배워 놓으면 꽤 편리할 뿐만 아니라 물리 개념 이해에 도움을 주기 때문에 배워놓는 것을 권장한다.[* 사실 대학별 논술시험에서는 막 나온다.] 상경계열 학생들에게도 필수다. [[경제학]]에서 모형분석 시 자주 사용하는 차원을 넘어서 경제원론 수준에서조차 탄력성, 한계효용 개념에서부터 미분 개념이 등장하기 때문에 [[미적분을 배우지 않은 문과생|못 하면 매우 피곤하다.]] 특히 [[미시경제학]]은 행위자들의 행동원리 자체가 효용극대화, 비용극소화, 이윤극대화, 사회후생극대화 등 일변수함수나 이변수함수를 미분하여 풀 수밖에 없는 방향으로 결론이 나기 때문에 그야말로 미분으로 시작해서 미분으로 끝난다.[* [[거시경제학]]의 경우는 학부에서는 [[연립방정식]], 대학원에서는 [[적분]]이 주로 쓰이지만, 애초에 미분과 적분은 한 세트인데다가, 학부 수준에서도 경제성장, 거시경제학의 미시적 기초와 같은 단원에서는 거의 미분으로 문제를 해결한다.] 공학에서도 공학수학의 기초 중 하나이기 때문에 필수다. 애초에 [[최적화]]라는 개념 자체를 미분과 따로 떼어 놓을 수 없다. 고로 사실상 수식을 사용하는 거의 모든 학문에 필수로 들어간다고 보면 된다. 사실 적분에 비해서는 계산이 훨씬 쉬운 편이다. 오죽하면 미분은 기술이지만 적분은 예술이라는 말이 있을 정도. 곱의 형태나 분수 형태로 된 함수도 공식만 잘 적용하면 쉽게 계산이 가능한 데다(참고로 곱이나 분수 형태의 함수를 적분하기 위한 일반적인 해법은 없다.[* 곱의 형태로 된 함수를 적분하기 위해 [[부분적분]]이란 기법이 등장하긴 했지만 (부분적분의 기법 자체는 f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)의 양변을 적분해본 일반화된 공식에서 등장한다) 이 방법을 써도 풀리기는커녕 오히려 더 복잡해지는 함수가 훨씬 많다(대표적으로 [math(e^x \tan x)]). 또 [[치환적분]]이란 테크닉이 있기도 하지만 치환적분은 이걸 이렇게 치환하면 계산이 편해지는구나~ 라고 '''이미 알고 있는''' 함수를 적분하기 위해서 쓰는 방법이다.]) 위에 설명한 chain rule의 존재로 인해 아무리 지수가 높아진 함수라도 계산이 복잡해질 뿐 도함수를 아예 못 구하는 경우는 많지 않기 때문이다. [math(y=x^x)] 처럼 겉보기에는 절대로 도함수를 못 구할 것처럼 보이는 함수도 양쪽에 로그를 취하고 연쇄 법칙을 사용하면 도함수를 구할 수 있다.[* [math(y=x^x, \log_e y=x \log_e x, \dfrac{y'}{y}=1+\log_e x, y'=y(1+\log_e x), y'=x^x+x^x\log_e x)]] 단, 지수, 로그, 삼각함수[* 그나마 지수 같은 경우는 미분해 보았자 원함수에 ln(a)만 붙으니 외우기 쉽다.] 같은 특수 함수의 도함수는 매번 극한을 써서 유도해내어 쓸 수 없으니 시험 잘 보려면 닥치고 외워야 한다(...). 정 뭣하면 [[오일러의 공식]]이라도 알아두자. 지수함수로부터 삼각함수를, 삼각함수로부터 지수함수를 유도해낼 수 있는 마법을 쓸 수 있다! 보다 고급 과정으로 들어가면 연속함수가 아닌 함수의 미분을 생각할 수가 있다. 재미있게도 정의하는 과정에서 '''적분'''이 등장하는데, 제대로 이해하기 위해서는 사전에 [[측도론]]에 관한 지식이 필히 요구된다.[* 이러한 정의에서는 함숫값이 측도가 0인 집합에서 다른 것은 별 문제가 되지 않는다. 예를 들면 [[항등함수]] 0과 [[집합 판별 함수|유리수에서 1, 무리수에서 0의 값을 갖는 함수]]는 같은 것으로 본다. 어차피 적분하면 0이므로.] 이러한 더 일반적인 개념을 약미분(weak derivative) 라고 부르는데, 예를 들어서 [math(f(x)=|x|)]의 약미분은 [[부호 함수|[math(f'(x)=-1\,(\text{if }x<0)\,,+1\,(\text{if }x\geq 0))]]]이 되는 식이다.[* 여기서 부등호가 0을 포함하느냐 마느냐는 상관없다. 어차피 [math(\{x=0\})]의 르벡 측도는 0이기 때문에 [math(L_\text{loc}^1(\mathbb{R}))] 위에서 [math(f)]는 [math(x=0)]에서 어떤 값을 가지든 상관 없기 때문이다.] 이러한 약미분은 소볼레프 공간(Sobolev space)이라는 바나흐 공간에서 [[잘 정의됨|잘 정의]]된다. 더욱 고급 과정으로 들어가면 매우 다양한 미분들이 등장한다. 예를 들어서, [[함수/볼록성|볼록함수]]의 경우에는 하방기울기(subgradient)라는 개념을 생각할 수 있다. 이때에는 어느 점에서의 미분계수가 더 이상 어느 수 하나가 아닌, 집합이 된다. 예를 들어, [math(f(x)=|x|)]의 [\math(x=0)]에서의 하방기울기는 실수구간 [\math([-1,1])]이 된다. 직관적으로 말하자면, [math(x=0)]에서 [math(f(x))] 밑에서 접하는 선형함수의 기울기를 모두 모은 집합이다. 이때 이 볼록함수 [math(f)]가 어떤 [math(x)]에서 미분가능이라면, 이 값에서 하방기울기의 원소는 하나 뿐이므로, [math(f)]의 미분이 된다. 미분을 아예 함수가 아닌 일반화된 함수(distribution, 또는 '분포'라고도 부름)에 대해서 정의하는 것도 가능하다. 예를 들어서, [[헤비사이드 계단 함수]] [math(f(x)=0\,(\text{if }x<0)\,,+1\,(\text{if }x\geq 0))]]의 distributional derivative는 [[디랙 델타 함수]] [math(\delta_0)]이 되고, 다시 디랙 델타 함수의 distributional derivative도 distribution으로써 잘 정의되고 등. 이런 distributional derivative는 정말로 아무런 마구잡이 함수(혹은 측도(measure) 혹은 일반화함수(distribution))에 대해서도 잘 정의되기 때문에, 현대 편미분방정식론과 같은 분야에서는 많은 미분을 distributional derivative로 이해하여 해의 존재성을 구한 다음에, 그 해의 연속성과 더 나아가서 [[매끄러움]] 등의 성질을 증명하는 식이다. 또 다른 방향의 일반화로, 미분을 바나흐공간[* complete norm space, 무한차원도 가능하다!]이나 더 나아가서 locally convex topological vector space(Banach Space도 여기 포함된다)에도 적용시킬 수 있다. 이때는 미분이 여러가지로 쪼개지는데, directional derivative, Gateaux derivative, Frechet derivative가 그 예이다. 서로 다른 개념이 아니라, directional이 Gateaux보다, Gateaux가 Frechet보다 약한 개념이다. 즉, Frechet differentiable이라면 Gateaux differentiable이며 그 미분은 일치하는 것. 이러한 미분은 [[변분법]] 등과 같은 해석분야에서 많이 이용되고 있다. 예를 들어 함수를 변수로 갖는 [[범함수]] [math(F)][* 즉, 함수를 어느 무한 차원 바나흐 공간의 원소로서 생각한다.]의 미분이 0이 되는 부분이 stationary point가 되고, 즉 어느 함수 [math(f)]가 주어진 범함수 [math(F)]를 최소화시킨다면, [math(DF(f)=0)]이다. [[오일러-라그랑주 방정식]]이 바로 이 식의 특수한 경우.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기