문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 미분방정식 (문단 편집) === 미분방정식의 의미 === [[미분]]은 연속적으로 변화하는 대상을 수학적으로 분석하기 위한 도구이다. 미분은 [[함수]]의 변화율을 구한다는 의미를 가진다. 변화율은 독립변수의 변화량 대비 종속변수의 변화량의 비율로 이 비율을 한 점에서 계산한 것을 그 점에서의 미분계수라 하고, 이 값들로 원래 함수의 정의역에서 다시 함수를 만든 것을 도함수라 하는데, 함수의 변화율을 이해하면 단순히 함수값을 구하는 걸 넘어 함수값의 변화를 예측할 수 있고 함수의 구조를 파악할 수 있어 함수를 보다 깊이 이해할 수 있게 된다. 그러나 우리가 모르는 대상을 이해하려고 하는데 거기에 "사실 나 이런 함수니까 미분하셈 문제 끝!" 하고 적혀있을 리가 없다! 그래서 현실에선 함수가 뭔지 모른 채 함숫값과 변화율만이 주어지고, 오히려 이를 통해 원래 함수를 추리해야 하는 경우가 대부분이다. 만약 미지의 함수와 이 함수의 도함수 간에 일련의 법칙이 존재한다면, 이를 미분방정식으로 기술할 수 있다. 그리고 미분방정식을 풀게 되면 해당 법칙을 만족하는 구체적인 함수를 알 수 있다. 때문에 미분방정식은 '''대상에 존재하는 법칙이나 원리를 알아내기 위한 수학적 도구'''로 쓰이는데, 먼저 [[관측|관찰]]과 [[실험]]을 통해 [[데이터]]를 모으고, 이 데이터를 통해 대상에 대한 개연성 있는 수학적 [[모델]]을 설정하면, 미분방정식이란 수학적 도구를 통해 주어진 모델을 만족하는 [[함수]]를 결정할 수 있다. 이렇게 찾아낸 함수가 관찰과 실험을 구해낸 데이터와 일치한다면, 결국 이 함수가 대상을 설명하는 설득력이 있는 수학적 법칙이라고 볼 수 있지 않겠냐는 것이다. 그런데 이런 설명은 [[과학적 방법론]]에 대한 설명과 똑같은데, 그럴 수밖에 없는 게 미분방정식은 [[아이작 뉴턴]]이 [[물리학]]과 함께 낳은 과학의 쌍둥이 주인공 중 하나로, 뉴턴 이후에 이어지는 [[과학혁명]]의 거의 모든 과정에 막대한 영향을 미쳤기 때문이다. 미분방정식은 [[뉴턴의 운동법칙]]에서 운동방정식을 분석하는 도구로 쓰이는데, [[뉴턴의 운동법칙#s-2.2|가속도의 법칙]]에 따르면 물체가 받는 힘에 비례해 속도(위치의 시간당 변화율)가 변화한다.[* [math(\mathbf{F} = m \mathbf{a})], 가속도 [math(\mathbf{a})]는 속도의 변화율이므로 속도 [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t})]를 시간에 대해 미분한 [math(\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2})]] 따라서 물체에 작용하는 힘의 법칙을 알면, 시간이 변수인 위치 함수 [math( x(t) )]를 따르는 미분방정식을 세울 수 있다. 예를 들어서 스프링에 매달린 물체의 경우 힘은 위치에 비례하므로([math(F = -kx)], 훅의 법칙), 다음과 같은 운동방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle m\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx )][* [math(x=f(t))]라고 하면 [math(mf''(t)=-kf(t))]인 함수 [math(f(t))]가 있는가를 구하는 문제이다. 고등학생 수준에서 설명하자면, 좌변은 질량 곱하기 위치 미분 두 번 이고 우변은 복원력이니 결국 [math(ma=F)] 이다. 그러니까 뉴턴 방정식에 훅의 법칙을 넣은 거다.] }}} 를 만족한다. 그런데 이 식은 [math( x'' = Cx)]의 형태이므로 ([math(C)]는 임의의 상수) [math( x = Ce^{at})]의 형태로 표시할 수 있고, 이걸 식에 대입하면 [math(a = \sqrt{-\dfrac{k}{m}} )]가 나온다. 그러므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle f(t) = C_1e^{i\sqrt{\frac{k}{m}}t} + C_2e^ {-i\sqrt{\frac{k}{m}}t} )] }}} 이 된다. 그런데 [[오일러의 공식|[math(e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx))]]]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle f(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t\qquad\left(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} , A=C_1+C_2 , B=C_1i-C_2i\right) )] }}} 의 형태로 쓸 수 있다. 그러므로 이상적인 스프링에 매달린 물체가 정현파(사인파) 진동을 한다는 것을 알 수 있다. 여기서 만약에 한 걸음 더 나아가서 코사인 방정식을 사용하여 식을 정리한다면, 스프링을 어떻게 세팅해 놓았냐에 따라서 변화하거나 유지되는 진폭을 볼 수 있으며 [math(\omega)]를 이용해 스프링의 진동수 혹은 주기를 구해낼 수 있다. 이후에도 수많은 자연현상과 사회현상을 과학적 모델과 미분방정식을 통해 이해할 수 있었는데, 예를 들어, 전하의 움직임이 전혀 없는 정전기적 상황에서 전위 V는 푸아송 방정식을 따르며, 보다 일반적인 상황인 전자기학을 기술하는 미분방정식은 전기장과 자기장에 관한 [[맥스웰 방정식]]이다. 한편 유체역학에서는 유체의 운동 방정식을 가장 일반적으로 정리한 것이 [[나비에-스톡스 방정식]]인데, 이는 7개의 [[밀레니엄 문제]] 중의 하나에 속해있는 난제이다. 비단 물리학뿐만 아니라 화학에서는 화학반응의 속도를 계산하는 데에 쓰이고, 생물학에서는 먹이사슬에서 생물군집의 개체수 변화를 미분방정식으로 분석할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = x(\alpha - \beta y) \\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = -y(\gamma - \delta x) \end{cases} )] }}} [[생물학]] 전공자가 쓰는 미분방정식의 예. [[연립방정식#s-1.3|연립미분방정식]]의 형태다. 로트카-볼테라 방정식이라 불리며 [math(x)]는 피식자의 수, [math(y)]는 포식자의 수를 나타낸다. 미분방정식은 자연과학/공학뿐만이 아니라 거의 모든 학문들에도 매우 광범위하게 등장한다. 사회학에서는 인구증감의 이론[* 보통 인구증가 추세가 초월함수의 미분방정식 형태로 제시된다.]에서, 경제학 및 재무관리에서는 [[선물(금융)|선물]](2번 항목), [[옵션(금융)|옵션]] 등의 파생상품의 가격을 계산하는 데에 등장한다. 상경계 학문에서 가장 유명한 미분방정식의 예시는 열역학의 열전도 방정식에서 모티브를 따온 [[블랙-숄즈 모형]]. 의외의 사실이지만, 고등학교 때도 미분방정식을 푸는 방법을 배운다! 흔히 부정적분이라고 불리는 개념인데, '주어진 함수 [math(f)]에 대해, 어떤 함수 [math(F)]를 미분하여야 [math(f)]가 얻어지겠는가?'를 푸는 문제이므로, [math(F)]에 관한 미분방정식 [math(\dfrac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = f(x) )] 으로도 볼 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기