문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 벡터 (문단 편집) == 상세 == 대중적인 정의는 ([[고등학교 수학|고등학교]] 혹은 [[물리학]][* [[고전역학]]에서의 정의다. [[양자역학]]에서 사용하는 [[파동함수]]도 벡터의 일종이지만, 방향을 나타내지 않는다.]에서의) '''크기와 방향을 가진 물리량'''을 가리키지만, 이는 [[벡터(유클리드 기하학)|유클리드 기하적 벡터]]만을 가리키는 좁은 정의다.[* 사실 물리학적으론 여기서 반사에 대해 변위처럼 변환된다라는 조건이 필요하다. 그렇지 않으면 유사벡터(pseudovector)라 부른다. 중국에서는 이를 반영한 '''향량(向量)'''이라고 옮겼다.] [[수학]]에서 벡터 공간의 종류는 이보다 다양하므로 물리적 직관만을 함부로 적용하기 어려운데[* 수학적으로 보면 선형성(덧셈과 스칼라곱)이 벡터의 본질에 가깝고 크기는 노름이, 방향은 내적이 잘 정의될 때 논의 할 수 있다.], [[일차함수|[math(n)]개의 변량의 선형결합]][* 이 [math(n)]의 크기에 따라 [math(n)]차원 벡터 공간이라고 한다.]으로 이루어진 벡터 공간을 기본으로 해서 함수들로 이루어진 벡터공간도 존재하고,[* 그래도 양자역학 등 물리에서 쓰이기는 한다. 통신, 신호처리에서도 신호공간이라는 걸 사용해서 함수를 벡터 취급 하는데, 벡터를 투영해서 신호에 들어있는 잡음을 제거하고, 두 벡터 사이의 거리를 측정해서 신호가 얼마나 닮았는지 측정하는 등 열심히 써먹는다.] [[인셉션|벡터 공간으로 이루어진 벡터 공간도 존재한다.]][* 이런 경우 함수가 곧 벡터가 되고 벡터공간이 곧 벡터가 된다. 물리학은 그나마 현실세계의 끈을 부여잡고 있기 때문에 어느 정도 직관이 통하지만, 수학에서는 상식이란 게 전혀 통하지 않는다. 확장 개념으로 [[텐서]]가 존재한다.] 벡터공간의 수학적인 정의는 아래와 같으며, 이 벡터공간의 원소를 벡터라 한다. ||{{{#000,#fff [[체(대수학)|체]](field)[* 아주 간단히 말해 사칙연산이 상식대로 성립하는 것.] [math( F )]에 대해, 집합 [math( V )]가 "체 [math(F)]위의 벡터 공간(vector space)"이라 함은, [math( V )]가 [math( F )]의 [math( F )]-가군(module)인 것이다. 이를 풀어쓰면 다음과 같다. 그리고 이 때, [math(F)]를 [math(V)]의 스칼라라고 한다. * (가환군)[math( V )] 위에 [math( + )]가 정의[* [math(u, v \in V \Rightarrow u + v \in V)]]되어 있으며, [math( \left( V,+\right) )]는 가환[[군론|군]](아벨군)이다. 즉 다음의 4가지 성질을 만족한다.[br]임의의 [math( u , v, w\in V )]에 대하여 * [[덧셈]]에 대한 [[항등원]] 존재: [math( V )]에는 특정한 원소 [math( 0 )]이 존재하여 모든 [math( v \in V )]에 대하여 [math( v + 0 = 0 + v = v )] * [[덧셈]]에 대한 [[역원]] 존재: [math( V )]의 임의의 원소 [math( v )]에 대하여 [math( v + u = u + v = 0 )]을 만족하는 [math( u \in V )]가 존재한다. * [[교환법칙]] 성립: [math( u + v = v + u )] * [[결합법칙]] 성립: [math( \left( u + v \right) + w = u + \left( v + w \right) )] * (스칼라 배)임의의 체 F에 대하여 함수 [math( f:F\times V\rightarrow V, f(a, v)=a\cdot v)](스칼라 배)가 존재하고 임의의 [math(a,b\in F)], [math(u, v\in V)]에 대해 다음이 성립한다. * [[분배법칙]] 성립: * [math( a\cdot\left(u+v\right)=a\cdot u+a\cdot v )] * [math( \left(a+b\right)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v )] * [[결합법칙]] 성립: [math( \left(ab \right)\cdot v=a\cdot\left(b\cdot v \right))] * 곱셈에 관한 [[항등원]] 존재: [math( 1\cdot v=v )] 벡터공간 [math(V)]의 원소를 벡터(vector)라고 하는데 특히 덧셈 항등원 [math(0)]을 영벡터(zero vector)라고 한다.}}} || '''다시 말해''' '어떤 상수들의 집합'과 '벡터공간으로 정의할 집합'이 있는데 '어떤 상수들' 간에 덧셈과 곱셈이 잘 정의되고, 이들에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립하고, 항등원과 역원이 있으며,(다만 0에 대한 역원은 제외) '벡터공간으로 정의할 집합' 내에서 덧셈이 잘 정의되고, 이에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립하고, 항등원과 역원이 있으며, '''상수들과의''' 곱셈이 잘 정의되고, 이에 대해 분배법칙과 결합법칙이 성립하면 모조리 벡터 공간이 된다. 더 쉽게 줄이면, '''수집합과 관계가 잘 정의되어 있는 집합. 그 집합의 원소가 벡터다.''' 여담으로 위 정의를 잘 들여다 보면 체 [math( F )] 그 자체도 벡터의 정의를 만족함을 알 수 있다. [math( \left( F,+\right) )]는 가환군이고, 체에서 정의된 곱셈[math( \left( F,\times\right) )]도 스칼라 배로 보는 것이 가능하기 때문이다. 그런 의미에서 체 [math( F )]는 스칼라 [math( F )] 위에 정의된 벡터공간이라는, 물리학적으로 생각하면 말이 안 되는 문장도 성립한다. 심지어 "한 체를 다른 체 위에서의 벡터공간이라고 보자"라는 말도 가능하다. 예컨대, [[코시 함수 방정식|실수(real numbers)로 이루어진 집합 [math(V)]를 유리수체 위의 벡터공간이라고 보자]]라는 선언이 가능하다. 이 경우 [[선택 공리|[math(V)]는 무한차원임을 보일 수 있다]].[* Friedberg et al. ''Linear Algebra'', Section 1.7, Exercise 3. 물리학적 직관을 뛰어넘는 수학적 자유로움을 보여주는 아름다운 문제다. 문제에 제시된 힌트를 사용하면 증명이 어렵지 않다.] 여담으로 벡터라는 용어를 수학계에 도입한 것은 [[사원수]]를 만든 것으로 유명한 [[윌리엄 로원 해밀턴]]인데 그가 쓰던 벡터는 현대어로 치면 허수부와 같다. 그리고 실수부를 뜻하는 말로 쓰던게 바로 [[스칼라]]. 사원수 곱셈에서 유도된 3차원 벡터의 내적과 외적은 이런 역사를 보여주는 것이다. 벡터는 일반적으로 [[순서 관계]]가 아니다. 다시 말해, 두 벡터에 [[부등호]]를 취할 수 없다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기