문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 실수(수학) (문단 편집) == 공리 == 실수의 핵심적인 공리는 다음과 같다. 실수의 모든 성질들을 다음 3가지에서 유도가 되고, 이 3가지를 만족시키는 집합은 실수 집합밖에 없기 때문에[* 전순서를 반대로 바꿔도 성립하므로 대수학적으로 모두 isomorphic하다.] 아래 3가지 성질을 실수의 공리라고 할 수 있다. > * (체 공리) [[체(대수학)|체]]이다. 즉, 사칙연산을 할 수 있으며, 덧셈, 곱셈에 대한 항등원 및 역원이 존재하고[* 당연하지만, 덧셈에 대한 항등원에 대응하는 곱셈에 대한 역원은 정의되지 않는다.], 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙이 성립한다. > * (순서 공리) 전순서를 이룬다. 즉 실수 [math(a)]와 [math(b)]가 있다면 [math(a=b, ab)] 셋 중 정확히 하나가 성립한다.[* 구성주의 수학에서는 받아들이지 않는다.] 또한 이 순서는 [math(1)]에서의 대수적 구조(덧셈, 곱셈의 연산)와 독립적인 것이 아니라, 순서체가 된다. 즉, 임의의 실수 [math(a, b, c)]에 대해 [math(a0)]이면 [math(ac * 이는 부분집합 중 양수집합 [math(P)]가 존재한다는 것과 동치이다. 즉, [math(a, b \in P)]이면 [math(a+b, ab \in P)]이고, 해당 체가 [math(P, {0}, -P)]의 disjoint union과 같은 부분집합 P가 존재한다는 것이다. 이 때 [math(a>b \Leftrightarrow a-b \in P)]로 정의한다. > * (완비성 공리) 완비적이다. 즉, 공집합이 아닌 실수의 진부분집합이 상계(upper bound)를 가지면 최소상계(the least upper bound)가 존재한다. 위 세 가지 성질을 모두 만족시키는 집합을 완비 순서체라고 한다. 그런데 어차피 완비 순서체는 유일하게 존재하기 때문에 사실 실수랑 똑같은 개념이다. 유리수 집합 [math(\mathbb{Q})]는 순서체이지만 완비성 공리는 만족시키지 않는다. 완비성 공리를 만족시키면 [[아르키메데스 성질]]을 만족시킨다. [math(\mathbb{Q})]는 아르키메데스 성질을 만족시키지만, 아르키메데스 성질을 만족시키지 않는 순서체도 있다. 대표적으로 무한소, 무한대 개념을 실수에 추가한 초실수체가 있다. 무한소의 특성상 아르키메데스 성질을 만족시킬수가 없다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기