문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 양자장론 (문단 편집) === 장의 역학적 구조 === 사실 [[상대성 이론]]은 장이 가질 수 있는 역학적인 구조를 강력하게 제한한다. 직접적으로 말해서 장의 라그랑지언을 썼을 때 그 안에 포함될 수 있는 항이 매우 제한적이라는 것이다. 이는 어떤 (상대론적인) 이론을 구축할 때 있어서 좋은 지침이 되어 준다. 룰은 간단하다. 라그랑지언 안에 들어갈 수 있는 항은 실수이며 (혹은 Hermitian이며) 상대론적으로 불변(invariant)해야 한다. 즉, 실수 스칼라(real scalar)이어야 한다. 이 정도만으로도 고려해야 할 항들의 종류가 굉장히 줄어들게 된다. 이에 대해서는 [[특수 상대성 이론]], [[클라인-고든 방정식]], [[디랙 방정식]]에서 자세히 설명되어 있다. 여기서는 그 결과만 가져다 쓰려고 한다. 다음은 스칼라 장(클라인-고든 방정식) [math(\phi)], 스피너 장(디랙 방정식) [math(\psi)], 벡터 장([[맥스웰 방정식]]) [math(A^\mu)]에 해당하는 라그랑지언 밀도들이다. [math(\displaystyle \mathscr{L}_{\mathsf{scalar}} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2)] [math(\displaystyle \mathscr{L}_{\mathsf{spinor}} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \bar{\psi} \psi)] [math(\displaystyle \mathscr{L}_{\mathsf{vector}} = -\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} \;\;\;\; (F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu))] 여기서 궁금한 것은 물리량 [math(\phi)], [math(\psi)], [math(A^\mu)]에 해당하는 정준켤레(canonical conjugation)가 무엇인가하는 것이다. 사실 정의를 보면 이건 다른 게 아니고 이들의 시간 도함수로 라그랑지언 밀도를 미분해 줘서 나온 것이다. 즉, 다음과 같다. [math(\displaystyle \pi_{\phi} = \frac{ \partial \mathscr{L}_{\mathsf{scalar}} }{ \partial \dot{\phi} } = \partial_t \phi)] [math(\displaystyle \pi_{\psi^a} = \frac{ \partial \mathscr{L}_{\mathsf{spinor}} }{ \partial \dot{\psi^a} } = i(\psi^a)^*)] [math(\displaystyle \pi_{A^\mu} = \frac{ \partial \mathscr{L}_{\mathsf{vector}} }{ \partial \dot{A^\mu} } = F_{0\mu})] 그러면 푸아송 괄호 관계 [math( \left[X^i(t, \mathbf{x}), \pi_{X^j}(t, \mathbf{y})\right] = \delta^i_j \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y}))]가 성립해야 할 것으로 예상된다. 하지만 여기에 몇 가지 문제가 있다. 첫째, 위 식에 따르면 [math(\pi_{A^0} = F_{00} = 0)]이 되어 [math(A^0)]의 정준켤레가 0이게 된다는 것이다. 그러면 이 성분으로의 역학적인 기술이 어려워지게 된다. 실제로 Weinberg를 보면 다양한 고전역학적 도구들을 활용하여 엄청 복잡하게(...) 이 상황을 다루고 있으며 다른 책들은 그런 거 다 건너뛰고 벡터 장을 경로적분 양자화 상황에서만 다룬다. 그마저도 쉽지 않지만... 한 가지 또다른 문제는 디락장을 양자화 할 때 [math( \left[\psi_a(t, \mathbf{x}), \pi_{\psi^b}(t, \mathbf{y})\right] = i \delta^i_j \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y}))]를 사용하면 올바르게 불변량을 표현하지 못한다는 문제가 있다. 물론 이럴 때에는 교환자를 쓰는 게 아니고 반교환자(anti-commutator)를 써야 한다.[* 스핀 1/2인 양자상태는 통계적으로 페르미-디락 통계를 따르므로, 반교환자를 고려하는 것이 올바르게 작동할 것이라는 추측을 해 볼 수 있다. 다만 양자장론에서는 두 양자장이 fermion이라면 교환관계가 무조건 반교환자를 따른다는 점으로부터, 양자장론에서의 디락장은 에너지나 운동량이나 스핀 방향성분에 관계없이 근원적인 부분에서 fermion이라는 것을 요구한다는 것이 특기할 점이다.] 즉, 실제로 성립하는 것은 [math(\{ \psi_a(t, \mathbf{x}), \pi_{\psi^b}(t, \mathbf{y}) \} = i \delta^i_j \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y}))] (여기서 [math(\{A, B\} = AB + BA)])인 것이다. 이는 [[스핀-통계 정리]]의 결과이며, 스피너의 경우만 대해 이 상황을 다루는 것은 Peskin의 같은 책 중 3.5장을 참고하자.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기