문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 위상수학 (문단 편집) == 역사 == 오늘날 위상수학이 집합 위에서 위상공간을 추상적으로 정의하고 그 성질을 연구하는 것과 달리, 역사적으로는 말 그대로 도형의 모양을 연구하는 데에서 출발했다. 대개 출발을 [[쾨니히스베르크 다리 건너기 문제]][* 한붓그리기의 시초가 되었다는 그 다리 문제.]로 생각하는데, 이는 [[레온하르트 오일러]]가 도형을 그 정확한 크기 등을 무시하고 형태만을 '개략적으로' 나타낸 것을 들어, 처음으로 학술적으로 위상수학적 접근이 나타났다고 말한다. 이후 19C 후반부터 20C 초반에 이르러, [[펠릭스 클라인]], [[앙리 푸앵카레]]로 이어지며 대수적 위상수학(algebraic topology)의 기본개념인 호모토피(homotopy), 호몰로지(homology)에 대한 개념이 정립되면서 본격적으로 도형의 연속적인 성질을 연구할 수 있는 [[대수학]]적 도구가 만들어졌다. 한편, 19C 후반부터 [[해석학(수학)|해석학]]에서도 수직선 위의 [[연속함수]]와 부분집합에 대한 다양한 성질이 연구되고 있었다. 라이프니츠와 뉴턴 시대부터 [[미적분]]이 워낙 막장으로 정립됐어서 [[오귀스탱루이 코시|코시]], [[카를 바이어슈트라스|바이어슈트라스]], [[볼차노]], [[보렐]] 등 많은 수학자에 의해 미적분학의 내용을 (극한부터) 제대로 설명하는 시도가 있었고, 그 중 많은 성질이 실수의 열린집합(open set)의 성질에 의존한다는 것을 밝혔다. 또한, 평행선 공준(parallel postulate)에 대한 "반례"로, [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]와 [[베른하르트 리만|리만]]을 필두로 한 구면기하학(spherical geometry) 혹은 쌍곡기하학(hyperbolic geometry)이 제시되었고, 이들 역시 등장변환(isometry)이라는 연속성에 대해 변하지 않는 성질이 몇몇 있음이 밝혀졌다. * 등장변환이란 거리함수 d가 정의되어 있을 때, \left(X, d_X\right) ,\left(Y, d_Y\right)의 두 거리공간상에서, d_X\left(a,b\right)\to d_Y\left(f(a), f(b)\right)를 만족하는 f:X\to Y로 정의된 함수 f가 존재한다는 성질. 등장변환(등거리사상)이 보존하는 몇 가지 성질은 이름에서부터 알 수 있듯 거리 개념, 각, 그리고 가우스 곡률 이외에도 최소 두 가지 정도가 더 있는데, 등거리사상과 상술한 쌍곡 및 구면기하학을 통틀어 일컫는 리만기하학과의 연관성은 학부에서는 배우지 않는다.[* 도저히 못 배울 과목인 것은 아니지만, 미분기하학에서 곡면을 제대로 공부하고 위상수학도 깊이 공부해야 한다는 진입장벽을 오르는데 오랜 기간이 걸리느라 리만기하학을 제대로 공부하려는 학생들도 제대로 공부하기 전에 졸업 및 대학원 입시와 진학까지 끝내버리기 때문이다.] 이 따로 노는 듯한 아이디어가, [[게오르크 칸토어]]의 집합론 관점 하에서 모두 묶는 과정이 20세기 초에 수학기초론에 대한 연구가 활발히 이루어지면서 차차 진행되었다. 그 결과, * 먼저 열린집합(open set)을 집합 위에서 정의하면 * [[연속함수]](continuous function)을 정의할 수 있고 * 이 연속함수의 모임에 대해 이런 저런 조작을 가해서 호모토피나 호몰로지를 집합론적으로 정립할 수 있고 * 혹은, 열린집합의 모임이 잘 알려진 공간(예: '''ℝ'''ⁿ)의 열린집합과 위상동형(位相同型, homeomorphic)하다고 보고, 기타 미분에 쓸만한 성질을 추가하면 특수한 거리 개념을 지니는 기하학을 다룰 수 있다는 점을 알 수 있었다. 때문에 학부 과정부터 시작하는 위상수학은 대개 열린집합의 성질과 연속함수의 기본적인 성질부터 출발해, 좀 더 복잡한 호모토피나 호몰로지, 또는 (미분)다양체의 성질을 다루게 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기