문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 위상수학 (문단 편집) == 학습 == 점집합위상수학의 주요 개념은 수학과 고학년생을 위한 위상수학 수업에 앞서 저학년생을 위한 집합론과 해석학 등 다른 과목에서도 미리 한번쯤 다루게 된다. 그러나 저학년 때 다들 한번쯤 섭렵했지만 다른 내용과 아주 끈적하게 연계되지는 않다보니 기말시험 끝나면 다 까먹기 일쑤이다. 그러나 위상수학의 이러한 주요 개념은 고학년이 되어 수강하는 다변수해석학, 실해석학, 복소해석학, '''미분기하학''' 등 여러 쟁쟁한 과목에서 '''폭우처럼 쏟아져내리며 넋나간 학생을 먼 바다까지 떠내려보낸다. 위상수학이라는 이름의 수업을 제대로 시작하기도 전부터!''' 학술적인 개념을 전개하는 방식은 '도넛' 비유와는 조금 다르고, 이러한 예시는 위상수학을 배우지 않은 사람들도 쉽게 이해할 수 있도록 덜 엄밀하지만 쉬이 이해할 수 있게 서술한 것이므로 읽을 때 주의를 요한다. 저 머그컵과 도넛 담론조차도 어떤 서로 달라보이는 공간들이 위상적 성질을 보존하는 위상동형사상(Homeomorphism)에 의해 서로 위상동형이라고 주장하고 증명하기 위해서는 반학기~한학기 가까이 빌드업을 거쳐야 할 정도이니 만만한 과목이 절대 아니다. 또한 위상수학이 선을 끊거나, 면을 자르거나, 구멍의 개수를 변화시키는 방법을 제외한 변형만을 다루는 것도 아니다. 거리개념을 배제함으로써[* 다시 말해 위상수학에서만큼은 [[크기]](크기는 거리에서 자연스럽게 정의되는 개념이다)라는 것을 망각해야 한다. 까마득하겠지만 초등학교 1학년 때 [[공 모양]], [[세모 모양]], [[네모 모양]] 등을 분류해본 적이 있을 것이다. 여기서는 '크기'를 묻는 문제가 없다는 점에서 위상수학적으로 접근함을 알 수 있다.][* 위상수학 교과서에서 '크기'라는 말은 오히려 다른 뉘앙스로 쓰이곤 한다. 예를 들어 [[폐포]]의 정의는 어떤 집합을 포함하는 '가장 작은' 폐집합이라고 간단히 서술되곤 하는데, 이는 '어떤 집합을 포함하는 모든 폐집합'들의 교집합이라는 뜻이다. 또한 자명위상 Trivial Topology(비이산위상 Indiscrete Topology)은 가장 작은 위상이고 이산위상 Discrete Topology은 가장 큰 위상이라는 서술도 교과서나 교수에 따라 간혹 나오곤 하는데, 여기서의 크고 작음은 위상이 거친지 세밀한지에 대한 의미이다. 흔히 크기 하면 떠올리는 '거리'에 관한 개념이 위상수학 책에서 아예 안 나오는 것은 또 아닌데, 이것은 4가지 거리공리를 만족하는 거리함수에 의한 '거리공간 Metric Space'이라는 내용으로 일반화한 채 다뤄진다. 허나 이런 거리공간을 다루는 챕터에서도 계산의 비중은 해석학개론이나 선형대수학 등의 전공기초 과목에 비하면 매우 적은 편.] 수학적 대상들을 분류하는 쪽에 초점이 맞춰져 있다. 상술한 변형들은 사실 위상수학을 바탕으로 논리를 전개하는 [[미분기하학]]에서 위상적 불변량을 통해 3차원 다양체들을 분류할 때 좀 더 직접적으로 다루는 경우가 많으나, 위상수학 수업에서까지 먼저 다루는 교수는 많지 않다. 물론 미분기하학을 배울 때라면... 어금니 꽉 깨물고 각오하자. 위 설명에서도 알 수 있듯이 애초에 중등교육이나 흔한 대학 1학년생 수준에서는 개념을 정확히 이해하기에도 상당히 무리가 있으며, 그로 인해 전공자들에겐 '또모르지'라는 별명으로도 불리는 애증의 과목이다. 대학에서도 수학과 및 수학교육과생이 아니면 인접 전공에서도 접할 기회가 드물다. 수학을 좋아하지만 주로 응용분야를 써먹는 다른 분야의 이공학도들이 위상수학은 뭔가 하고 들어가봤다가 놀라는 경우도 있다. 이러한 위상수학에 대한 생경한 시각은 외국도 딱히 다르지 않아서, [[위상부도체]]가 주제였던 2016년 [[노벨물리학상]] 시상식에서 스웨덴 한림원 심사위원들이 기사를 어찌 써야 할지조차 막막해하는 기자들 앞에서 [[도넛]]과 빵조각을 들고 속성 강의를 벌인 바 있었다. 이런 비전공자들이 위상수학 수업을 듣게 되면 보통은 퀵손절 및 수강포기가 대부분이지만, 의외로 수학과 학부과정에서 가장 매운맛 수업인 이 위상수학을 수강하며 수학의 매력에 빠져들고 전공까지 바꿔버리는 햇병아리 수학도들도 있다. 학부에서는 F투성이 물리학도였던 [[허준이]] 박사는 위상수학을 처음 수강하던 시절을 이렇게 회상했다. >처음 들었던 과목은 기억이 안 나지만, ‘위상수학’ 수업이 가장 기억에 많이 남는다. 졸업은 해야겠고, 한번 손을 놨던 전공과목들은 자신이 없어서 새 출발 해야겠다는 생각에 수학 수업을 신청했고 시간표가 맞아 위상수학을 들었다. 도넛과 컵이 수학적으로 같다는 걸 알려주는 위상수학은 굉장히 재밌는 학문인데, 위상수학책 첫 장은 이해하기 어려운 내용으로 가득하다. 그런데 당시 마음이 복잡했던 내게 딱 맞는 공부였다. 마음을 비우고 집중했더니 오히려 정신이 평안해졌다. 힐링이었다.[br] - [[허준이]][[https://m.dongascience.com/news.php?idx=55179|(동아사이언스 인터뷰)]] 학습자에게 [[해석학(수학)|해석학]]과 [[선형대수학]]에서 고교 수학의 직관과 논리가 충돌한다면, 위상수학은 [[대수학|현대대수학]]과 함께 다루는 대상의 직관성과 추상성이 맞붙는 과목이다.[* 학부 해석학은 주로 실/복소 해석이기에 나름 직관적인 대상을 다루고 선형대수학 또한 나름 익숙한 [[사칙연산]]이 자연스레 성립하는 [[체(대수학)|체]]와 [[벡터 공간]]을 다룬다. 하지만 위상수학과 현대대수학의 입장에서 저런 주제들은 '''매우 좋은 성질'''을 추출했을 뿐 어디까지나 다루는 대상의 예시에 불과하다. 쉽게 말해 선형대수학와 해석학에서는 논리적인 방법으로 직관적인 대상을 다루는데 반해 위상수학과 현대대수학은 논리적인 방법으로 추상적인 대상을 다루는 정도의 차이가 있다.] 하지만 학부생들의 입장에서는 저러한 대상의 추상성이 도저히 납득이 안된다는 것이 문제. 그나마 현대대수학은 정수론에서 다뤘던 아기자기한 합동식들을 떠올리며 첫 시험까지는 잘 버티는 학생들도 많지만, 위상수학은 첫 수업에서부터 고정관념에 사로잡혀있는 학생들을 사정없이 두들겨팬다. 특히 교수의 강의가 거리공간의 성질을 추상화해가는 방식이 아닌 밑바닥부터 하나하나 쌓아올리는 방식이라면 괴리감은 더욱 커진다. 결국 이해는 포기하고 달달달 외우는 학생들이 다반사. 시험 또한 다른 수학과 과목과는 달리 계산은 거의 없다고 봐도 된다.(크기를 구하는 문제가 없으므로.) 대신 위상수학 시험의 답안지를 보면 [[작문]] 시험이라고 봐도 될 정도로 장문의 글이 써져있는 것을 볼 수 있다. 거의 모든 답안은 충분조건 또는 필요충분조건을 맞추기 위한 단방향, 양방향, '''3각''', 심지어는 '''4각''' 이상의 동치관계 화살표[* 예를 들어 위상수학의 기초가 되는 집합론의 내용 중 정렬원리, 선택공리, 하우스도르프의 극대원리, 조른의 보조정리가 모두 동치임을 4단계에 걸친 순환 증명으로 깔끔하게 써보면 매우 아름답다. [[한국교원대학교]] 수학교육과의 한 학생이 작성한 [[https://drive.google.com/file/d/1EupMaNeBL5XmgHvD-VlZXGxWqvI0prxO/view|문서]]를 보면 그 참맛을 느낄 수 있다. (박대희저 교과서에도 비슷한 증명이 나온다.) 귀류법 증명을 시도하면서 증명과정에 필요한 보조정리를 확보하기 위해 또 귀류법을 꺼내들며 두뇌가 360도 돌아버리는 아스트랄한 증명도 심심찮게 나온다. 보통의 학부 집합론 커리큘럼에서는 이런 선택공리 부분을 제외하면 증명이 나뉘어봤자 양방향, 3방향 선에서 끝나는 경우가 많지만, 위상수학 커리큘럼에서는 동치 명제들의 순환적 증명이 이렇게까지 많이 늘어지는 경우가 심심찮게 나온다. 비슷한 예로는 선형대수학에서 가역행렬의 성질을 다루면서 십수개 이상의 동치조건들을 책 전체에 걸쳐 쌓아나가는 경우가 있다. 사실 위상수학이나 대수학에서도 공부를 더 하다보면 선택공리와 동치인 정리가 여러개 더 나오기는 하지만 다소 챕터간 간격이 벌어져있기 때문에 일단 초반부에서는 4각 고리로 끊어주고 선택공리와 동치인 다른 명제를 확보하려면 필요한 재료를 조립하는 진도를 나가는 것이 일반적.]나 집합의 양방향 포함기호로 단락이 구분되며, 교수와 조교들은 그런 장문의 글에서도 틀린 점을 하나하나 다 뽑아내기 때문에 분명 답안지를 제출할 때엔 완벽하게 쓴 것 같은데도 성적표를 받아들면 점수가 왕창 깎여있는 상당히 엄밀하고 깐깐한 과목이라 할 수 있다. 그렇지만 시험에서는 완벽하게 알고 있지 않더라도 조금이라도 적는 것이 낫다. 필요충분조건임을 증명하는 문제에서 쉬운 한 쪽 방향만 보이고, 어려운 방향을 보이지 못한 경우에도 부분점수가 약간씩 있는 경우가 많다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기