문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 위상수학 (문단 편집) === 대수적 위상수학(algebraic topology) === [include(틀:대수학)] [[파일:external/upload.wikimedia.org/HomotopySmall.gif]] 경로의 [[연속변형성|연속적 변형]]. [[http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy|출처]] 위상공간의 대수적 불변량에 대해 공부한다. [[위상공간]] 중에서도 특히 성질이 좋은 것, 가령 [[다양체]](manifold)나 CW 복합체(CW complex)의 경우 보통 '도형' 하면 떠올리는 구, [[다면체]], 혹은 [[그래프(이산수학)|그래프]][* 점과 선으로 이루어진 도형]와 같은 것을 위주로 공부하는데 좀더 일반적으로는 compactly generated weak Hausdorff space까지만 공부한다. 그 이유는 이 조건이 수반함자를 공부할때 매우 중요하게 쓰이기 때문. 이들의 성질은 대개의 경우 위상공간의 위상동형 보다는 호모토피류에만 의존하는데, 기초적인 예시로는 호모토피군, 호몰로지군, 코호몰로지환 등이 있다. 좀더 구체적인 예로, 공간 위의 원이 연속적으로 변형되어(continuously deform; homotopy) 한 점이 될 수 '''없을''' 경우, 이 경로는 공간 내의 '구멍'에 의해 이러한 변형이 막힌다고 해석할 수 있다. 경로의 시작점과 끝점이 같은 경우, 경로의 연속적인 변형에 대한 동치류를 정의할 수 있는데, 이 동치류의 집합을 가지고 군(群, group)을 만들어 "계산"할 수 있고, 이러한 성질은 또한 '''공간의 호모토피류'''에 따른 불변량 중 하나이다. 이러한 조작을 하고 나면, [[대수학]]에서 군, 모듈 등에 대한 성질을 가지고 공간에 대한 성질을 계산만으로 예측할 수 있고, 그에 따른 결과로 브라우베르 [[부동점 정리|고정점 정리]](Brouwer fixed point theorem), 보르수크-울람 정리(Borsuk-Ulam theorem)[* 어느 순간이든 지구 위에서 반대편과 온도가 같은 지점이 있다.]등이 있다. [[푸앵카레 추측]] 역시 3차원인 공간의 대수위상학적 성질에 대한 내용이다.[* 그런데 재미있는 건 이 문제를 증명한 [[그리고리 페렐만]]은 이 문제를 대수위상수학이 아닌 미분기하학을 이용하여 풀었다는 것이다. 서스턴의 기하화 추측을 증명함으로써 그것의 필요조건에 해당하는 푸앵카레 추측 역시 참임을 증명한 것인데, 미분기하학은 1990년대 이후로는 대수기하학이 크게 뜨는 반작용으로 기하학자들이 다소 경시하는 방법론이었기 때문에 페렐만의 논문을 보고 당황하는 학자들이 꽤 있었다. 사실 난제를 생판 다른 분야를 이용해 푸는 예는 꽤 있다. 당장 [[페르마의 마지막 정리]]의 최초의 증명법은 순수 정수론이 아닌 [[타원곡선]]과 [[모듈러성 정리]]로 이루어졌는데, 이는 원래 [[대수기하학]]에 나오는 떡밥이다. 미분위상수학이라는 분야도 있으니만큼 FLT의 증명에 비하면 페렐만의 접근은 오히려 평범(?)한 편이라 할 수도 있을 것이다.]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기