문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 자연수 (문단 편집) === 집합론적 정의(자연수 구성하기) === 위에서 설명한 페아노 공리는 자연수를 가장 잘 설명하는 체계이나, 두 가지 문제가 있다. 첫 번째로는, 자연수 집합이 존재한다는 걸 보장하지 못한다는 것이다. 이제까지 했던 이야기는 '만약 이러한 집합이 존재한다면 어쩌구저쩌구 해서 이런 성질들이 성립한다'에 불과하지, 과연 이런 집합이 수학적으로 정의될 수 있는지는 완전히 다른 문제이기 때문.[* 애초에 이름이 '공리'라는 것부터 그 한계를 짐작할 수 있다.] 또한, 두 번째로는 '자연수의 의미'에 맞지 않을 수도 있다는 것이다. 페아노 공리만을 보자면, 적당한 무한수열을 가져오기만 해도, 그 수열은 자연수열이라고 할수 있기 때문에 우리가 알고있던 자연수라는 개념과는 괴리감이 생긴다.[* 예를 들어, 1의 후임자는 3이고, 3의 후임자는 2이고, 2의 후임자는 4라고 정의된 수열이라도 페아노 공리계의 조건을 만족할 수 있다. 하지만 알다시피 이 수열은 우리의 상식과는 거리가 멀다.] 따라서 올바른 수학 체계는 자연수 집합, 즉 페아노 공리를 만족하는 집합의 존재를 자체적으로 보장해야 하며, 이 집합이 자연스럽게 정의되어야만 할 것이다.[* 만약 자연스럽지 않고, 생각도 못한 집합이거나 한다고 하면 이 집합은 아무런 쓸모가 없는 것이다.] 이는 현대 집합론에서 중요한 요소로 자리잡고 있다. 집합론 초창기에 체르멜로는 >[math(0 = \varnothing)], [math(n^+ \left(=n+1\right) = \left\{n\right\})] 이런 방식으로 자연수를 구성했었다. 그러나, 곧 [[존 폰 노이만|폰 노이만]]이 등장하여 >[math(0 = \varnothing)], [math(n^+ = n\cup \{n\})] 으로 재구성하였고, 이 정의가 체르멜로의 구성에 비해 갖는 몇 가지 큰 이점[* 예를들어, 노이만의 정의에서는 자연수 자체가 일종의 [[서수(수학)|서수]](ordinal)가 된다.]이 있었기때문에 오늘날 집합론에서 자연수 하면 폰 노이만식의 구성을 대부분 떠올린다. 한편 ZF 공리계 중 '자연수들을 포함하는 집합이 존재한다'는 무한 공리(axiom of infinity)에 의해, 자연수 집합의 존재성이 보장된다.[* 이 공리가 필요한 이유는 공리적 [[집합론]](axiomatic set theory)의 관점에서 보면 대상을 모았다고 무조건 집합으로 생각될 수 없기 때문이다. 아주 간단히 말하자면 공리적 집합론에서는 대상을 모은 것을 '류(class)'이라 하고, 이 모임이 다른 모임의 원소가 될 때만 '집합(set)'으로 불린다. 그리고 집합에 대해서만 우리가 생각하는 수학을 전개하게 된다. 이는 모든 모임을 집합으로 인정한다면 러셀의 패러독스 같은 안 좋은 일들이 마구마구 일어나기 때문.][* 거의 공리로 보장된 것만 집합으로 인정하는 공리적 집합론의 이러한 관점에서는, 자연수 전체의 모임이 집합이 되는지 이렇게 공리로 보장해 주지 않으면 무한집합 자체를 생각할 수가 없는 상황이 되어 버린다.] 이때 자연수 집합을 다음과 같이 구성할 수 있다. >[math(\mathbb{N}=\displaystyle \bigcap_{I:0\in I\supseteq I^+}I)] 폰 노이만의 구성이 갖는 이점은 다음과 같다. 폰 노이만식 구성에서는 [math(1=\left\{0\right\})], [math(2=\left\{0,\,1\right\})], [math(3=\left\{0,\,1,\,2\right\})], ... 이런 식으로 모든 자연수는 그보다 작은 자연수를 원소로 가지며, 동시에 자신보다 작거나 같은 수는 부분집합으로 갖는다. 즉, ⊂ 는 < 로, ⊆ 는 ≤ 로 자유롭게 바꿔쓸 수 있었던것이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기