문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 체(대수학) (문단 편집) == 정의 == {{{+1 [[體]] / Field}}} [[대수#s-2.1|대수적 구조]]의 하나로, 간단히 말해 '''[[덧셈]], [[뺄셈]], [[곱셈]], [[나눗셈]]의 사칙연산을 집합 안에서 소화할 수 있는 집합'''을 의미한다. 연산을 통해 나온 값 또한 해당 집합의 원소여야 한다는 뜻.[* 이를 해당 연산에 대해 닫혀있다고 말한다.] 가장 간단한 체의 예시로는 [[유리수]]의 집합 [math( \mathbb Q)], [[실수(수학)|실수]]의 집합 [math(\mathbb R)], [[복소수]]의 집합 [math(\mathbb C )]가 있다. 그래서 이들이 체라는 것을 강조하고 싶을 때에는 각각 유리수체, 실수체, 복소수체라고 부르기도 한다. 그러나 [[정수]]의 집합 [math(\mathbb Z )]는 체가 되지 않는데, 정수 사이의 덧셈, 뺄셈, 곱셈까지는 언제나 원활하게 수행할 수 있지만 아무런 두 정수나 뽑아서 나눗셈을 하였을 때에는 [[나머지|나누어 떨어지지 않는 경우]]도 있기 때문이다. [[자연수]]의 집합 [math(\mathbb N)]의 경우는 나눗셈은커녕 뺄셈조차도 불가능한 경우가 존재하므로 당연히 체가 되지 않는다. 어떤 [[집합]] [math( F )]가 체가 되기 위해서는 다음의 10가지 조건을 만족시켜야 한다.[* 보통 수학과, 수학교육과에서 배우는 전공수학 커리큘럼 중 이 분야를 본격적으로 다루는 현대대수학에서는 [[군(대수학)|군]]을 한학기 가까이 공부하고서 가장 기본적인 덧셈군에다가 이것저것 차근차근 추가하면서 가환군, [[환(대수학)|환]] 등을 거쳐 체의 공리를 마주하기까지의 과정이 최소한 한 학기를 써먹지만, 3학년 과정인 현대대수학보다 이른 2학년때 배우는 해석학개론에서는 이 10가지 체의 공리를 '''첫 학기 첫 수업에서부터 머릿속에 마구 쑤셔넣고''' 완비순서체로서의 실수를 구성하는데에만 집중하기 때문에 미적분학이나 집합론 말고는 별다른 기초도 안 갖춰진 2학년생들에게 상당한 컬처쇼크를 선사한다. 2학년 때에는 그냥 암기, 사실 암기조차도 아니고 '당연한 성질'이라고 무심코 넘기던 것이 이렇게 여러 조건을 강화한 것임을 깨닫고 나면 고학년생들은 한번쯤 이불킥을 한다. ~~그리고 [[벡터 공간]]을 가군의 예시로 만나면 이불킥 한번 더~~ ] * 집합 [math( F )] 위에 덧셈과 곱셈이 정의되어 있다. * (A1) 덧셈에 대해 교환법칙이 성립한다. * (A2) 덧셈에 대해 결합법칙이 성립한다. * (A3) 덧셈의 항등원 [math( 0 )]이 존재한다. * (A4) [math( F )]의 모든 원소 [math( a )]에 대해 역원 [math( -a )]가 존재한다. 따라서 뺄셈도 항상 가능하다.[* A는 덧셈에 대해 교환법칙까지 성립하는 가환군의 조건이다.] * (M1) 곱셈에 대해 교환법칙이 성립한다.[* 이게 성립하지 않는 [[환(대수학)|환]]은 꼬인체(skew field)가 된다. 대표적으로 [[사원수]] 집합 [math(\mathbb H)].] * (M2) 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다. 따라서 곱셈만 있는 식에서도 괄호를 쓰지 않아도 된다. * (M3) 곱셈의 항등원 [math( 1 )]이 존재한다.[* 대수학 교과서나 학자에 따라 환의 정의에 이 조건을 포함시키기도 하고 제외하기도 한다.][* 이게 성립하지 않으면 [[RNG#s-3]]가 된다. 대표적으로 0과 음수를 포함한 [[짝수]]가 있다.] * (M4) [math( F )]의 [math( 0 )]이 아닌 모든 원소 [math( a )]에 대해 역원 [math( a^{-1} )]가 존재한다. 따라서 0 이외의 수로는 항상 나누기를 할 수 있다. 즉 체에서는 [[나머지]]가 존재해서는 안 된다. * (D) 덧셈과 곱셈에 대해 좌우 분배법칙이 모두 성립한다. 대수적인 언어로 압축해서 쓰면, [math(\left(F,+,\cdot\right))]가 단위원(unity, [math( 1 )])을 포함하는 [[환(대수학)#s-3|가환 나눗셈환]](commutative division ring with unity)이라는 뜻이다. 즉, 다음과 같은 한 문장으로 압축할 수 있다. > (Th) 단위원 [math(1_{R})]을 지니는 가환환 [math(R)]에서 임의의 원소 [math(a\left(\neq0_{R}\right)\in R)]에 대하여, [math(ax=1_{R})]을 만족하는 [math(x\in R)]이 존재하는 가환환 [math(R)]은 체이다. 이것이 위의 10가지 조건과 동치임은 조금만 생각해보면 쉽게 보일 수 있다.[* 가환환이므로 교환법칙에 대해서는 설명할 필요가 없으며, 단위원 [math(1_{R})]을 지정하므로 곱셈에 대한 내용은 해결 가능하다. 다만 이 문장만으로는 덧셈에 대한 내용은 조금 끌어내기가 힘든데, [math(a\left(\neq0_{R}\right)\in R)]에서 덧셈에 대한 항등원 [math(0_{R})]을 언급하고 있다는 점을 이용하면 된다.] 역대 수학 천재들의 목록을 나열해 본다면 절대로 빼놓을 수 없는 수학자가 바로 [[에바리스트 갈루아|갈루아]]인데 이분이 바로 이 체에 관한 이론을 연구하여 [[닐스 헨리크 아벨|아벨]]이 기존에 증명하였던 것과는 다른 방식으로 5차 이상의 [[다항식]]에 대해서는 근의 공식이 존재하지 않는다는 것을 증명하였다.[* 이때 근의 공식이란, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, n승근의 조합으로만 구성된 수식을 의미한다. ] 갈루아는 체와 [[군(대수학)|군]] 사이에 존재하는 미묘하고도 심오한 관계를 사용하여 증명을 할 수 있었다. 이에 관한 자세한 설명은 [[갈루아 이론]]을 참조하자.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기