문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 체(대수학) (문단 편집) === 분수체(Field of fractions) === 몫체(Field of quotients)라고도 한다. 간단히 말해, 정수환 [math(\mathbb{Z})]로부터 유리수체 [math(\mathbb{Q})]를 만드는 과정을 일반화한 것이다. 아래 내용을 읽기 전에 먼저 [[수 체계#s-3.3|유리수의 구성 방법]]에 대해 읽고 오기를 권장한다. ||[[환(대수학)#s-2.3.2|정역(integral domain)]] [math(D)]에 대하여 집합 [math(F)]를 [math(F:=(D\times (D\backslash \{0\}))/\sim)]와 같이 정의한다. 여기에서 [[동치관계]] [math(\sim)]는 다음과 같이 정의한다. * [math((a,b)\sim (c,d) \Longleftrightarrow ad=bc.)] 이 관계가 동치관계임을 보이자. 반사성과 대칭성은 거의 명백하므로 추이성만 보이면 된다. 만약 [math((a,b)\sim (c,d))]이고 [math((c,d)\sim (e,f))]라고 하면 [math(ad=bc)]이고 [math(cf=de)]이다. 첫 번째 등식의 양변에 [math(f)]를 곱하면 [math(adf=bcf=bde)], 즉 [math(adf=bde)]가 된다. 여기에서 [math(d\neq 0)]이고 [math(D)]는 정역이므로 소거법칙[* [math(z\neq 0)]이고 [math(xz=yz)]이면 [math(x=y)].]이 성립한다. 따라서 [math(adf=bde)]의 양변에서 [math(d)]를 소거하면 [math(af=be)]를 얻고, 이는 곧 [math((a,b)=(e,f))]를 의미한다. 이것으로 동치관계 [math(\sim)]의 추이성이 증명되었다. 이제 이렇게 정의한 집합 [math(F)] 위에 연산 [math(+)]와 [math(\cdot)]를 아래와 같이 정의하자. 1. [math(\left[(a,b)\right]+\left[(c,d)\right]=\left[(ad+bc,bd)\right])] 1. [math(\left[(a,b)\right]\cdot \left[(c,d)\right]=\left[(ac,bd)\right])] 그러면 두 연산 [math(+)]와 [math(\cdot)]는 [math(F)] 위에서 잘 정의되어 있으며, 연산 [math(+)]가 위의 공리 (A1)~(A4)를, 연산 [math(\cdot)]가 위의 공리 (M1)~(M4)와 (D)를 만족함을 확인할 수 있다. 조금 더 자세하게 말하자면, (A1), (A2), (M1), (M2), (D)는 단순 계산이고, (A3)은 [math(+)]에 대한 항등원을 [math(0_F:=[(0,1)])]로 놓으면 되며, (A4)는 [math(\left[(a,b)\right])]의 [math(+)]에 대한 역원을 [math(-\left[(a,b)\right]:=\left[(-a,b)\right])]로 놓으면 된다. (M3)은 [math(\cdot)]에 대한 항등원을 [math(1_F:=\left[(1,1)\right])]로 놓고, (M4)는 [math(a\neq 0)]에 대하여 [math(\left[(a,b)\right])]의 [math(\cdot)]에 대한 역원을 [math(\left[(a,b)\right]^{-1}:=\left[(b,a)\right])]로 놓으면 된다. 따라서 [math((F,+,\cdot))]는 체라는 결론을 얻는다. 여기에 더해서 [math(D)]가 [math(F)]의 자연스러운 부분환이 됨을 증명할 수 있는데, 이는 자연스러운 매장(imbedding) [math(i:D\to F)]를 [math(i(a)=\left[(a,1)\right])]로 정의하면 된다. ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기