문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 체(대수학) (문단 편집) === 분해체(Splitting field) === 이제 조금 다른 방향에서 [math(\mathbb Q(\sqrt 2))]를 생각하자. 이때의 키워드는 바로 [[다항식]]의 [[인수분해]]이다. [math(x^2-2)]라는 다항식을 생각해보자. 이 다항식의 해는 유리수가 아니므로, 이 다항식을 '''유리계수 일차다항식''' 두 개의 곱으로 인수분해하는 것은 절대로 불가능할 것이다. 이처럼 어떤 체에서 더 이상 인수분해할 수 없는 다항식이 있는 경우라면, 언제나 그 체를 확장하여 그 다항식의 해를 가지는 새로운 체를 만들어 낼 수 있다! 그런 체를 만드는 방법은 무엇일까? 바로 다항식의 나머지를 취하는 것이다. 우선, 모든 유리계수 다항식을 모아놓은 집합은 [math(\mathbb Q[x])]라고 표기한다. 그리고 인수분해하고자 하는 다항식은 바로 [math(x^2-2)]이다. 이제 우리는 [math(\mathbb Q[x])]의 원소들 중, [math(x^2-2)]로 나눈 '''나머지가 같은 원소들은 그냥 서로 동일한 것'''이라고 생각한다. 예를 들어, [math(x^2+x+1)]을 [math(x^2-2)]로 나눈 나머지는 [math(x+3)]이므로, [math(x^2+x+1\equiv x+3)]으로 취급한다. 그렇게 하고 나면, 어떤 다항식이든 2차다항식으로 나눈 나머지는 1차 이하의 다항식이므로, [math(\mathbb Q[x])]의 모든 원소를 어떤 1차 이하의 다항식 [math(a+bx)] (단, [math(a,b)]는 유리수)과 동일한 것이라고 생각할 수 있다. 이 다항식 사이의 덧셈, 뺄셈은 그냥 평범한 다항식의 덧셈, 뺄셈을 사용한다. 두 다항식 사이의 곱을 하고 나면 2차 다항식이 만들어질 수도 있는데, 그 경우에는 다시 [math(x^2-2)]로 나눈 나머지를 취한다. 즉, [math(x \times x)]는 [math(x^2-2)]로 나눈 나머지가 2이므로 [math(x)]라는 다항식을 제곱하면 그것은 2가 된다. 마지막으로 나눗셈을 하는 방법을 알아야 하는데, 이것은 조금 복잡하다. 그렇지만 [math(x^2-2)]라는 다항식이 [math(\mathbb Q)]에서는 인수분해가 불가능하였다는 사실을 잘 사용하면 어떤 다항식의 역수에 해당하는 다항식을 찾아내는 것도 가능하다. 예를 들어, [math(1/x\equiv x/2)]이다. 이 식을 잘 정리하면 [math(x^2-2\equiv 0)]를 얻을 수 있고, 양변은 [math(x^2-2)]로 나눈 나머지가 동일하므로 맞는 식이라는 것을 확인할 수 있다. 따라서, 이렇게 [math(\mathbb Q[x])]에서 [math(x^2-2)]으로 나눈 나머지가 같은 다항식은 같다고 선언한 집합(기호로는 [math(\mathbb Q[x]/(x^2-2))]라고 쓴다.)은 사칙연산이 잘 정의되므로, 체가 된다. 길게 설명했지만 사실 이 체는 위에서 설명한 [math(\mathbb Q(\sqrt 2))]와 동일한 것이다. 왜냐하면 [math(x^2-2)]로 나눈 나머지 다항식들의 곱셈과 나눗셈에서 [math(x)]라는 기호는 마치 [math(\sqrt 2)]처럼 작용하기 때문이다. 우리는 이미 위에서 [math(x\times x\equiv 2)]라든지 [math(1/x\equiv x/2)]라든지 하는 식으로부터 [math(x)]라는 '''기호'''가 실은 [math(\sqrt 2)]처럼 작동하는 것을 이미 확인하였다. 정리하자면, 우리는 [math(\sqrt 2)]라는 수의 존재를 전혀 알지 못하고도, [math(x^2-2)]라는 다항식이 해를 가지는 [math(\mathbb Q)]의 체 확장을 이야기함으로써, [math(\mathbb Q(\sqrt 2))]를 만들어낼 수 있다. 이렇게 새로운 체에서는 [math(x^2-2)]를 분해할 수 있으므로, [math(\mathbb Q[x]/(x^2-2))]를 [math(x^2-2)]의 '''분해체'''라고 부른다. 어떤 다항식이 그 체에서 인수분해되지 않는다는 것만 확인한다면 동일한 일을 반복할 수 있다. 예를 들어, [math(x^2+x+1)]라는 다항식이 해를 가지는 [math(\mathbb Q)]의 체 확장을 만들고 싶다면, 유리 계수 다항식을 모두 모아놓고, [math(x^2+x+1)]로 나눈 나머지가 같은 다항식은 서로 동일하다고 선언만 하면 된다. 그렇게 얻어지는 체는 물론 [math(x^2+x+1)]의 해인 ~~정석에서 많이 본~~ [math(\omega=(-1+\sqrt 3 i)/2)]를 지니고 있을 것이므로 [math(\mathbb Q(\omega))]와 동일한 체가 될 것이다. 그렇지만 이 체를 구성하기 위해 우리는 [math(\omega)]에 대해 알 필요도 없다. 2차 다항식의 경우에는 한 번의 체 확장으로 분해체를 얻을 수 있지만, 고차 다항식이 주어진 경우에는 이러한 체 확장을 여러 번 해야 할 수도 있다. 그렇지만 매번 해를 1개씩만 구하여도 최대 n번만 이 과정을 반복함으로써 어떤 다항식이든 일차다항식의 곱으로 인수분해하는 새로운 체를 구성할 수 있다.[* 이는 [[대수학의 기본정리]]의 자명한 귀결로 얻어지는 결과다. 항목의 따름정리 1 참조.] 그렇게 얻어지는 체를 그 다항식의 분해체라고 한다. 또한 이런 식으로 계속해서 체를 확장해갈 경우, '''유리수체 [math(\mathbb{Q}[x])]의''' 모든 다항식의 근을 포함하는 체를 생각할 수 있는데, 이 체는 [math(\mathbb{Q_A})]라고 표기하고 '''유리수체의 대수적 폐포'''(Algebraic Closure)라고 부르며, [math(\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{Q_A}\subsetneq\mathbb{C})]가 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기