문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 충돌 (문단 편집) ==== 질량중심 좌표계에서 분석 ==== 질량중심 좌표계에서 측정한 계의 운동량의 합은 영벡터이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\mathbf{U}_{1}+m_{2}\mathbf{U}_{2}=m_{1}\mathbf{V}_{1}+m_{2}\mathbf{V}_{2}=\mathbf{0} \end{aligned} )] }}} 이렇게 되는 이유는 '''질량중심을 원점'''으로 잡았기 때문이다. 다르게 설명하면 위 식에서 계의 총 질량을 나눈 것은 곧 질량중심의 속도가 되는데, 우리는 질량중심을 원점으로 잡고, 그 원점에서 물체를 관측하는 프레임을 사용하기 때문에 [math(\bf{0})]인 것이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\mathbf{V}_{1}=-m_{2}\mathbf{V}_{2} \end{aligned} )] }}} 이고, 이것은 단순히 속도에 상수배를 한 것이므로 곧 충돌 후 물체는 평행하게 나아감을 의미한다. 그림에서도 산란각을 [math(\psi)] 하나만 쓴 것도 두 물체 모두 동일하기 때문이다. 질량중심의 속도는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{v}_{\sf{CM}}=\frac{m_{1}\mathbf{u}_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{1}\mathbf{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} 인데, 성립한 운동량 보존 법칙 [math(m_{1}\mathbf{u}_{1}=m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{1}\mathbf{v}_{1})]에 따라 '''질량중심은 충돌 전 후 같은 속도로 [math(\boldsymbol{x})]축 방향으로 이동함을 알 수 있다.'''[* [math(\mathbf{u}_{1})]이 [math(x)]방향의 벡터이기 때문이다.] 이것은 물체계의 질량중심은 외력이 없는 한 보존되기 때문이다. [[파일:namu_CM_4.svg|width=300&bgcolor=#ffffff&align=center]] 단, 벽에 충돌하는 상황 등 외력이 가해지는 순간이 오면 더 이상 질량중심의 운동량은 보존되지 않음에 유의한다. [math(\mathbf{U}_{1})]은 곧 질량 중심에 대한 [math(\mathbf{u}_{1})]의 상대속도이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{U}_{1}=\mathbf{u}_{1}-\mathbf{v}_{\sf{CM}}=\frac{m_{2}\mathbf{u}_{1}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} [math(\mathbf{U}_{2})] 또한 마찬가지 논리로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{U}_{2}=-\mathbf{v}_{\sf{CM}}=-\frac{m_{1}\mathbf{u}_{1}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} 이 또한 쉽게 증명 가능하다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{V}_{1}&=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{\sf{CM}} \\ \mathbf{V}_{2}&=\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{\sf{CM}}=-\frac{m_{1}}{m_{2}}\mathbf{V}_{1} \end{aligned} )] }}} 또한 이 좌표계에서도 에너지는 보존되어야 함에 따라서 탄성 충돌의 경우 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{P_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{P_{2}^{2}}{2m_{1}}=\frac{Q_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{Q_{2}^{2}}{2m_{1}} \end{aligned} )] }}} [math(P)]는 충돌 전, [math(Q)]는 충돌 후 운동량의 크기이다. 한편, 위 과정에서 질량중심 좌표계에서는 충돌 전후 각각의 운동량은 서로 반대 방향으로 평행하고, 그 크기는 같다고 했으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{P_{1}^{2}}{2} \left( \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}} \right)=\frac{Q_{1}^{2}}{2} \left( \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}} \right) \quad \to \quad {P_{1}^{2}}={Q_{1}^{2}} \end{aligned} )] }}} 이 말을 다시 말하면 [math(U_{1}=V_{1})]임을, 같은 논법으로 [math(U_{2}=V_{2})]임을 얻는다. 위의 내용을 반영한 '''(a)''' 벡터 관계도, '''(b)''' 성분 관계도이다. || [[파일:namu_고차원충돌_2_NEW_NEW.svg|width=600&bgcolor=#ffffff&align=center]] || 위 삼각형에 [[사인 법칙]]을 적용해보도록 하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\dfrac{m_{2}}{m_{1}}v_{\sf{CM} }}{\sin{\theta_{1} }}=\frac{v_{\sf{CM} }}{\sin{(\pi-(\theta_{1}+2\theta_{2}))}} \qquad \left( v_{\sf{CM}}=\frac{m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}} \right) \end{aligned} )] }}} 한편, [math(2\theta_{2}+\psi=\pi)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\dfrac{m_{2}}{m_{1}}v_{\sf{CM} }}{\sin{\theta_{1} }}=\frac{v_{\sf{CM} }}{\sin{(\psi-\theta_{1})}} \end{aligned} )] }}} 이것을 정리함으로써 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \psi=\theta_{1}+\arcsin{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin{\theta_{1}} \biggr)} \end{aligned} )] }}} 위의 결과에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{2}&=\frac{\pi}{2}-\frac{\psi}{2} \\&=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta_{1}}{2}-\frac{1}{2}\arcsin{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin{\theta_{1}} \biggr)} \end{aligned} )] }}} 이상에서 두 산란각의 합은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}+\theta_{2}&= \frac{\pi}{2}+\frac{\theta_{1}}{2}-\frac{1}{2}\arcsin{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin{\theta_{1}} \biggr)} \end{aligned} )] }}} 이상의 결과로부터 동일 질량이라면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}+\theta_{2}&= \frac{\pi}{2}+\frac{\theta_{1}}{2}-\frac{1}{2}\arcsin{(\sin{\theta_{1}})} \\&=\frac{\pi}{2} \end{aligned} )] }}} 이는 실험실 좌표계에서 유도했던 것과 동일하다. 또한 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}=\frac{\psi}{2} \end{aligned} )] }}} 로 질량중심 좌표계의 산란각과 실험실 좌표계의 산란각의 간단한 관계를 얻는다. 또 하나의 유용한 관계식으로 위 그림에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v_{1}\cos{\theta_{1}}&=v_{\sf{CM}}+V_{1}\cos{\psi} \\ v_{1}\sin{\theta_{1}}&=V_{1}\sin{\psi} \end{aligned} )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta_{1}}&=\frac{\sin{\psi}}{\dfrac{v_{\sf CM}}{V_{1}}+\cos{\psi}} \end{aligned} )] }}} 인데, 한편 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{v_{\sf CM}}{V_{1}}&=\frac{u_{1}}{U_{1}}\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} 이다. 위에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} U_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \end{aligned} )] }}} 이었으므로 곧 식의 값은 [math(m_{1}/m_{2})]가 된다. 즉, 다음의 관계식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta_{1}}&=\frac{\sin{\psi}}{\dfrac{m_{1}}{m_{2}}+\cos{\psi}} \end{aligned} )] }}} 이번에 살펴볼 내용은 운동 에너지와 관련된 것이다. 질량중심계에서 측정했기 때문에 운동 에너지는 '''실험실 좌표계에서 측정한 것과 상이함에 유의하여야 한다.''' 이 문단에서는 실험실 좌표계에서 측정한 운동 에너지는 기호 [math(T)]를, 질량중심 좌표계에서 측정한 운동 에너지는 기호 [math(K)]를 썼다. 충돌 전 실험실 좌표계에서 측정한 운동 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} T_{0}=\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2} \end{aligned} )] }}} 이다. 마찬 가지로 질량중심 좌표계에서 측정한 운동 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} K_{0}&=\frac{1}{2}m_{1}U_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}U_{2}^{2} \\&=\frac{1}{2}m_{1}\left( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\left( \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^{2}\\&=\frac{1}{2} \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} u_{1}^2 \\&=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}T_{0} \end{aligned} )] }}} 이다. 즉, 해당 상수배(1보다 작음)만큼의 운동 에너지로 측정된다. 탄성 충돌을 다루고 있기에 이 값은 충돌 전후 모두 같다. 추가적으로 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} K_{1}&=\frac{1}{2}m_{1}V_{1}^{2} \\&=\frac{1}{2}m_{1} \left( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^2 \\&=\left( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \right)^2 T_{0} \\ K_{2}&=\frac{1}{2}m_{2}V_{2}^{2} \\&=\frac{1}{2}m_{2} \left( \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^2 \\&= \frac{m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} T_{0} \end{aligned} )] }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기