문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 표현론 (문단 편집) === 정의 === '''표현'''(Representation)은 군의 원소를 벡터 공간 상의 변환에 대응시키는 것이다. 가장 대표적인 예시는 공간 상의 회전으로, 이는 회전군의 원소 [math( \sigma )]가 공간 상의 벡터 [math( v )]를 [math( \sigma(v))]로 보내는 변환[* 사실 자기 자신이다. [math( \sigma )]가 원래부터 함수였기 때문.]에 대응되는 것이다. 다만, 이러한 모든 변환이 표현이 되는 것은 아니며, 다음의 제약 조건을 만족해야 한다. * 각 원소가 나타내는 변환은 [[선형 변환]]이어야 한다. * 항등원이 나타내는 변환은 항등변환이어야 한다. * 군의 두 원소의 곱[* 일반적으로 군의 연산이 곱을 나타낼 필요는 없지만 편의상 그냥 곱이라고 부르자.]이 나타내는 변환은 각 원소가 나타내는 변환의 합성이어야 한다. 그런데 선형 변환은 대응되는 행렬을 가지며[* [[선형대수학의 기본정리]] 참고.] 나머지 두 조건을 만족하기 위해서는 각 변환이 가역이어야 하므로[* 역원이 나타내는 변환이 역함수가 될 수밖에 없다.] 표현은 군의 각 원소를 가역 행렬에 대응시키는 것이라 할 수 있다. 여기에 더해, 마지막 조건은 군에서의 연산이 표현을 통해 그대로 행렬의 곱으로 변환됨을 의미하므로 표현은 준동형 사상의 일종임을 알 수 있다. 이 때문에 표현은 흔히 주어진 군에서 가역행렬의 군[* 흔히 [math(\mathrm{GL}(n, F))]로 나타내며, 일반선형군이라는 이름이 있다.]으로 가는 준동형 사상으로 정의한다. 보통 표현을 표기할 때는 (벡터공간, 준동형사상)의 순서쌍으로 나타내는데, [math((V, \rho))]로 쓰는 경우가 많다. [math(V)]는 [[체(대수학)|체]] [math(F)] 위에서의 벡터공간이고, [math(\rho: G \rightarrow \mathrm{GL}(V))]는 준동형사상. [math(G)]와 [math(F)]는 문맥이 명확하면 종종 생략된다. 만약 [math(G)]에 조건이 주어지면 그 표현도 제약을 주는 경우가 많다. [math(G)]가 위상군이면(즉 위상이 주어져 있으면) [math(\rho)]가 [[연속함수]]인 '''연속 표현'''(continuous representation)만을 생각하고, [[리 군]](Lie group)이면 [math(\rho)]가 [[매끄러움|매끄러운]] '''매끄러운 표현'''(smooth representation)을 생각한다. [[양자역학]]에선 [[유니타리 행렬|유니타리 변환]]만을 생각하므로, [math(\rho(g))]가 유니타리여야 하는 (즉 [math(\rho : G \rightarrow \mathrm{U}(V))]인) '''유니타리 표현'''(unitary representation)만을 본다. 기타 복소기하학에서, [[대수기하학]] 등에서도 서로 다른 표현의 개념이 적용된다. 각각의 분야에선 이 추가된 제약조건이 암묵적으로 항상 적용되므로 유의하는 게 좋다. [* 특히 [[물리학]]과 수학에서의 관습이 다른 부분 중 하나로, 물리학에서 표현이라고 하면 무조건 유니타리 표현을 의미한다. 이 위키의 [[물리학]] (특히 [[양자역학]]) 관련 문서들을 볼 때 표현이라는 단어를 본다면 이 점에 주의하자.] 표현의 '''차원'''은 벡터공간 [math(V)]의 차원을 말한다. 무한차원 표현도 당연히 생각할 수도 있지만, 보통 [math(V\rightarrow V)]의 변환에 제약을 먼저 요구한다. 모든 군은 1차원 표현을 하나 갖는데, 항상 [math(\rho(g)=1)]로 주면 된다. 이걸 '''자명한 표현'''(trivial representation)이라 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기