문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 허수 (문단 편집) == 성질 == 제곱했을 때 [math(-1)]이 되는 수를 [math(i)]라고 하는데 이때 [math(i)]를 허수단위라고 한다. [[실수(수학)|실수]] [math(a,\,b)]를 이용하여 [math(a + bi)] 형식으로 표현되는 수를 [[복소수]]라고 하는데, 허수는 이 중 [math(b = \Im(a+bi)\ne0)]인 경우(실수가 아닌 복소수[* 복소수에서 [math(b = \Im(a+bi)=0)]인 경우가 실수이므로])에 해당한다. 이 정의에 따르면 [math(0)]은 실수에만 포함되기 때문에 편의상 [math(0)]을 허수로도 취급하기 위해 '제곱해서 [math(0)]보다 작은 실수가 나오는 수'를 허수로 정의하기도 한다. 허수의 조건에 [math(a = \Re(a+bi) = 0)], 즉 실수부가 [math(0)]이라는 조건이 추가되어 허수부만 남으면 순허수라고 한다. 제곱해서 실수(중 음수[* 허수를 제곱해서 양수가 나올 일은 없다. [math(a+bi)]에서 [math(a)]와 [math(b)]가 실수이므로 [math((a+bi)^2 = (a^2-b^2)+(2ab)i)]가 되는데, 양수가 되기 위해서는 우선적으로 [math(2abi=0)]이어야 한다. 앞서 허수의 정의가 '실수가 아닌 복소수', 즉 [math(b\ne0)]이었으므로 [math(2abi = 0)]을 만족하려면 [math(a = 0)]이어야 하는데, [math(a = 0,\,b\ne0)]은 순허수이며 [math(a^2-b^2 = -b^2<0)]이므로 필연적으로 양수가 될 수 없다.])가 되는 허수는 순허수밖에 없다. 다만 순허수가 아니어도 짝수 번 제곱해서 음수가 나오는 경우도 존재한다. 이것이 바로 실수와 허수단위를 결합해 만든 새로운 수의 체계인 [[복소수]]이다. [math(a+bi)]에서 [math(a)]를 복소수의 실수부분, [math(b)]를 복소수의 허수부분이라고 한다. 또한 복소수에서 허수부분의 부호를 바꾼 [math(a-bi)]를 [math(a+b)]의 켤레복소수라고 하며, 기호로 윗줄을 그어서 나타낸다. [math(x^2=-1)]의 해 [math(i = \sqrt{-1})] 말고도 허수단위는 몇 개 더 있다. 대표적으로 [math(\epsilon^2 = 0~(\epsilon\ne0))]인 멱영원, [math(j^2 = 1~(j\ne \pm 1))]인 멱일원이 있다. 복소수를 확장시킨 [[사원수]] 체계에서 사용하는 [math(j)]와[* 이때의 [math(j)]는 멱일원이 아니다.] [math(k)] 역시 허수이다. 허수의 기본적인 룰로 크기의 비교, 즉 [[부등호]]를 정의할 수 없다. 즉, [math(1+500i)]와 [math(300+2i)]라는 두 수가 있을 때 [[순서 관계|누가 더 크고 작은지를 생각하는 것]] 자체가 무의미하다. ~~즉 허수에서는 [[이상도 이하도 아니다]]가 수학적으로 참이다!~~[* 대신, [[복소평면]] 상에서 원점으로부터 얼마나 더 멀리 떨어져 있는지를 비교할 수는 있다. 크기를 따질 수 없는 허수에 [[절댓값]]을 씌우는 의미가 바로 이것이다.] 크기를 비교한다는 것은 결국 어떤 수에서 다른 수를 뺐을 때 그 결과가 [math(0)]보다 큰지 작은지, 아니면 같은지를 논한다는 것, 즉 수식으로 나타내면 || [math(a > b \Leftrightarrow a - b > 0 \\ c = d \Leftrightarrow c - d = 0)] || 인데, 가장 간단하게 || [math(\begin{cases} i>0 \\ i=0 \\ i<0\end{cases})] || 를 생각해보자. 먼저 [math(i=0)]은 [math(i)]가 [math(x^2 = -1)]의 해라는 조건에 모순이므로 나머지 두 조건만 고려하면 되는데, 계산의 편의를 위해 양수 조건인 || [math(\begin{cases} i>0 \\ -i>0\end{cases})] || 로 바꿔서 따져보면, 양수의 제곱은 양수라는 실수의 기본적인 성질[* 현대 대수학에서는 실수를 정의할 때는 먼저 양수로 구성된 덧셈과 곱셈 연산에 대해 닫힌 집합인 양수집합 [math(\mathbb{P})]를 정의한 뒤, 덧셈에 대한 항등원인 0을 추가하고, 여기에 음의 부호를 더한 음수 집합 [math(-\mathbb{P})]을 정의하여 이 모두를 실수라고 정의한다. 따라서 양수는 그 자체가 정의상 '''곱셈에 대해 닫혀있는 집합'''이므로 양수의 제곱은 양수가 되는 것은 실수에서 가장 기본되는 성질인 셈.]에 모순되는 결과, 즉 [math(-1>0)]이 얻어짐을 알 수 있다. 결과적으로 세 가지 경우에서 모두 [[모순]]이 발생하므로 허수에서 크기를 논한다는 것 자체가 무의미함을 알 수 있다. 이를 다르게 표현하자면, 허수에서는 양수와 음수의 개념이 존재하지 않는다는 것을 의미한다. 즉 '''다음 중 양의 허수를 고르시오''' 같은 문제는 있을 수조차 없다. 다만, [math(z = a+bi)] 꼴의 허수에서 허수'부'를 의미하는 [math(\Im(z) = b)][* 즉 [math(\Im)]의 결과값은 항상 실수이다.]가 양수인지 음수인지 묻는 문제는 나올 수 있다. 이는 어디까지나 허수부의 계수를 보는 것이지 해당 허수가 양수인지 음수인지를 묻는 것이 아니기 때문이다. 임의의 음수를 임의의 허수와 비교하는 건 어떠냐고? 그런 것도 정의되지 않는다. 어떤 수를 [math(-1)]로 나누면 결과적으로 [math(-1)]을 곱하는 것과 같은 연산인 것처럼, [math(i)]로 나누면 도리어 [math(-i)] 가 곱해지게 된다. 허수 [math(i)] 의 위수[* 항등원이 되게하는 연산의 최소 시행 횟수. 곱셈의 항등원은 [math(1)]이며 앞선 [math(-1)]을 예로 들면 [math((-1)^1 = -1)], [math((-1)^2 = 1)]이므로 [math(-1)]의 위수는 [math(2)]이다.]는 [math(4)], 즉 [math(i^4 = 1)]이므로 [math(i)]의 곱셈 역원 [math(i^{-1})]은 [math(i^4 = i{\cdot}i^3 = i^3{\cdot}i = 1)]에서 [math(i^{-1} = i^3 = -i)]가 된다. 허수단위 [math(i)]의 [[제곱근]]은 [[오일러 공식]] [math(e^{ix} = \cos x + i\sin x)]를 이용하면 [math(i = e^{i{\left(\frac\pi2+2n\pi\right)}})]이므로 [math(\sqrt i = i^{\frac12} = e^{i{\left(\frac\pi2+2n\pi\right)}\frac12} = e^{i{\left(\frac\pi4+n\pi\right)}} = e^{i\frac\pi4}\textsf{ or }e^{i\frac54\pi})][* [math(e^{i\frac94\pi})], [math(e^{-i\frac34\pi})] 등도 답이지만 [math(e^{i2n\pi} = 1)], 즉 [math(2n\pi)]를 주기로 [math(1)]이 되기 때문에 결과적으로 저 두 개로 압축된다.]로 간단하게 구할 수 있고 || [math(\begin{cases} \begin{aligned} e^{i\frac\pi4} = \cos\dfrac\pi4 + i\sin\dfrac\pi4 = \dfrac{1+i}{\sqrt2}\end{aligned} \\ \begin{aligned} e^{i\frac54\pi} = \cos\dfrac54\pi + i\sin\dfrac54\pi = -\dfrac{1+i}{\sqrt2}\end{aligned}\end{cases})] || 이므로 정리하면 [math(\sqrt i = \pm\dfrac{1+i}{\sqrt2})]가 된다. 고등학교 수학 수준으로는 [math(i)]의 제곱근을 [math(a+bi)]라 두고 다음과 같이 이차방정식을 푸는 방법으로 구할 수도 있다. || [math((a+bi)^2 = a^2-b^2+2abi = i \\ \Leftrightarrow (a^2-b^2)+(2ab-1)i = 0 \\ \Rightarrow \begin{cases}a^2-b^2 = (a-b)(a+b)=0 \\ 2ab-1=0 \end{cases} \\ \therefore b = \dfrac1{2a}\quad(\because a\ne0,\,b\ne0) \\ {\left(a-\dfrac1{2a}\right)}{\left(a+\dfrac1{2a}\right)} = \dfrac{2a^2-1}{2a}\dfrac{2a^2+1}{2a} = 0 \\ \Rightarrow 2a^2-1 = 0 \Rightarrow \begin{cases} a = \pm\dfrac1{\sqrt2} \\ b = \dfrac1{2a} = \pm\dfrac1{\sqrt2}\end{cases} \\ \therefore \sqrt i = \pm\dfrac{1+i}{\sqrt2})] || 전술한 [[오일러의 공식]]을 바탕으로 허수 지수도 정의할 수 있는데, 이 경우 지수의 허수부는 주기를 갖는 삼각함수가 되기 때문에 결과값은 어느 한 가지 결과가 나오는 게 아닌 다가함수가 된다. 대표적으로 [math((-1)^i = {\left\{e^{i(\pi+2n\pi)}\right\}}^i = e^{-\pi-2n\pi} = e^{-\pi},\,e^{-3\pi},\,e^{-5\pi},\,\cdots)]이다. 밑이 굳이 실수가 아니어도 상관이 없으며 이를 테면 [math(i^i)]의 값 중 하나는 [math(e^{-\frac\pi2})][* 역시 마찬가지로 [math(i^i = {\left\{e^{i{\left(\frac\pi2+2n\pi\right)}}\right\}}^i = e^{-\frac\pi2-2n\pi})]에서 [math(n=0)]인 경우. 이 값은 [math(0.20787957635 \cdots \cdots)]]로, 허수에 허수를 제곱하니 실수가 나오는 재미있는 현상을 볼 수 있다. [[삼각함수]]에도 넣을 수 있는데, 덧셈정리를 통해 실수부와 허수부가 분리되며, 순허수가 정의역으로 들어간 삼각함수는 [[쌍곡선 함수]]로 바뀐다. 이 역시 [[오일러 공식]]을 바탕으로 자연스럽게 유도되는 결과이며 [math(e^{ix} = \cos x + i\sin x)]이므로 [math(\cos x = \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2)], [math(\sin x = \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = -i\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}2)]인데, [math(\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2)], [math(\sinh x = \dfrac{e^x-e^{-x}}2)]이므로 [math(\cos x = \cosh ix)], [math(\sin x = -i\sinh ix)]임을 알 수 있다. 정리하면 || [math(\begin{aligned} \sin x &= -i\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}2 \\ \cos x &= \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2 \\ \tan x &= \dfrac{\sin x}{\cos x} = -i\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}\end{aligned})] || 이를 테면 다음과 같다. * [math(\cos i = \cosh1 = \dfrac{e + e^{-1}}2 = \dfrac{e^2 + 1}{2e} \approx 1.54308064\cdots)] * [math(\sin i = i\sinh1 = \dfrac{e - e^{-1}}2i = \dfrac{e^2 - 1}{2e}i \approx 1.17520119\cdots i)] 복소수는 복소평면을 이용해 나타낼 수 있다. [math(x)]축이 실수축으로 [math(x)]좌표가 실수 부분, [math(y)]축이 허수축으로 [math(y)]좌표가 허수 부분을 나타낸다. 즉 복소평면 상의 좌표가 [math((a,\,b))]라면 이 수는 [math(a + bi)]다. 6차 교육과정까진 수학2에서 다뤘으며 7차 교육과정부터는 고등학교 교육과정에서 사라졌다.[* [[과학고등학교]]에서 배우는 [[고급 수학Ⅱ]]에 있긴 하겠지만, 여기서는 과학고생이 아닌 학생으로 기준으로 한다.][* 이웃 나라 일본은 정규 과목인 수학Ⅲ에 수록되어 있지만, 한국의 수능에 해당하는 센터시험에 나오지는 않는다. 그러나 일본 유학을 준비하는 이과 유학생이라면 가끔씩 일본유학시험에 출제되기 때문에 공부하는것이 좋다.] [[이과]]라면 대학에서 [[미적분학]]을 배우면서 자연스럽게 접하게 된다. 모든 숫자가 그렇듯이 허수 역시 자연계의 현상을 나타내는데 매우 유용하고 특히 평면에서의 회전을 나타내는데에도 쓰인다. 예컨대 [[오일러의 공식|[math(e^{ix} = \cos x + i\sin x)]]][* 그 유명한 [[오일러의 등식]]이 이 공식의 특수해이다.]이기 때문에 과학이나 수학분야에서는 파장과 그에 관련된 [[오일러의 공식#s-4|phase(위상)]]를 다루는 데에 밀접하게 쓰이고 있다. 특히 라플라스 변환이나 푸리에 변환기법을 사용하여 지수함수나 파동함수를 대수함수로 변환시켰을 경우 대수함수의 실수근이 지수함수, 허수근이 곧바로 파동으로 나타나기 때문이다. 덕분에 각종 파장(전자기파, 음파, 물질파 등)의 파동방정식에 허수가 등장하고, 임피던스도 복소수 형태로 표현된다. 스티븐 호킹은 우주 초기[* 플랑크 시간([math(5.391247(60)\times 10^{-44}s)]) 이전의 매우 극초기의 우주를 말한다.]에는 허수 시간이 존재했다는 주장을 한 바 있다.[* 실수 시간에서는 원시우주가 지닌 자체 중력이 수축을 촉진하지만, 순허수 시간에서는 팽창을 촉진하기 때문이다. 즉, 원시우주가 인플레이션이 벌어질 수 있을 정도의 크기까지 팽창하는 계기를 허수 시간에서 찾은 것. 가속도는 그 특징상 단위시간의 제곱에 반비례하는데, 허수 시간을 단위 시간으로 두면 가속도가 (중심을 향한)[math(+)]가 아니라 (중심을 향한)[math(-)]가 되면서 중심으로 수축하지 않고 중심에서 팽창하게 된다. 실제 이론상으로는 이것보다 복잡하지만, 이해하기 쉽게 간략화한 도식상으로는 이런 내용에 가깝다.] 문제는 순허수 시간에서 어떻게 실수 시간으로 전환되었느냐는 아직도 추측만이 난무할 뿐.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기