[include(틀:대수학)]
[include(틀:수와 연산)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[交]][[換]][[法]][[則]] / commutativity}}}

원소 [math(a)], [math(b)]를 포함한 집합 [math(S)]와 연산 [math(*)] 가 정의되어 있을 때, [math(a*b=b*a)] 가 성립하면 집합 [math(S)]에서 연산 [math(*)] 에 대해 교환법칙이 성립한다고 한다.

반대로 [math(a*b\neq b*a)] 가 되는 '''반례가 하나라도 나온다면''' 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.
== 교환법칙이 일반적으로 성립하는 연산 ==
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.
 * [math(+)] ([[덧셈]])
 * [math(\times)] ([[곱셈]])
 * [[지수(수학)|지수]]와 [[로그(수학)]]의 곱
 * [math(\max(a,b))] (둘 중 큰 수를 고르는 연산: 실수 범위)
 * [math(\min(a,b))] (둘 중 작은 수를 고르는 연산: 실수 범위)
 * [math(\cdot)] ([[내적]]: [[벡터]] 범위)
 * [math(*)] ([[합성곱]]: [[라플라스 변환]] 관련 연산)
 * [math(\circ)] (아다마르 곱: [[행렬]] 범위)
 * [math(\#)] (연결합: 위상)
== 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산 ==
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.
 * [math(-)] ([[뺄셈]]): [math(a-b)], [math(b-a)]는 서로 부호가 반대이다.
 * [math(\div)] (나눗셈, 당연히 0으로 나누면 안 된다.): [math(a\div b)]와 [math(b\div a)]는 서로 [[역수]] 관계이다.
 * [math(^\wedge)] (제곱)[*증명1 반례를 이용한 증명) [math(2^3=8)], [math(3^2=9)]로, [math(2^3\neq3^2)]이다. 반례가 하나 이상 존재하므로, 제곱에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다.]
 * [math(\uparrow)] ([[테트레이션]])
 * [math(\circ)] (둘 이상의 [[함수]]의 합성)
 * [math(\otimes)] ([[외적]]): 벡터 범위, [math(\mathbf a\otimes\mathbf b)]와 [math(\mathbf b\otimes\mathbf a)]는 크기가 같지만 방향이 반대로 뒤집힌다.
 * [math(\times)] (곱셈: [[행렬곱|곱셈]]이 정의된 [[행렬]] 범위)
 * [math(\times)] (곱셈: [[사원수]] 범위)[*증명2 반례를 이용한 증명) [math(ij=k)], [math(ji=-k)]로, [math(ij\neq ji)]이다. 반례가 하나 이상 존재하므로, 사원수의 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다.]
 * [math(+/\times)] (덧셈/곱셈): [[서수(수학)|무한서수]]가 포함된 연산
 * [math(\otimes)] ([[텐서곱]]: [[텐서]] 범위)
== 예 ==
[math(\begin{aligned}1+2&=2+1\quad(3-1=2,&3-2=1)\\1+3&=3+1\quad(4-1=3,&4-3=1)\\1+4&=4+1\quad(5-1=4,&5-4=1)\\1+5&=5+1\quad(6-1=5,&6-5=1)\\1+6&=6+1\quad(7-1=6,&7-6=1)\\1+7&=7+1\quad(8-1=7,&8-7=1)\\1+8&=8+1\quad(9-1=8,&9-8=1)\\1+9&=9+1\quad(10-1=9,&10-9=1)\\2+3&=3+2\quad(5-2=3,&5-3=2)\\2+4&=4+2\quad(6-2=4,&6-4=2)\\2+6&=6+2\quad(8-2=6,&8-6=2)\\3+4&=4+3\quad(7-3=4,&7-4=3)\\3+6&=6+3\quad(9-3=6,&9-6=3)\\4+5&=5+4\quad(9-4=5,&9-5=4)\\2\times3&=3\times2\quad(6\div2=3,&6\div3=2)\\3\times6&=6\times3\quad(18\div3=6,&18\div6=3)\\\end{aligned})]
== 같이 보기 ==
 * [[결합법칙]]
 * [[분배법칙]]
 * [[군(대수학)]]
 * [[체(대수학)]]
 * [[교환자]]

[[분류:대수학]][[분류:집합론]][[분류:수리논리학]]