[include(틀:해석학·미적분학)]
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== 일반적인 인식 ==
{{{+1 [[無]][[限]][[小]] / infinitesimal[* 인피니테시믈(/ˌɪnfɪnɪˈtesɪml/)로 발음한다.]}}}

무한소는 [[엡실론-델타 논법]]이 존재하기 이전에 극한을 설명 혹은 계산하기 위하여 여러 수학자들이 고안해낸 개념이다. 페르마는 극대·극소 문제를 풀기 위하여, adequality라는 개념을 도입하였고, 뉴턴은 [[미분|시간에 따라 변화하는 함수의 순간변화율]](뉴턴은 이를 [[유율법|fluxion]]이라 불렀다.)을 구하기 위해, 무한소를 이용하였다. 또한 라이프니츠는 [[미분|함수의 접선의 기울기]]를 구하면서 미분소([math({\rm d}x)])라는 것을 만들었다. 그러나 수학적으로 엄밀하지 못하여 [[조지 버클리]] 등에게 비판을 받았다. 이후, 18세기 초에 [[오귀스탱 루이 코시|코시]], [[볼차노]]와 [[카를 바이어슈트라스|바이어슈트라스]]가 [[엡실론-델타 논법]]을 개발하여 극한을 정의한 이후에 무한소의 '개념' 자체는 별 주목을 받지 못하고 역사의 기억으로 남게 된다.

하지만 엄밀함을 희생한다면 미분소 정도는 막상 써먹기는 편리하고, 지금도 수학자들이 아니면 [math({\rm d}x,\, {\rm d}y)] 등을 일종의 수처럼 자유롭게 쓰는 경우는 많다. 다행히도 미분소로만 쓰는 무한소의 의미는 현대수학에서 [[미분형식]]이란 이름으로 나름대로 엄밀하게 만들어졌고, 따라서 암묵의 룰을 지키며 주의해서 쓴다면 문제는 없다. 물론 해석학이 자리잡히지 않은 상태에서 이런 이야기를 들으면 오개념이 생기기 딱 좋기 때문에 현대의 미적분학 교육과정에선 무한소와 미분소 얘기를 100% 배제하는 경향이 있다.

== [[초실수체]]에서의 무한소 ==
20세기 후반에 [[아브라함 로빈슨]] 등이 무한소와 무한대를 포함시키도록 실수체를 확장한 [[초실수체]](hyperreal)[* [[존 호튼 콘웨이]]가 만든 초현실수(surreal number)와는 다르다.]를 도입하여 극한, 미분, 적분 등을 설명하는 [[비표준 해석학]]을 개발하였다. 일단 무한소와 초실수체에 대한 존재를 마음속으로 받아들이면 미적분학이 굉장히 직관적이 되지만, 무한소와 초실수체 자체를 이해하려고 한다면, 엡실론-델타 논법을 이해하는 것보다 훨씬 어렵고 공부를 많이 하여야 한다. 초실수체 문서도 참고하는 것이 좋다.

=== 무한소 ===
[[초실수체]]에서 무한소란 다음 셋 중 하나이다. [* 0으로 한없이 다가가지만 0은 아니라든가 그런것이 아니다. 그냥 하나의 수인 것이다.]
 1. 양의 무한소 : 0보다는 크면서 임의의 양의 실수보다 작은 초실수이다.[* 실수체의 원소를 실수라 하고, 초실수체의 원소를 초실수라 한다. 실수체는 초실수체의 부분집합이므로, 실수는 일종의 초실수이다.]
 1. 음의 무한소 : 0보다는 작으면서 임의의 음의 실수보다 큰 초실수이다.
 1. [math(0)] : 우리가 아는 덧셈에 대한 항등원, 그거 맞다.

물론 양의 무한소와, 음의 무한소는 하나만 있는게 아니라 셀수 없이 많다. [math(\epsilon)]과 [math(\delta)]가 양의 무한소이면 [math(2\epsilon)], [math(\epsilon^{2})], [math(\epsilon+\delta)], [math(\epsilon\delta)]등도 양의 무한소이다. 또한, 0은 말그대로 0이기 때문에 0으로 나눌수는 없지만, 양의 무한소, 음의 무한소는 0이 아니기 때문에 나누기도 가능하다. 예컨데, [math(\epsilon)]이 양의 무한소이면, [math(1/\epsilon)]은 양의 [[상대적 무한|상대적 무한대]][* 임의의 유한 초실수보다 크고 양의 절대적 무한보다는 작은 초실수이다.]이다.

무한소는 덧셈, 곱셈, 뺄셈에 대하여 닫혀있지만, 나눗셈에 대하여는 닫혀있지 않다. 즉, 임의의 두 무한소 [math(\epsilon)], [math(\delta)]에 대하여
 1. [math(\epsilon+\delta)]
 1. [math(\epsilon-\delta)]
 1. [math(\epsilon\times\delta)]
은 모두 무한소이다. 그러나 [math(\epsilon)]이 무한소이면
 1. [math(\epsilon \div \epsilon^{2}=1/\epsilon)]은 무한대이다.
 1. [math(\epsilon^{2} \div \epsilon=\epsilon)]은 무한소이다.
 1. [math(\epsilon \div \epsilon=1 )]은 실수이다.

또한 임의의 유한 초실수 [math(a)]와 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대하여
 1. [math(a+\epsilon)]는 유한초실수이다.
 1. [math(a\times\epsilon)]는 무한소이다.
 1. [math(a\div \epsilon)]은 무한대이다.

임의의 두 초실수 [math(a,b)]에 대하여 [math(a-b)]가 무한소이면 [math(a)]와 [math(b)]를 한없이 가깝다고 한다.

유한초실수 [math(a)]가 주어졌을 때, [math(a)]에 한없이 가까운 실수가 유일하게 존재하는데, 이를 [math(a)]의 표준부분(standard part)이라고 하며, [math(st(a))]로 나타낸다.
 [math(a=st(a)+\epsilon)]
을 만족하는 실수 [math(st(a))]와 무한소 [math(\epsilon)]이 유일하게 존재한다.

[[파일:무한소현미경.png]]
배율이 [math(1/\epsilon)]인 무한소 현미경으로 관찰한 5 주변의 초실직선

=== 함수의 [[극한]] ===
함수 [math(f)]가, 실수 [math(c)]에 한없이 가깝지만 [math(c)]는 아닌 임의의 초실수 [math(x)]에 대하여 [math(f(x))][* 극한을 보려는 함수가 실함수이고, 여기서 x는 초실수이기 때문에 f(x)라는 식으로 쓰는 것은 약간의 넌센스가 있다. 1차논리로 기술된 f에 대한 참인 모든 명제를 다 만족하면서 정의역과 공역을 실수체에서 초실수체로 확장 된 함수 f*가 존재하여야 하는데, [[https://en.wikipedia.org/wiki/Transfer_principle|전달원리(transfer principle)]]란 것에 의해 존재한다고 한다. 이를 f의 자연스러운 확장(natural extension)이라 한다.]가 실수 [math(L)]에 한없이 가까우면, [math(x)]가 [math(c)]로 갈 때의 [math(f)]의 극한을 [math(L)]이라 한다. 즉, 임의의 0이아닌 무한소 [math(\Delta x)]에 대하여
 [math(st(f(c+\Delta x))=L)]
이 성립하면 [math(\lim\limits_{x\to c}f(x)=L)] 이다. 예를들어 [math(f(x)=x^{2})]에 대하여 [math(x)]가 3으로 가면, 0이 아닌 임의의 아닌 무한소 [math(\Delta x)]에 대하여
 [math(st(f(3+\Delta x))=st((3+\Delta x)^{2})=st(9+6\Delta x+\Delta x^{2})=9)]
이므로, [math(\lim\limits_{x\to 3}x^{2}=9)]이다.

== 관련 문서 ==
 * [[0과 1 사이의 수]]
 * [[0으로 나누기]]
 * [[무한대]]
 * [[미분]]
 * [[극한]]
 * [[0.999…=1]] - 별 관련이 없으나 무한소에 대한 오해가 있다.
[각주][include(틀:문서 가져옴, title=무한대, version=249)]
[[분류:수학 용어]][[분류:해석학(수학)]][[분류:집합론]]