[[분류:방정식]][[분류:미적분]]
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[목차]

[[미분방정식]]은 일변수함수에 대응하는 상미분방정식과, [[다변수함수]]에 대응하는 편미분방정식으로 나뉜다.

== 상미분방정식 ==
{{{+1 [[常]][[微]][[分]][[方]][[程]][[式]] / ordinary differential equation, ODE}}}

1변수 함수에 대한 미분방정식을 가리키는 말이다. 여기서 상미분이라는 표현은 직역하자면 평범한 미분이란 뜻이지만 그보다는 "[[편미분]]"(partial differential equation, PDE)과 대비시켜 다변수 함수가 아닌 함수의 미분방정식을 가리키려 쓰는 조어라고 볼 수 있다.

우선 이 절에 쓰이는 표기법을 정리하자.
 * 미지의 함수 [math(y)]는 [math(x)]를 변수로 갖는다.
 * 도함수는 [math(y')], [math(y'')], ... 또는 [math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2})], ... 등으로 나타내자. [math(C)], [math(C_{1})] 등은 임의의 상수.[* 단, 초깃값 문제 등에선 값이 정해진다고 생각하자.]
 * 편도함수는 편미분 기호 [math(\partial)][* 이는 [math(\mathrm{d})]를 둥글게 변형한 것으로, '파셜', '라운드', '라운드 디' 등으로 읽는다.]를 사용하거나([math(\displaystyle {\partial y \over \partial x})] 등), 변수의 아래 첨자([math(y_x)] 등)로 나타내자. [math(\displaystyle\int)]는 적분기호.
 * [math(e)]는 자연로그의 밑이며, [math(\exp(x) = e^x)]로 약속한다. 일변수 함수 [math(f)], [math(g)]의 적분은 암묵적으로 [math(F)], [math(G)] 등의 대문자로 표기하자. [[복소수]]가 나올 때 [math(i=)][[허수|[math(\sqrt{-1})]]].[* 전기전자공학(특히 [[회로이론]])에서는 [math(i)]가 전류의 기호로 쓰일 수 있어 헷갈리기 때문에 허수단위 기호로 [math(j)]를 사용한다. 예를 들면 [math(f(t) = \exp(-j\omega t))] [math(i)]가 [math(j)]로 쓰이는 것 빼고 쓰임새는 같다. 이 글을 보면 [[사원수]]/분할 복소수([math(j^{2}= 1)], [math(j\ne1)])를 쓰면 물음이 생길 수 있는데, 각자 교수에게 물어보도록 하자. 적어도 [math(j)]를 쓰는 과의 학부 과정에서는 사원수와 분할 복소수가 안 나온다.]

=== 일계 미분방정식 ===
일계 미분방정식은 도함수 [math(y')]가 [math(y)]와 [math(x)]의 식으로 주어져 있는 형태이다. 일계 선형 미분방정식의 경우 함수의 초기값이 주어지면, 국소적으로[* 즉, 실직선 전체에서 방정식을 만족하는 해의 존재가 보장되는 것이 아니다.[math( y(0) = 0, y' = (1+y^2) )]의 해인 [math( y = \tan(x) )]는 구간[math( (-\pi/2, \pi/2))]에서만 정의된다.] 해가 항상 유일하게 존재한다는 사실이 알려져 있다. 일반적으로 [math(n)]계 선형 상미분방정식은 [math(y(0), y'(0), ..., y^{n-1} (0) )]의 [math(n)]개 초기값이 모두 주어져야 이를 만족하는 해가 유일하게 존재한다.

간혹 [math(\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x})]를 분수처럼 조작하여 [math(\mathrm{d}x)]나 [math(\mathrm{d}y)]라는 단독표현을 사용하는데, 이를 엄밀히 이해하려면 [[미분형식]]이라는 이론을 동원해야 한다. 수학 전공자가 아니면 '직관적으로 이해하거나' '형식적인 표기일 뿐이라 납득하고' 넘어가자.

=== 선형 미분방정식 ===
선형미분방정식이란 방정식의 차수에 해당하는 미분가능 [[벡터 공간|함수공간]] 위에서 정의된 [[선형연산자]] L에 대해 [math(Lf=g)]으로 표현되는 미분방정식을 의미한다. 아래 내용은 선형대수 뿐만 아니라 [[군(대수학)|군]]에 대한 지식 특히 몫군에 대한 이해를 요구하므로 군에 대한 이해가 부족하다면 해당 내용을 참조하는것이 좋다. 

우선 [math(Lf=g)]의 해는 선형 사상의 핵(kernel)으로 구성한 잉여류(coset) 혹은 아핀 부분공간(affine subspace) 중 하나로 표현할 수 있고, 그것은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle h+\mathrm{ker}\,L )] }}}
로 표현된다. 여기서 [math(h)]는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle Lh=g )] }}}
에 해당하고 이것은 특수해 중 하나이다. 한편,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \mathrm{ker}\,L )] }}}
는 동차해를 이루는 부분공간에 해당된다. 동차해에 해당되는 집합은 참고로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle h+\mathrm{ker}\,L )] }}}
로 표현된 해집합은 동치류를 이루므로 [math(h)]의 선택에 무관하므로 해집합을 잘 결정할 수 있다. 특히 동차의 경우
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= 0 )] }}}
로 주어진 식을
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' = - c_0 y )] }}}
형태로 이해하여 고유치 문제로 풀 수도 있다. 물론 주어진 [math(c_0 = 0)]인 경우는 고유값이 [math(0)]인 경우이다.

또한 공대생들의 멘탈을 붕괴시키는 주범중 하나인 [[푸리에 해석]] 또한 이 선형 편미분방정식을 풀기 위한 이론이다. 선형 편미분방정식도 결국 다변수 함수에 대해 [math(Lu=g)]로 표현되는 미분방정식이므로 위 이론을 그대로 적용할 수 있다.

선형미분방정식에서 일반해를 구할 때 동차해에 특수해를 더해주는 이유가 바로 이것이다. 더 자세한 내용은 [[선형 변환]] 항목 참조.

하지만 이것은 어디까지나 이론상 그렇다는 것이고 실제로는 선형 미분방정식이라도 풀이를 위해서는 상당히 많은 수단이 동원된다. 사실 아래의 적분변환과 멱급수법도 이 선형미분방정식을 풀기 위한 방법들이다. 또한 위의 이론은 선형연립미분방정식에도 그대로 적용된다.
이제 선형미분방정식의 예시를 하나 들어보자. 상수 [math(c_{i})]들에 대해
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= 0 )] }}}
의 형태이다. 여기에 대응하는 다항식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \chi(T) = T^n+ c_{n-1} T^{n-1} + \cdots + c_1 T + c_0 )] }}}
를 특성다항식(characteristic polynomial)이라고 한다. 이 특성다항식이
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \chi(T) = (T - \alpha_1) ^{n_1} (T - \alpha_2) ^{n_2} \cdots (T - \alpha_k)^{n_k} )] }}}
로 복소수 범위내에서 인수분해된다고 하면, 각각의 근 [math(\alpha_i)]에 대해
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \exp(\alpha_i x), x \exp(\alpha_i x), \cdots ,x^{n_i -1} \exp(\alpha_i x) )] }}}
의 [math(n_i)]개들의 함수가 해가 된다. 또한, 이 미분방정식의 모든 해는 이들을 모두 모은 [math(n)]([math(= n_i)]들의 합)개의 해들의 일차결합으로 유일하게 나타내어진다. 만약 근이 [[복소수]] [math(\alpha = r + is)]라면, [[오일러의 공식]]을 이용해
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \exp(\alpha x) = \exp(rx)(\cos(sx) + i \sin(sx)) )] }}}
로 처리하고, 일차결합에서 복소수 계수를 허용한다.

예를 들어 위에 소개했던 단진자의 운동방정식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle m y'' + k y =0 )] }}}
의 특성다항식은 [math(mT^2 + k = 0)]이고, [math(w = \sqrt{k/m})]으로 정의하면 특성다항식은 허수해 [math(iw)], [math(-iw)]를 갖는다. 따라서 모든 해는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \exp(iwx) &= \cos(wx) + i \sin(wx) \\
\exp(-iwx) &= \cos(wx) - i \sin(wx) \end{aligned} )] }}}
의 일차결합, 즉 [math(\cos(wx))]와 [math(\sin(wx))]의 일차결합으로 나타내어진다. 삼각함수의 합성을 써서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle C_1 \cos(wx) + C_2 \sin(wx) = C \sin(wx + \phi) )] }}}
로 멋들어지게 나타낼 수도 있다.

선형미분방정식에 상수항이 있는 경우, 즉
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= f(x) )] }}}
꼴의 경우, 이러한 방정식의 해는 (특수해)+(동차해) 꼴로 나타나진다. 여기서 (특수해)란 위 방정식을 만족시키는 특정 해 아무거나, (동차해)란 상수항이 없는 경우, 즉 [math(y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= 0)]의 해.

==== 심화 ====
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle y' + g(x)y = f(x) )] }}}
 꼴의 경우, [math(y)]항과 [math(y')] 항을 단서로 좌변에 ''적절하게'' 미지의 식을 곱하면 좌변을 원함수에서 곱의 미분이 일어난 형태로 간주할 수 있다. 이 때의 미지의 식을 적분인자 [math(h(x))]라고 부르자. 즉, [math(h(x))]를 방정식에 곱한 식
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle h(x)y' + h(x)g(x)y = h(x)f(x) )] }}}
 의 좌변이
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle h(x)y' + h(x)g(x)y = (h(x)y)' )] }}}
 가 되는 [math(h(x))]를 찾으면
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (h(x)y)' = h(x)f(x) )] }}}
 의 양변을 적분해서 해를 구할 수 있지 않겠냐는 것. 전개를 하면
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (h(x)y)' = h(x)y' + h'(x)y = h(x)y' + h(x)g(x)y )] }}}
 가 되므로
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle h'(x) = h(x)g(x) )] }}}
 이고, 곧
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \dfrac{h'(x)}{h(x)} = g(x) )] }}}
 임을 알 수 있다. 이로서 적분을 통해 [math(h(x))]를 다음 식과 같이 구할 수 있다.
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle h(x) = Ce^{\int\!g(x)\mathrm{d}x} )] (단, [math(C)]는 적분 상수) }}}
 이제 위에서 네 번째 식 [math(\displaystyle (h(x)y)' = h(x)f(x) )]에 [math(h(x))] 값을 대입하면
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (Ce^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}y)' = Ce^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}f(x) )] }}}
 양변의 적분 상수를 정리하고 적분하면
 {{{#!wiki style="text-align: center"
 [br][math(\displaystyle e^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}y = \int e^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}f(x)\mathrm{d}x + C )] }}}
 양변을 나누어 정리하면
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \displaystyle y = e^{- \int\!g(x)\mathrm{d}x} (\int e^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}f(x)\mathrm{d}x + C) )] }}}
 를 얻게 된다.


==== 멱급수법 ====
미분방정식의 해 [math(y)]가 멱급수 [math(\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots )]의 꼴로 나타낸다고 가정하고, 미분방정식에 대입한 다음에 계수비교법을 적용해 [math(a_{i})]를 계산하는 방법이다. 계수를 계산하기 쉬운 선형미분방정식에 많이 쓰인다. 여기서 한 단계 더 나아가서 프로베니우스 방법(Frobenius method)과 같은 것은 [[베셀 함수]](Bessel function)를 구하는 과정의 필수요소라 할 수 있다.[* 프로베니우스 방법에 대한  자세한 설명은 [[http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_method|프로베니우스 방법, 영어주의]], [[http://ghebook.blogspot.kr/2011/11/solution-of-ode-based-on-power-series.html|참고링크1]], [[http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/application-of-frobenius-method.html?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed:+blogspot/LjfQi+(%EC%A1%B0%EA%B8%88%EC%9D%80+%EB%8A%90%EB%A6%AC%EA%B2%8C+%EC%82%B4%EC%9E%90.)|참고링크2]] 등 참조.]

==== [[라플라스 변환]], [[푸리에 해석#s-3|푸리에 변환]] 등의 적분변환 ====
적분변환은 선형 미분연산자를 변환된 공간에서 단순한 계수로 바꿔버리는 강력한 도구이다. 하지만 세상에 공짜는 없는 것이, 어떤 함수의 적분변환이 존재하는 조건이 항상 존재하기 마련이다. 또한 두 함수의 곱을 적분변환하면 상당히 지저분한 꼴이 되며, 마찬가지로 두 적분변환의 곱을 역변환할 시 지저분한 꼴로 표현된다. 이러한 합성함수의 적분변환에 대한 규칙을 보통 [[합성곱]](convolution)이라 표현한다.

라플라스 변환은 다음과 같은 성질이 있다.
>[math(\mathcal L\{f'(t)\} = sF(s)-f(0))] ([math(\mathcal L\{f(x)\})]는 [math(f(x))]의 라플라스 변환, [math(F(s))]는 그 결과 나온 함수) [br] [math(\mathcal L\{f''(t)\} = s^2 F(s)-sf(0)-f'(0))]
증명
>i. 좌변 = [math(\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}f'(t)\,\mathrm{d}t = \left[e^{-st}f(t)\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}se^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t = sF(s) - f(0))] (부분적분)
 i. [math(\mathcal L\{f''(t)\} = s\mathcal L\{f'(t)\} - f'(0) = s(sF(s)-f(0))-f'(0) = s^2F(s)-sf(0)-f'(0))]
이 정리를 이용하면 미분방정식이 대수방정식으로 바뀐다!

예를 들어 위에 소개된 스프링 방정식의 경우를 들어 설명한다.

[math(y''-ky=0)]의 양변을 라플라스 변환하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} s^2 Y(s) - kY(s) &= sf(0)+f'(0) \\
Y(s) &= (sf(0)+f'(0))/(s^2 - k)
\end{aligned} )] }}}
이제 [math(Y(s))]의 라플라스 역변환을 구하면 해가 나온다.

참고로 라플라스 역변환은 공식이나 복소적분을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.[* 물론 유리함수의 분모의 차수가 커지면 계산량이 만만치 않지만, 미분방정식의 해를 직접 구하는 것보다는 쉬운 경우가 많다.]

이 방법의 단점은 [math(f)]의 라플라스 변환이 존재하지 않을 경우 무용지물이 된다는 것이다. 라플라스 변환이 존재하기 위한 엄밀한 조건은 다음과 같다.
>[math(f)]가 (조각적) 연속이고, [math(|f(t)| \leq Me^{ct} \quad(\forall t))]를 만족시키는 [math(c)], [math(M)]이 존재하면 [math(s>c)]일 때 라플라스 변환의 존재가 보장된다.
라플라스 변환 외의 다른 적분변환으로 [[푸리에 변환]]이 있는데, 라플라스 변환과 매우 닮은 꼴이다. [math(f)]가 [math(x → ±∞)]이면 [math(f(x) → 0)]이고 경계가 반무한(semi-infinite) 또는 양쪽 다 무한한 선형 편미분방정식(PDE)을 풀 때 쓰인다.

=== 변수분리형(separation of variables) ===
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f(x)}{g(y)} )] }}}
 꼴의 경우
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle g(y)\,\mathrm{d}y=f(x)\,\mathrm{d}x )] }}}
 의 형태로 바꾼 다음 양변을 적분해
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle F(x) = G(y) + C )][* 적분상수를 한 쪽으로 몰아둔 꼴.] }}}
 꼴로 바꾼다. 안 된다면 적절한 치환을 통해, 예를 들면 [math(u=\dfrac{y}{x})]로 놓고 [math(u)]와 [math(x)]에 대한 미분방정식으로 만든 뒤 해보면 된다.

=== 완전형(exact ODE)[anchor(완전형)] ===
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle N(x,\,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+M(x,y)=0 )] }}}
 을
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle N(x,\,y)\,\mathrm{d}y + M(x,\,y)\,\mathrm{d}x=0 )] }}}
 의 꼴로 썼을 때
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} )] }}}
 이면 이를 완전형이라 한다. 이 때는
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}= M(x,\,y) )] }}}
 이고
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = N(x,\,y) )] }}}
 인 [math(f)]를 찾아낸다. ([math(M)]을 [math(x)]에 대해 적분하고, [math(y)]에 대한 상수항을 더해주면 쉽다.) 그 다음에는 [math(f)]를 전미분했을 때
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \mathrm{d}(f(x,\,y)) = 0 )] }}}
 이라고 쓸 수 있기 때문에 [math(f(x,y) = C)]의 형태가 해라고 할 수 있다.
 
 미분방정식이 완전형이 아니어도(non-exact) 역시 양변에 적분인자를 곱해 완전형 미분방정식을 만들 수 있다. 다음 두 경우에 대해
  i. [math(\dfrac{M_y-N_x}{N})]이 [math(x)]에만 의존할 경우: [math( h(x,\,y) = \exp\left(\displaystyle\int\frac{M_y-N_x}{N}\,\mathrm{d}x\right))]
  i. [math(\dfrac{N_x - M_y}{M})]이 [math(y)]에만 의존할 경우: [math(h(x,\,y) = \exp\left(\displaystyle\int\frac{N_x - M_y}{M}\,\mathrm{d}y\right))]
 로 잡으면 [math(h)]가 적분인자가 된다. 위 두 경우에 해당하지 않는다면, 적분인자를 구하는 것이 미분방정식을 푸는 것보다 어려운 경우이다.[* 정확히 말하자면 해당 상미분방정식을 푸는 것보다도 어려운 경우이다. 저 적분 인자를 구하기 위해서는 편미분 방정식을 풀어야 한다. 앞에서 말했듯이 편미분방정식은 상미분방정식보다도 훨씬 어려운데 여기서 풀어야 하는 편미분방정식은 편미분 방정식들 중에서도 어려운 축에 속한다. 배보다 배꼽이 훨씬 더 큰 셈.] 이걸 반대로 말하면, 아무 [math(f(x,\,y) = C)]를 [math(x)]에 대해 미분해 버린 후, [math(x)], [math(xy)]가 모두 들어있는 임의의 함수로 나누거나 곱해버리면 손으로 못 푸는 1계 상미분방정식을 만들 수 있다는 말.

=== 비선형 미분방정식 ===
비선형 미분방정식은 1계 미분방정식만 풀이 방법이 정립되어 있고, 2계 이상부터는 특수한 경우가 아니면 해가 알려져 있지 않다. 여담으로 이 특수한 경우에 속하는 미분방정식중 대표적인 것이 [[베르누이 미분방정식]]이다.

예를 들어 다음과 같은 진자의 방정식은 모양은 간단하지만 비선형 미분방정식이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 )][* [math(f'' ( x  )+\dfrac{g}{\ell}\sin ( f ( x  )  )=0)]을 만족하는 함수 [math(f ( x  ))]를 구하라는 문제이다.] }}} ([math(g)]는 중력가속도, [math(l)]은 진자의 길이)

이 식은 연구가 상당히 많이 진척되어 있어 [math(\theta)]의 해집합이 정확하게 알려져 있다. 자세한 내용은 [[단진자]] 문서를 참고할 것. 하지만 '''이런 경우는 극히 드물다'''고 보면 된다.

우리가 중/고등학교에서 배우는 진자는 위 방정식의 정확한 해가 아니라 근사해이다. 정확한 해는 타원적분으로 표현되기 때문에 초등함수로 나타낼 수 없다. 그래서 대학교 물리에서는 [math(\theta)]를 [math(0)]에 근사시켰을 경우라고 전제를 주고 있다. 이 경우는 최저점을 벗어난 진자가 중력과 실의 장력에 의해서 약간 속도가 느려지면서 처지는 것도 직선이라고 근사시킬 수 있기 때문에 원운동의 일부로 취급할 수 있어져서 계산이 편해지기 때문이다.--줄이 살짝 처지는 것까지 포함이냐-- 단진자의 주기 공식은 [math(\theta)]를 [math(0)]에 근사시켰을 경우에 유도되는 공식이다.

== 편미분방정식 ==
{{{+1 [[偏]][[微]][[分]][[方]][[程]][[式]] / partial differential equation, PDE}}}

PDE에서는 해의 존재성조차 밝혀내기 어려운 방정식들이 한가득이다.[* 괜히 [[나비에-스토크스 방정식]]이 밀레니엄 문제에 포함된 것이 아니다] 해석적인 방법으로 해를 구할 수 있는 방정식은 정말 극소수 중의 극소수이다.[* 심지어 라플라스 방정식처럼 엄청나게 간단한 방정식도 문제의 정의역이 복잡하면 해석적으로 해를 구할 방법이 없다.] 이렇다보니 편미분방정식에 대한 연구는 대체로 해 그 자체를 구하는 것보다는[* 수치해석은 핀트가 약간 다르니 논외로 한다.] [[존재성과 유일성|해의 존재성 및 유일성]]을 보이거나 혹은 해의 성질들[* 예를 들어 연속성 등]을 탐구하는 쪽에 초점이 맞춰져 있다.

표기와 주의사항은 위와 비슷. 단, 미지함수는 [math(u)], 변수는 [math(x)], [math(y)], [math(z)], [math(t)], ...로 쓰자.

최악의 문제 유형은 '''비선형 편미분방정식+고차방정식+연립방정식'''[* 방정식 하나일 때에는 멀쩡히 잘 돌아가는 방법이 연립방정식에서는 적용 불가능한 경우가 매우 많다.]인 경우. 이 경우는 말 그대로 충공깽. 의외로 현실 세계의 현상을 기술하는 방정식 중에도 이런 유형이 꽤 있다.[* 예시: [[https://en.wikipedia.org/wiki/Benjamin–Bona–Mahony_equation|BBM 방정식]]: [math(u_t+u_x+uu_x-u_{xxt}=0)],[br][[https://en.wikipedia.org/wiki/Kadomtsev–Petviashvili_equation|KP 방정식]]: [math((u_t+uu_x+\epsilon^2u_{xxx})_x+\lambda u_{yy}=0)],[br]BBM-KP 방정식: [math((u_t+uu_x+\epsilon^2u_{xxt})_x+\lambda u_{yy}=0)],[br][[https://en.wikipedia.org/wiki/Burgers%27_equation|Burger's equation]]: [math(u_t+uu_x=\nu u_{xx})],[br][[https://en.wikipedia.org/wiki/Korteweg–De_Vries_equation|KdV 방정식]]: [math(u_t-6uu_x+u_{xxx}=0)],[br][[https://en.wikipedia.org/wiki/Modified_KdV–Burgers_equation|수정 KdV-B 방정식]]: [math(u_t-\alpha u^2u_x-\beta u_{xx}+u_{xxx}=0)],[br][[https://en.wikipedia.org/wiki/Unnormalized_KdV_equation|비정규화 KdV-B 방정식]]: [math(u_t+\beta uu_x+\alpha u_{xxx}=0)],[br][[https://en.wikipedia.org/wiki/Unnormalized_modified_KdV_equation|비정규화 수정 KdV-B 방정식]]: [math(u_t+\alpha u^2u_x+u_{xxx}=0)],[br][[https://en.wikipedia.org/wiki/Dispersionless_equation|Dispersionless equation]]: [math((u_t+uu_x)_x+u_{yy}=0)],[br][[https://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Tricomi_equation|ET 방정식]]: [math(u_{xx}+xu_{yy}=0)],[br][[https://en.wikipedia.org/wiki/Gibbons–Tsarev_equation|GT 방정식]]: [math(u_tu_{xt}-u_xu_{tt}+u_{xx}+1=0)]]

=== 미분작용소 ===
기초 ODE에서는 그냥 넘어갔던 미분작용소(differential operator)의 개념이 PDE에서는 매우 중요해진다. 미분작용소의 정의는 미지함수와 편도함수로 이루어진 식이고, 이 식이 편도함수의 선형결합[* 1차 [[연립방정식]]을 일컫는다. 다른 데 같으면 지옥으로 여겨지는 연립방정식이 여기서는 천국이다(...)]일 경우 미분작용소를 선형이라고 한다. 모든 PDE는 미분작용소 [math(D)]에 대해 [math(Lu = 0)] 의 꼴로 쓸 수 있고, 유명한 것으로 [[델(연산자)#s-3.4|라플라스 작용소]]
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \Delta u = \nabla^{2} u = \nabla \cdot \nabla u = {\sum_{n = 1}^{m}} {\partial^{2}u \over \partial {x_{n}}^{2}} )][* 이 형태는 [math(m)]차원 직교좌표계에서 정의된 형태이다. 일반적인 좌표계에선 더 복잡하게 정의된다.] }}}
등이 있다.

이 미분작용소가 선형일 경우가 아주 중요한데, 미분작용소를 [[선형대수학]]에서 나오는 선형사상으로 간주할 수 있기 때문이다.[* 물론 ODE에서도 이 사고방식은 유효하다. 다만 기초수준에서 배우지 않는 것뿐.] 다만 선형 PDE의 해집합은 대부분의 경우 무한 차원 벡터공간이 되므로, 무한 차원 벡터공간을 연구하는 함수해석학의 이론이 필요하다.

=== 존재성과 정규성[* regularity, 정칙성이라고도 번역한다. 간단히 말해 미분방정식의 해가 얼마나 '매끄러운지'를 살펴보는 것이다.] ===
상미분방정식의 경우 국소적 해는 항상 존재했지만, 편미분방정식의 경우는 다르다. 국소적 해마저 존재하지 않는 PDE가 있다는 것을 증명할 수 있을 정도. 코시-코발레프스키 정리(Cauchy-Kowalevski theorem)를 이용하면 일계상미방과 비슷한 조건하에서 존재성이 증명되는 경우도 있지만, 일관적 접근은 힘들다. 정규성의 경우 보통 함수의 [math(L^p)] 크기( 간단히 말하면 [math(|u|^p)]의 적분값) 등 여러 가지 노름(norm)을 제한시키는 방식으로 증명한다. 여기서 수없이 많은 적분부등식이 등장하는 것은 덤.[* 보통은 정의역이 유계(bounded)인 경우를 주로 생각한다. 이 경우에는 [math(L^p)] 공간들 사이에 포함 관계가 성립한다.] 해가 충분히 좋은 경우[* 연속만 되어도 운이 좋은 것이다. 각 점에서 함수값을 pointwise하게 정의할 수 있으므로] 함수의 진폭을 살펴보아 '조금 더 좋은'(횔더 혹은 립쉬츠) 연속성을 보일 수 있다.

다만, 선형인 경우, 위 두 가지는 어느 정도 보장이 된다.

=== 대수적 풀이법 ===
편미분방정식에서 먹히는 대수적 풀이법은 그렇게 많지 않다. 유명한 것은 미지함수 [math(u(x,\,y,\,z))]를 [math(p(x)q(y)r(z))]꼴의 한 변수에만 의존하는 함수들의 곱으로 두는 변수분리법. 방정식이 선형이라면 이렇게 구한 미지함수들의 무한합으로 모든 해를 구할 수 있는 경우도 있다. 대표적인 예로 일차원 열 방정식(heat equation, 열의 확산에서 나옴)
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle u_t = u_{xx} )] }}}
을 제한된 [math(x)]-구간 [math(0 \le x \le 1)]에서 푸는 경우, 변수분리법을 구해 얻은 해 [math(\exp(-n^2 t) \sin(nt), \exp(-n^2 t) \cos(nt))]들의 선형결합이 모든 해가 된다.

특성곡선(characteristic curve)법은 일계 유사선형 편미방
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle au_x + bu_y = c )] }}}
등에서 써먹을 수 있는데([math(a)], [math(b)], [math(c)]는 [math(u)], [math(x)], [math(y)]에 대한 함수), [math(\mathrm{d}F(u,\,x,\,y) = 0)]이 되는 [math(F)]를 어떻게든 찾아주면 된다.

비슷한 형태인 [math(u_{xx} + u_{yy} = 0)] 라플라스 방정식(Laplace equation)[* 해당 형태를 만족하는 함수를 조화함수(harmonic function)라고도 부른다.] 또한 푸리에 급수를 이용하여 일반해를 구할 수 있고 특정 영역에서의 경계값문제의 정확한 해를 구할 수 있다. 또한, 해당 함수는 조화함수로 복소함수의 해석함수(holomorphic function)을 이용하여 구하는 방법도 있다.

=== 선형편미분방정식의 기본해(fundamental solution) ===
PDE에서도 적분변환, 특히 푸리에 변환은 매우 큰 위력을 발휘한다. 다만, 푸리에 변환은 빠르게 감소하는 함수가 아니면 적용하기 힘든 난점이 있다. 함수공간의 범위를 더욱 넓힌 분포함수(distribution)는[* 간단히 말하면 함수공간의 쌍대공간으로 정의한다. 보통 함수 [math(f)]는 [math(g  \longmapsto \int f g)] 의 함수, 디랙델타는 [math(g \longmapsto g(0))] 의 함수 이런 식. 통계학에서 등장하는 확률분포와는 직접적인 관련은 없다.] [[폴 디랙#s-1.1.2|디랙 델타함수]] 같은 대상을 모조리 포함해 버리는 아주 큰 공간이고, 여기서 푸리에 변환을 생각하면 임의의 함수의 푸리에 변환을 생각할 수 있다.

작용소의 계수가 상수일 경우에는, 마치 라플라스 변환을 풀듯이, 푸리에 변환의 위력은 여전히 미분방정식을 산술방정식으로(!) 바꾸어 버릴 수 있다. 이 산술방정식을 풀고 역변환하면, 기본해(fundamental solution)라 불리는 [math(LF = \delta(x))] 을 만족하는 분포 [math(F)]를 찾을 수 있는데, ([math(\delta)]는 디랙델타) 그러면 [math(Lu = g)]의 해를 단순히 [math(u = g \ast F)] (컨볼루션)로 쓸 수 있다. 물론 어려운 것은 이렇게 구한 해가 과연 (분포함수가 아닌) 진짜 함수인가 하는 것이다.

그리고 계수가 상수일 때만 적용되는 기법이긴 하다. 일반적인 선형에서는 당연히 불가능한 내용.[* 선형 PDE에서 distribution sense로 해가 없는 예는 Hans Lewy가 1957년에 구했다. [[http://www.jstor.org/stable/1970121]]]

그나마도 비선형의 경우는 쉽지 않다. 대표적인 비선형 편미방인 [[나비에-스톡스 방정식]]은 '''[[밀레니엄 문제|아직까지도 일반해가 안 나오고 있다]].'''

=== 타원형 편미분방정식(Eliptic PDE) 스펙트럼 이론(spectral theory) ===
[[선형대수학]]을 공부했다면 임의의 에르미트 행렬(Hermitian matrix)은 실수 고유값을 갖고, 고유벡터들이 정규직교기저가 된다는 [[스펙트럼 정리]](spectral theorem)를 알고 있을 것이다. 선형 미분작용소 중 계수들이 특정 성질을 만족하는 elliptic operator들은 대칭행렬과 비슷하게 볼 수 있고, 스펙트럼 이론을 거의 그대로 적용시킬 수 있다. 어찌 보면 푸리에 해석도 이의 한 예.

가장 간단하면서도 대표적인 타원형 방정식으로는 [[라플라스 방정식]]이 있다.[* 여기에 시간에 대한 일차미분항이 붙는 경우 열방정식이, 이차미분항이 붙는 경우 파동방정식이 된다. 열방정식과 파동방정식은 각각 포물형(parabolic)과 쌍곡형(hyperbolic) 편미분방정식의 대표적인 예시이다. 편미분방정식을 공부할 때 가장 처음 접하게 되는 것들이며, 이 방정식들에 대해서는 이미 많은 사실들이 알려져 있다.]

=== 물리학에서 다루는 편미분방정식 ===
[[파일:2차원 파동 방정식.gif]]

위는 2차원 파동 방정식인 [math({c^2}(u_{xx}+u_{yy}) - u_{tt} = 0)], 즉 [math( u_{tt} = {c^2}(u_{xx}+u_{yy}) = {c^2}{\nabla^2} u)]의 해이다.

이 문단에서는 물리학에서 다루는 편미분방정식에 대하여 알아볼 것이다. 여기서는 주로 단순 풀이에 대해서 논하지만 실제로는 다음 3가지를 자주 논한다.
 * '''존재성(existence)''' 이 편미분방정식의 해가 항상 존재하는가?
 * '''유일성(uniqueness)''' 만약 그렇다면 해는 유일한가?
 * '''안정성(stability) ''' 이 해는 안정적인가?[* 이 조건은 명확한 기준은 없는 논의 대상이다.][* 안정성도 매우 중요하다. 조건이 약간 바뀌었는데 함수가 너무 많이 변한다면 현실에서 실험 설계가 어렵다.]
보통 한가지 조건만으로 이루어진 경우 해가 유일한 경우는 많지 않다. 유일한 해를 만들기 위하서 추가 조건을 주는데 다음을 주로 준다.
 * '''경계 조건(Boundary condition)''' 편미분방정식을 특정 공간에 한정하였을때 경계에서의 해에 대한 조건을 준다.
 * '''초기 조건(Initial condition)''' 편미분방정식의 해에 대해 시간 [math(t = 0)]일 때의 조건을 준다.
예시로 x와 t를 변수로 하는 함수 u에 대하여 1차원 파동 방정식 [math({{c^2}u_{xx}} - u_{tt} = 0)]은 해가 매우 넓은 범위인 '아무 함수 f,g에 대해 [math(f(x-ct)+g(x+ct))]'이지만 [math(u(x,0)) = \phi(x), u_{t}(x,0) = \psi)] [* [math(\phi(x))]는 어떤 함수이다.]라는 조건을 주면 해가 유일해진다.

==== 확산 방정식 ====
1차원 확산 방정식은 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(
u_t - ku_{xx} = 0
)]}}}||
여기 추가 조건 [math(u(x,0) = \phi)]을 주면 해는
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle
u(x) = \frac1{4\pi kt} \int_{-\infty}^\infty e^{{-(x-y)^2}/4kt} \phi(y) \,{\rm d}y
)]}}}||

[각주][include(틀:문서 가져옴,title = 방정식/풀이,version = 22,paragraph = 4)]