[[분류:비초등함수]][[분류:정칙함수]]
[include(틀:다른 뜻1, other1=바이어슈트라스가 만든 병리적 함수, rd1=바이어슈트라스 함수)]
[include(틀:특수함수의 목록)]
[목차]

== 개요 ==
{{{+1 Weierstraßsche [math(\wp)]-Funktion / Weierstrass [[楕]][[圓]][[函]][[數]]}}}

[[카를 바이어슈트라스]]가 만든 특수함수의 하나로, [math(\wp)][* 흘려 쓴 소문자 [[P]]. 오로지 이 함수를 위해 만든 기호인지 다른 용도로는 쓰임이 없다. 아주 드물게 [[멱집합]]의 표기로도 쓰인다. 참고로 이 기호를 출력하는 [[TeX]] 명령어는 {{{\wp}}}다. ℘가 유니코드상으로도 존재하는데, U+2118에 배당되어 있다.]로 표기한다. 정의는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \wp(z) \equiv z^{-2} + \sum_{\ell \in \Lambda - \{0\}} ((z-\ell)^{-2} - \ell^{-2}
))]}}}
[math(\ell)]은 [[격자점]], [math(\Lambda)]는 [math(\ell)]의 [[집합]]이다.

== 상세 ==
복소수 위에서 [[매끄러움|매끄러운]] 함수다. 즉 해석함수이면서 무한번 [[미분]]이 가능하고, [[연속함수|연속]]이다.

이를 나타낸 그래프는 다음과 같다. 그래프를 보듯 모든 복소수에서 주기성을 띤다.

[[파일:Weierstrass_elliptic_function_P.png|width=333&align=center]]

[[이름과 실제가 다른 것|이름과는 달리]] [[타원]]과는 별 상관없다. 이 함수는 [[타원곡선]]과 관련이 있는데, 복소공간에서 타원곡선 형태의 아래 식이 성립하기 때문이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math([ \wp'(z) ]^2 = [ \wp(z) ]^3 + A \wp(z) + B)]}}}
이 함수의 그래프는 [[원환면]](일명 [[도넛]] 모양)임이 알려져 있다.[* 두 복소수 방향으로 주기성을 지니고 있기에 위상수학적으로 원환면과 동일한 위상이 된다.]

[[&]]와 비슷하게 저 [math(\wp)]를 예쁘게 쓰기 어렵다. 그래서 쓸 때 귀찮으면 [math(P)]로 쓰기도 하는 모양.