[include(틀:해석학·미적분학)]
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== 개요 ==
{{{+1 Bernoulli numbers}}}

음이 아닌 정수 [math(n)]에 대해 [math(B_n)]으로 나타내어지는 [[수열]]이다. 

== 상세 ==
이 수열 자체에 대해서는 그다지 많이 알려지지 않았지만 [math(\tan x)], [math(\cot x)], [math(\tanh x)], [math(\coth x)] 등 다수의 삼각함수, 쌍곡선 함수의 테일러 급수에 [math(B_{2n})]이라는 형태로 자리를 차지하고 있어 미친 존재감을 자랑한다. [math(B_n)]이 아닌 [math(B_{2n})]을 쓰는 이유는 [math(B_{2n+1} = 0~ (n\ge1))], 즉 '''제3항 이상의 홀수항이 모조리 [math(\bf0)]'''이라는 독특한 성질이 있기 때문이다.[* 이것과 비슷한 성질의 수열로서 [[오일러 수열]]이 있는데 이 수열은 '''모든 홀수항이 [math(\bf0)]'''이다.] 제1항에 대해서도 간혹 [math(B_1 = \dfrac12)]이라 나타내는 문헌이 존재하는데, 그 이유는 해당 문헌에서는 베르누이 수열을 [math((-1)^nB_n)]으로 정의하기 때문이다.[* 당초 이 수열의 발견자인 [[야콥 베르누이]] 본인이 [math(B_1 = \dfrac12)]인 수열을 [math(B_n)]이라 정의했었는데, 훗날 연구를 통해 [[생성함수]]로 더 엄밀하게 정의될 수 있다는 것이 알려진 뒤 베르누이가 최초로 정의한 [math(B_n)]은 사실 [math(B^+_n)]임이 밝혀졌다.] 혼동을 피하기 위해 일반적인 베르누이 수열을 [math(B^-_n)]로, [math((-1)^n)]을 곱한 베르누이 수열을 [math(B^+_n)]로 표기하기도 한다. 즉, [math(B^+_n = (-1)^n B^-_n = (-1)^n B_n)]이다. 제18항까지의 값은 다음과 같다.

|| [math(n)] || [math(0)] || [math(1)] || [math(2)] ||<bgcolor=gray> [math(3)] || [math(4)] ||<bgcolor=gray> [math(5)] || [math(6)] ||<bgcolor=gray> [math(7)] || [math(8)] ||<bgcolor=gray> [math(9)] || [math(10)] ||<bgcolor=gray> [math(11)] || [math(12)] ||<bgcolor=gray> [math(13)] || [math(14)] ||<bgcolor=gray> [math(15)] || [math(16)] ||<bgcolor=gray> [math(17)] || [math(18)] ||
|| [math(B_n)] ||<|2> [math(1)] || [math(-\dfrac12)] ||<|2> [math(\dfrac16)] ||<|2><bgcolor=gray> [math(0)] ||<|2> [math(-\dfrac1{30})] ||<|2><bgcolor=gray> [math(0)] ||<|2> [math(\dfrac1{42})] ||<|2><bgcolor=gray> [math(0)] ||<|2> [math(-\dfrac1{30})] ||<|2><bgcolor=gray> [math(0)] ||<|2> [math(\dfrac5{66})] ||<|2><bgcolor=gray> [math(0)] ||<|2> [math(-\dfrac{691}{2730})] ||<|2><bgcolor=gray> [math(0)] ||<|2> [math(\dfrac76)] ||<|2><bgcolor=gray> [math(0)] ||<|2> [math(-\dfrac{3617}{510})] ||<|2><bgcolor=gray> [math(0)] ||<|2> [math(\dfrac{43867}{798})] ||
|| [math(B^+_n)] || [math(\dfrac12)] ||

== 역사 ==
역사적으로는 다음과 같은 거듭제곱 합의 계수에 대한 연구에서 시작되었다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=1}^n k &= \frac12 n^2 + \frac12 n \\
\sum_{k=1}^n k^2 &= \frac13 n^3 + \frac12 n^2 + \frac16 n \\
\sum_{k=1}^n k^3 &= \frac14 n^4 + \frac12 n^3 + \frac14 n^2 \\
\sum_{k=1}^n k^4 &= \frac15 n^5 + \frac12 n^4 + \frac13 n^3 - \frac1{30} n \\
\sum_{k=1}^n k^5 &= \frac16 n^6 + \frac12 n^5 + \frac5{12} n^4 - \frac1{12} n^2
\end{aligned} )]}}}||
훗날 [[야코프 베르누이]]가 [math(n)]의 거듭제곱에 붙은 계수들에 대해 일반항을 제시하기 전까지, 이 공식에 대해 열심히 연구하던 당대 수학자들[* '''[[페르마]]'''도 이를 연구했었다! 사실 그는 구적법 때문에 거듭제곱 합의 중요성에 대해 인지하고 있었고, 그 일반식을 얻었으며 증명까지 해냈다고 했으나, [[여백이 부족하다|그 내용에 대해 자세한 기록을 남기지는 않았다]](……)~~페르마가 또~~] 중, 요한 파울하버(Johann Faulhaber)가 무려 [math(k^{17})]에 대한 합의 공식까지 제시하여 빼어난 기록을 남겼기에 오늘날에도 이 거듭제곱 합의 공식은 '''[[파울하버의 공식]]'''으로 알려져 있으나, 일반식을 제시한 건 베르누이이기 때문에 종종 '''베르누이의 공식'''이라고 불린다. 또는 단순히 '''거듭제곱 합의 공식'''이라고도 불린다. 자세한 것은 [[파울하버의 공식]] 문서 참고.

이와는 별개로 일본의 [[세키 다카카즈]]가 그의 저서 《괄요산법》(括要算法, 1712)에서 [math(n=12)]까지에 대해 구체적인 값을 제시하였으나 일반식을 제시한 건 아니기에 수열 이름에 포함될 정도의 업적으로 보지는 않는 듯하다.[* 일본에서 출판되는 일부 교양 수학서들 중 '''세키 - 베르누이 수열'''이라는 명칭을 쓰는 게 있긴 하다.]

== 정의 ==
다음 [[생성함수]]를 이용하여 정의된다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\begin{aligned}
\frac x{e^x-1} = \frac x2 \biggl( \coth \frac x2 -1 \biggr) &= 1 -\frac12x + \frac1{12}x^2 + \cdots \\
= \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}x^n &= B_0 + B_1x + \frac{B_2}2x^2 + \cdots
\end{aligned})]}}}||
[math(B_1 = \dfrac12)]인 [math(B^+_n)]의 경우, 위의 테일러 급수의 계수 관계를 비교하면 [math(x)]만큼을 더한 급수라는 것을 쉽게 알 수 있으므로 다음과 같이 정의된다. 각 항에 [math(x)]를 더하면 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\begin{aligned}
\frac x{e^x-1} +x = \frac{xe^x}{e^x-1} = \frac x2 \biggl( \coth \frac x2+1 \biggr) &= 1 +\frac12x + \frac1{12}x^2 + \cdots \\
= \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n^+}{n!}x^n &= B_0 + B_1^+x + \frac{B_2}2x^2 + \cdots
\end{aligned} )]}}}||
한편, [math(B_n)]의 식에 [math(x)] 대신 [math(-x)]를 대입한 후 [math(B^+_n)]의 식과 비교하면 아래의 결론을 얻는다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}(-x)^n &= \sum_{n=0}^\infty\frac{\color{red}(-1)^nB_n}{n!}x^n \\ &= \frac{-x}{e^{-x}-1} = \frac x{1-e^{-x}} = \frac{xe^x}{e^x-1} \\ &= -\frac x2 \biggl\{ \coth \biggl(-\frac x2\biggr) -1 \biggr\} = \frac x2 \biggl(\coth\frac x2 +1 \biggr) \\ &= \sum_{n=0}^\infty\frac{\color{blue}B_n^+}{n!}x^n \end{aligned})] ||
따라서 [math(B_n^+ = (-1)^nB_n)]이라는 관계가 유도된다. 그러나 [math(\coth)] 함수와 연관된 특성으로부터(후술), [math(n\ge3)]인 홀수 [math(n)]에 대하여 [math(B_n = B_n^+ = 0)]이므로 사실상 위 관계식이 영향을 주는 경우는 [math(B_1^+ = -B_1)] 밖에 없다고 봐도 무방하다.

[math(B_n)]의 값을 구할 때는, 물론 위 식들을 직접 [math(n)]번 미분하고 [math(x=0)]을 대입하는 미친짓(……)으로 값을 계산하진 않고, 각 식의 역수들이 테일러 급수식으로 용이하게 나타낼 수 있다는 점을 이용해서 점화식을 유도하여 계산하는 것이 일반적이다. [math(B_n)]에 관한 식에서 양변에
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{e^x -1}x &= \frac1x \Biggl(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} -1 \Biggr) = \frac1x \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(n+1)!} \\
&= 1 +\frac x{2!} +\frac{x^2}{3!} +\frac{x^3}{4!} +\cdots
\end{aligned} )]}}}||
를 곱하면 좌변이 [math(1)]이 되므로 우변의 급수식을 적절하게 변형해주면 점화식이 얻어진다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
1 = \frac x{e^x -1} \cdot \frac{e^x -1}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}x^n \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(n+1)!} \\
&= \!\left( B_0 +\frac{B_1}{1!}x +\frac{B_2}{2!}x^2 +\frac{B_3}{3!}x^3 + \cdots \right) \!\left( 1 +\frac x{2!} +\frac{x^2}{3!} +\frac{x^3}{4!} + \cdots \right) \\
&= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{B_rx^r}{r!} \frac{x^{n-r}}{(n-r+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{B_r x^n}{r!(n-r+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!} \frac{B_r x^n}{(n+1)!} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+1)!} \sum_{r=0}^n \!\binom{n+1}r B_rx^n \\
&= B_0 +\frac1{2!} \sum_{r=0}^1 \!\binom2r B_rx +\frac1{3!} \sum_{r=0}^2 \!\binom3r B_rx^2 +\frac1{4!} \sum_{r=0}^3 \!\binom4r B_rx^3 + \cdots
\end{aligned} )]}}}||
항등식이므로 [math(\displaystyle \sum_{r=0}^n \!\binom{n+1}r B_r = \delta_{0,\,n})]이며(단, [math(\delta_{0,\,n})]은 [[크로네커 델타]]) 이 식으로부터 점화식이 얻어진다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{r=0}^n \!\binom{n+1}r B_r &= \sum_{r=0}^{n-1} \!\binom{n+1}r B_r +(n+1)B_n = \delta_{0,\,n} \\
\therefore B_n &= \delta_{0,\,n} - \frac1{n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \!\binom{n+1}r B_r
\end{aligned} )]}}}||
제1항이 [math(\dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1})]이 아닌 이유는, [math(n=0)]이면 [math(\dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1}=1)]이고 [math(n\ge1)]이면 [math(\dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1}=0)]이므로 사실상 [math(\dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1})]과 [math(\delta_{0,\,n})]의 값이 같기 때문이다. 보통은 [math(n\ge1)]이라는 조건을 붙이지만, 공합(empty sum)[* 더해지는 수열 [math(a_n)]의 종류에 관계없이 [math(\alpha<\beta)]에 대해 합의 범위가 [math(\displaystyle\sum_{n=\beta}^\alpha a_n)]으로 주어지는 것.]을 [math(0)]으로 약속하는 일반적인 정의에 따르면 위 식은 음이 아닌 정수에 대해 성립한다.

한편, [math(\coth x)]는 정의에 따라 다음과 같이 나타내어지는데, 바로 위의 [[생성함수]]를 이용하여 표현할 수 있다.

||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\coth x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{\dfrac{e^x + e^{-x}}2}{\dfrac{e^x - e^{-x}}2} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} = 1+\frac2{e^{2x}-1} = 1+\frac1x \frac{2x}{e^{2x}-1} \\
&= 1 +\frac1x \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} (2x)^n \\
&= 1 +\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n B_n}{n!} x^{n-1}
\end{aligned} )]}}}||
[[삼각함수#s-8.2|쌍곡선 함수를 복소평면으로 확장시키면]] [math(\cosh ix = \cos x)], [math(\sinh ix = i \sin x)]의 관계가 있음을 알 수 있고, 이로부터 [math(\coth ix = -i\cot x)]임을 알 수 있으므로 위의 테일러 전개식에 [math(ix)]를 대입하면 아래와 같다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \coth ix &= 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2^nB_n}{n!}(ix)^{n-1} = 1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{n-1}B_n}{n!}x^{n-1} \\ &= 1 + 2 \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{2n}B_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} \right\} \\ &= \left\{ 1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} \right\} - i\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \right\} \\ &= -i\cot x \end{aligned})] ||
따라서 실수부는 [math(0)]이 되어야 하고, 허수부의 급수는 곧 [[테일러 급수/목록#나머지 함수들|[math(\cot x)]의 테일러 급수]]가 된다. 위 식의 실수부는
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} = 1 + 2B_1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} = 0)] ||
이므로 [math(B_{2n+1} = -\dfrac12 \delta_{0,\,n})]이 얻어지며, 이 식으로부터 [math(3)] 이상의 홀수항은 [math(0)]이 된다는 것을 알 수 있다.
이 사실을 이용하면, 전술했던 베르누이 수열의 점화식도 다음과 같이 축약시킬 수 있게 된다.

||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} B_{2n} &= \delta_{0,\,n} - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{2n-1} \binom{2n+1}rB_r = \delta_{0,\,n} + \frac12(1 - \delta_{0,\,n}) - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \\ &= \frac{1 + \delta_{0,\,n}}2 - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \end{aligned})] ||
[math(\dfrac12(1-\delta_{0,\,n}))]은 합의 기호 부분에서 [math(r=1)]일 때, 즉 [math(B_1)]이 곱해진 항을 계산하여 빼낸 부분인데, [math(n=0)]이면 [math(r=1)]인 항이 존재하지 않으므로 해당 항이 [math(0)]이 되면서 [math(n\ge1)]이면 [math(\dfrac12)]로 남아있도록 변형한 것이다. 이를 정리하면 아래와 같다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\therefore B_n \begin{cases} \begin{aligned} B_{2n} &= \frac{1 + \delta_{0,\,n}}2 - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \\ B_{2n+1} &= -\frac12\delta_{0,\,n} \end{aligned} \end{cases})] ||

=== 일반항 ===
베르누이 수열의 일반항은 아래와 같다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n)] ||
식이 복잡해 보이지만, 두 번째 합의 식은 [[제2종 스털링 수]]의 일반항에서 유래했다. 즉, 제2종 스털링 수 표기를 이용해서 나타내면 다음과 같다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n \frac{k!(-1)^k}{k+1} S(n,\,k))] ||
베르누이 수열의 일반항은 조금 특이한 과정을 거쳐서 구해진다. 아래와 같이 2가지 방법이 있다. 각 방법별로, 생성함수를 각각의 주어진 조건 하에 치환을 거쳐 식을 변형해준다.
 i. [math(\displaystyle\frac x{1 - e^{-x}} = \sum_{n=0}^\infty B_n^+\frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_n\frac{x^n}{n!})]에서 [math(1 - e^{-x} = t)]로 치환하면 [math(x = -\ln(1-t))]가 되는데 [math(x>0)]일 때, [math(0<t<1)]이므로 해당 식에 대해 매클로린 급수를 적용할 수 있다. 따라서 다음 식이 얻어진다.
 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \frac x{1 - e^{-x}} &= \frac{-\ln(1 - t)}t = \frac1t \int \frac{{\rm d}t}{1-t} = \frac 1t \int \sum_{k=0}^\infty t^k\,{\rm d}t = \frac1t \sum_{k=0}^\infty \frac{t^{k+1}}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(1 - e^{-x})^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^{-x} - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \end{aligned})] ||
 [math(\dfrac{(e^{-x} - 1)^k}{k!})]는 [[제2종 스털링 수]]의 생성함수이므로 생성함수 식으로 바꾼 뒤 일반항을 대입한다.
 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac x{1 - e^{-x}} &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n}{\color{red}B_n}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^{-x} - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{(-x)^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{(-x)^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{ k!(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \sum_{k=0}^n \frac 1{\cancel{k!}} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^{k-r} r^n \frac{\cancel{k!}(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n}{\color{red}\left\{ \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n \right\}}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \end{aligned} \\ \therefore B_n = \sum_{k=0}^n \frac 1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n)] ||
 i. [math(\displaystyle\frac x{e^x - 1} = \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{x^n}{n!})]에서 [math(e^x - 1 = t)]로 치환하면 [math(x = \ln(1+t))]가 되는데 [math(x<0)]일 때, [math(-1<t<0)]이므로 마찬가지로 매클로린 급수를 적용한다.
 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \frac x{e^x - 1} &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty}{\color{red}B_n}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \\ &= \frac{\ln(1+t)}t = \frac1t \int \frac{{\rm d}t}{1+t} = \frac1t \int \sum_{k=0}^\infty (-t)^k\,{\rm d}t = \frac1t \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kt^{k+1}}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty t^k\frac{(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty (e^x - 1)^k\frac{(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^x - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left\{ \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left\{ \sum_{k=0}^n \frac1{\cancel{k!}} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^{k-r}r^n \frac{\cancel{k!}(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty}{\color{red}\left\{\sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n \right\}}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \end{aligned} \\ \therefore B_n = \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n)] ||

[math(B_n^+)]의 경우, [[생성함수]]식 [math(\displaystyle \frac x{1 - e^{-x}} = \sum_{n=0}^\infty B^+_n \frac{x^n}{n!})]에서 좌변의 식은 [math(\dfrac x{e^x -1}e^x)]와 같다. 즉, 같은 방식으로 식을 전개해나가면 제2종 스털링 수의 생성함수 식이 [math(\dfrac{e^x(e^x - 1)^k}{k!})]로 주어지고 [math(\displaystyle \frac{e^x(e^x - 1)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!})]이므로 다음과 같은 식이 얻어진다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} B^+_n &= \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &=\sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^r(r+1)^n \end{aligned})] ||

== 성질 ==
||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>''''''
 * [math(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+1}k B_k = \delta_{n,\,0})] ||
    상기 점화식을 구하는 과정에서 유도된 것이다. [math(\delta_{n,\,0})]는 [[크로네커 델타]]로 [math(\delta_{n,\,m} = \begin{cases} 1~(n=m) \\ 0~(n \ne m) \end{cases})]를 만족하는 함수이다. 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>''''''
 * [math(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+1}k B^+_k = n+1)] ||
    [[파울하버의 공식]] [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{n=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1} \binom{c+1}kB_kn^{n+1-k})]에서 [math(n=1)]을 대입하고 [math(B^+_n = (-1)^nB_n)]를 이용하면 된다.
    두 식을 더하면 베르누이 수열의 짝수 항만 남고 좌변이 2배가 되므로
   ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>[math(\displaystyle\sum_{k=0}^{\left\lfloor{\frac n2}\right\rfloor} \binom{n+1}{2k}B_{2k} = \frac{n+1 + \delta_{n,\,0}}2)] ||
    로 간략화할 수 있다. [math(\lfloor \cdot \rfloor)]는 [[바닥 함수]]이다.

== 이용 ==
주로 [[테일러 급수]]에서 많이 쓰이고, 전술한대로 거듭제곱 합의 공식에도 쓰인다. [[오일러-매클로린 공식]]에서도 쓰인다. 아래 목록에 없는 [math(\sec x)]와 [math({\rm sech}\, x)]는 [[오일러 수열]]을 이용해서 표현한다. 베르누이 수열이 [[오일러 수열]]과 서로 합연산[* 점화식이라고 생각하는 게 차라리 낫다.] 관계에 있기는 하나(후술) 이걸 이용해서 두 급수를 표현하려면 식이 엄청 복잡해진다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>''''''
 * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1}\binom{c+1}kB_kn^{c+1-k})] ||
    [[파울하버의 공식]]이라고 한다. 식의 유도 과정은 해당 문서 참고.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>''''''
 * [math(\displaystyle\cot x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x - \frac13x - \frac1{45}x^3 - \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots)]
 * [math(\displaystyle\tan x = \sum_{n=1}^\infty \frac{\{(-4)^n - (-16)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = x + \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots)] ||
    [math(\cot x - \tan x = \dfrac{\cos x}{\sin x} - \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\cos^2x - \sin^2x}{\sin x\cos x} = \dfrac{\cos2x}{\dfrac12\sin2x} = 2\cot2x)]에서 [math(\tan x = \cot x - 2\cot 2x)]라는 관계를 유도할 수 있어 위의 식이 자연스럽게 얻어진다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>''''''
 * [math(\displaystyle\csc x = \sum_{n=0}^\infty \frac{\{2(-1)^n - (-4)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x + \frac16x + \frac7{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots)] ||
    [math(\dfrac12(\tan x + \cot x) = \dfrac12\left(\dfrac{\cos x}{\sin x} + \dfrac{\sin x}{\cos x}\right) = \dfrac{\cos^2x + \sin^2x}{2\sin x\cos x} = \dfrac1{\sin2x} = \csc 2x)]에서 [math(\csc x = \dfrac12\left(\tan\dfrac x2 + \cot\dfrac x2\right))]를 이용하면 된다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>''''''
 * [math(\displaystyle\coth x = \sum_{n=0}^\infty \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x + \frac13x - \frac1{45}x^3 + \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots)] ||
    위에서 유도한 식의 형태와 조금 다른데, 베르누이 수열에서 [math(3)] 이상의 홀수 항이 [math(0)]이 된다는 점을 적용해서 간략화시킨 형태이기 때문이다. [math(\coth x = i\cot ix)]를 이용해서도 유도할 수 있다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>''''''
 * [math(\displaystyle\tanh x = \sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = x - \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots)] ||
    [math(\tanh x = -i \tan ix)]를 이용해서 유도할 수 있다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>''''''
 * [math(\displaystyle{\rm csch}\,x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2 - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x - \frac16x + \frac7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots)] ||
    [math({\rm csch}\,x = i \csc ix)]를 이용해서 유도할 수 있다.

== [[오일러 수열]]과의 관계 ==
삼각함수 및 쌍곡선 함수가 각종 사칙연산을 통해 서로 연관되어있기 때문에, 베르누이 수열과 오일러 수열 역시 서로 무관하지는 않다. 다만, 아무래도 각 함수의 곱(즉, 테일러 급수끼리의 곱)이 반드시 포함되어 있기에 서로 합연산의 관계에 있어서 손계산이 그렇게 간단한 형태로 나오지는 않는다. 차라리 서로 점화식의 관계에 있다고 이해하는 편이 빠를 것이다.

=== 오일러 수열을 이용한 베르누이 수 표현 ===
[math(\operatorname{sech} x \sinh x = \tanh x)]이므로
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \right\} \!\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} \!&= {\color{blue} \sum_{n=1}^\infty} {\color{red} \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}} {\color{blue} x^{2n-1}} \\
\sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{E_{2r}x^{2r}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac1{(2n+1)!} \frac{(2n+1)! \cdot E_{2r}}{(2r)! \cdot (2n-2r+1)!}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac1{(2n+1)!} \binom{2n+1}{2r} E_{2r} x^{2n+1} \\
&= {\color{blue} \sum_{n=1}^\infty} {\color{red} \sum_{r=0}^{n-1} \frac1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r} E_{2r}} {\color{blue} x^{2n-1}} \\
\Rightarrow \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} &= \sum_{r=0}^{n-1} \frac1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r} E_{2r} \\
\therefore B_{2n} &= \frac{2n}{16^n - 4^n} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n-1}{2r} E_{2r}
\end{aligned} )]}}}||
오일러 수열이 정수 수열이고 조합도 자연수이기 때문에 결과적으로 연산 자체는 정수의 사칙연산이 된다. 분수끼리 더하고 빼야하는 베르누이 수열의 점화식 계산보다는 훨씬 수월할 것이다.

=== 베르누이 수열을 이용한 오일러 수열 표현 ===
[math(\cosh x - \sinh x \tanh x = \operatorname{sech}x)]이므로, [math(\sinh x\tanh x)]부분에 대해
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} \!\left\{\sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n-4^n)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \right\} \\
=& \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{(16^r-4^r)B_{2r}x^{2r-1}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{16^r-4^r}{(2n+1)!} \frac{(2n+1)! \cdot B_{2r}}{(2r)! \cdot (2n-2r+1)!} x^{2n} \\
=& \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r-4^r) \binom{2n+1}{2r} B_{2r} x^{2n}
\end{aligned} )]}}}||
따라서 [math(\operatorname{sech}x)]에 관한 등식은 다음과 같이 되며
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\cosh x - \sinh x \tanh x = \operatorname{sech}x \\
=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r-4^r) \binom{2n+1}{2r} B_{2r} x^{2n} \right\} \!= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = {\color{blue} 1 +\sum_{n=1}^\infty} {\color{red} \frac{E_{2n}}{(2n)!}} {\color{blue} x^{2n}} \\
=& \,1 +\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n)!} x^{2n} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r-4^r) \binom{2n+1}{2r} B_{2r} \!\right\} \!x^{2n} \\
=& {\color{blue} \,1 +\sum_{n=1}^\infty} {\color{red} \left\{ \!\frac1{(2n)!} -\frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r-4^r) \binom{2n+1}{2r} B_{2r} \!\right\}} {\color{blue} x^{2n}}
\end{aligned} )]}}}||

||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle
\frac1{(2n)!} -\frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r-4^r) \binom{2n+1}{2r}B_{2r} = \frac{E_{2n}}{(2n)!} \\
\therefore E_{2n} = 1 -\frac1{2n+1} \sum_{r=1}^n (16^r-4^r) \binom{2n+1}{2r} B_{2r}
)]}}}||
[math(r=0)]이면 [math((16^r - 4^r)\dbinom{2n+1}{2r}B_{2r} = 0)]이므로 합의 기호 부분은 [math(r=0)]부터 더해주는 것으로 바꿔도 무관하다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle
E_{2n} = 1 +\frac1{2n+1} \sum_{r=0}^n (4^r-16^r) \binom{2n+1}{2r} B_{2r}
)]}}}||
한편,
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(
\dfrac1{2n+1} \dbinom{2n+1}{2r} = \dfrac1{(2n+1)} \dfrac{(2n+1)!}{(2r)! \cdot (2n-2r+1)!} = \dfrac{(2n)!}{(2r)! \cdot (2n-2r+1)(2n-2r)!} = \dfrac1{2n-2r+1} \dbinom{2n}{2r}
)]}}}||
이므로
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle
E_{2n} = 1 +\sum_{r=0}^n \frac{4^r-16^r}{2n-2r+1} \binom{2n}{2r} B_{2r}
)]}}}||
로도 나타낼 수 있다. 어느 식이든 베르누이 수열이 유리수 수열이기 때문에 오일러 수열로 나타낸 베르누이 수열과는 달리 이쪽은 오히려 계산이 복잡해진다.

== [[제타 함수]]와의 관계 ==
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle \zeta(-n) = \frac{(-1)^n}{n+1}B_{n+1})] ||
[[파울하버의 공식]]에서 [math(c = -s)]를 대입하고 [math(n\to\infty)]의 극한을 취한 것이 리만 [[제타 함수]]이며, 다음 문단에 나오는 베르누이 다항식을 이용해 [[파울하버의 공식#제타 함수와의 관계|위 관계식을 용이하게 유도]]할 수 있다. 베르누이 수열이 [math(0)]이상의 자연수에서 잘 정의되므로 위 관계식을 통해 '''리만 제타 함수를 [math(0)] 이하의 정수에서 잘 정의되도록 할 수 있다.'''

베르누이 수열에서 제3항 이상의 홀수항이 모조리 0으로 나타나기 때문에, 자연스레 제타 함수에 0이 아닌 짝수 음수를 넣을 시 0이 된다.[* 이를 제타 함수의 자명한 근이라고 한다.]

== 베르누이 다항식 ==
생성함수를 이용한 베르누이 수열의 정의를 다시 곱씹어보자.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac t{e^t-1} &= \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{t^n}{n!} \\
\frac{te^t}{e^t-1} &= \sum_{n=0}^\infty B_n^+ \frac{t^n}{n!}
\end{aligned} )]}}}
베르누이 다항식은 위의 2번째 식과 비슷하지만 조금 다른, 다음과 같은 생성함수를 이용하여 정의된다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{te^{xt}}{e^t-1} = \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}
\end{aligned} )]}}}
아래의 유도 과정을 따라가보면 베르누이 다항식은 다음과 같이 베르누이 수열로 이루어진 다항식임을 알 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
B_n(x) = \sum_{k=0}^n \!\binom nk B_k x^{n-k}
\end{aligned} )]}}}
||<table width=100%>{{{#!folding [유도 과정]
-------
베르누이 수열의 생성함수 정의와 지수함수의 테일러 급수를 곱함으로써 시작한다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{te^{xt}}{e^t-1} &= \frac t{e^t-1} \cdot e^{xt} = \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} \cdot \sum_{i=0}^\infty \frac{(xt)^i}{i!} \\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^{m+i}}{m!} \frac{x^i}{i!} \qquad {\sf Let}: m+i=n \\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{n=i}^\infty B_{n-i} \frac{t^n}{(n-i)!} \frac{x^i}{i!}
\end{aligned} )]}}}
[math(i)]에 대한 합과 [math(n)]에 대한 합의 [[급수(수학)#s-4|순서를 바꾸자]].
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{te^{xt}}{e^t-1} &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{n=i}^\infty B_{n-i} \frac{t^n}{(n-i)!} \frac{x^i}{i!} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n B_{n-i} \frac{t^n}{(n-i)!} \frac{x^i}{i!} \qquad {\sf Let}: n-i=k \\
&= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n}^0 B_k \frac{t^n}{k!} \frac{x^{n-k}}{(n-k)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac1{n!} \cdot B_k t^n x^{n-k} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \!\binom nk \frac1{n!} \cdot B_k x^{n-k} t^n = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \!\binom nk B_k x^{n-k} \frac{t^n}{n!}
\end{aligned} )]}}}
정의에 따라 베르누이 다항식은 다음과 같이 표현된다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{te^{xt}}{e^t-1} &= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \!\binom nk B_k x^{n-k} \frac{t^n}{n!} \\
\therefore B_n(x) &= \sum_{k=0}^n \!\binom nk B_k x^{n-k}
\end{aligned} )]}}}
}}}||
[math(B_k = b^k)]로 치환하면 베르누이 다항식은 [math((b+x)^n)]을 [[이항정리]]의 정의에 따라 풀어쓴 뒤 [math(b^k = B_k)]로 다시 환원한 식으로 볼 수 있다.
===# 예시 #===
[math(n=10)]까지에 대한 베르누이 다항식은 아래와 같다.
{{{#!wiki style="margin:0px auto;display:table"
|| [math(n)] || [math(B_n(x))] ||
|| [math(0)] || [math(1)] ||
|| [math(1)] || [math(x -\dfrac12)] ||
|| [math(2)] || [math(x^2 -x +\dfrac16)] ||
|| [math(3)] || [math(x^3 -\dfrac32x^2 +\dfrac12x)] ||
|| [math(4)] || [math(x^4 -2x^3 +x^2 -\dfrac1{30})] ||
|| [math(5)] || [math(x^5 -\dfrac52x^4 +\dfrac53x^3 -\dfrac16x)] ||
|| [math(6)] || [math(x^6 -3x^5 +\dfrac52x^4 -\dfrac12x^2 +\dfrac1{42})] ||
|| [math(7)] || [math(x^7 -\dfrac72x^6 +\dfrac72x^5 -\dfrac76x^3 +\dfrac16x)] ||
|| [math(8)] || [math(x^8 -4x^7 +\dfrac{14}3x^6 -\dfrac73x^4 +\dfrac23x^2 -\dfrac1{30})] ||
|| [math(9)] || [math(x^9 -\dfrac92x^8 +6x^7 -\dfrac{21}5x^5 +2x^3 -\dfrac3{10}x)] ||
|| [math(10)] || [math(x^{10} -5x^9 +\dfrac{15}2x^8 -7x^6 +5x^4 -\dfrac32x^2 +\dfrac5{66})] ||
}}}

=== 함숫값 ===
 * [math(B_0(x) = 1)]
 ||<table width=100%>{{{#!folding [증명]
-------
베르누이 다항식의 식에 [math(n=0)]을 대입하면 된다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle
B_0(x) = \sum_{k=0}^0 \!\binom0k B_k x^{0-k} = \binom00 B_0 x^0 = 1
)]}}}
}}}||

 * [math(B_n(0) = B_n(1) = B_n \qquad (n\neq1))]
 [math(B_1(0) = -B_1(1) = B_1 = -\dfrac12)]
 ||<table width=100%>{{{#!folding [증명]
-------
베르누이 다항식의 생성함수에 [math(x=0)] 및 [math(x=1)]을 대입하면 각각 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{n=0}^\infty B_n(0) \frac{t^n}{n!} &= \frac{te^{0t}}{e^t-1} = \frac{t}{e^t-1} \\
\sum_{n=0}^\infty B_n(1) \frac{t^n}{n!} &= \frac{te^{1t}}{e^t-1} = \frac{te^t}{e^t-1}
\end{aligned} )]}}}
그런데 이들은 다음과 같이 각각 [math(B_n)]과 [math(B^+_n)]의 정의이다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac t{e^t-1} &= \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{t^n}{n!} \\
\frac{te^t}{e^t-1} &= \sum_{n=0}^\infty B_n^+ \frac{t^n}{n!}
\end{aligned} )]}}}
따라서 베르누이 다항식에 [math(x=0)] 및 [math(x=1)]을 대입한 함숫값은 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
B_n(0) &= B_n \\
B_n(1) &= B^+_n = (-1)^n B_n
\end{aligned} )]}}}
한편, [math(n\neq1)]인 경우 [math(B^+_n = B_n)]이므로 위 식을 다음과 같이 쓸 수도 있다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle
B_n(0) = B_n(1) = B_n \qquad (n\neq1)
)]}}}
[math(n=1)]인 경우 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
B_1(0) &= B_1 = -\frac12 \\
B_1(1) &= B^+_1 = \frac12
\end{aligned} )]}}}
}}}||

=== 미적분 ===
 * [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} B_n(x) = nB_{n-1}(x) \qquad (n\ge1) )]
 ||<table width=100%>{{{#!folding [증명]
-------
베르누이 다항식의 식을 직접 미분하면 된다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
B_n(x) &= \sum_{k=0}^n \!\binom nk B_k x^{n-k} = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} B_k x^{n-k} \\
\Rightarrow \frac{\rm d}{{\rm d}x} B_n(x) &= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n!}{k!(n-k)!} B_k \cdot (n-k)x^{n-k-1} \\
&= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n \cdot (n-1)!}{k!(n-k-1)!} B_k x^{n-k-1} \\
&= n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}k B_k x^{(n-1)-k} = n B_{n-1}(x) \\
\therefore \frac{\rm d}{{\rm d}x} B_n(x) &= n B_{n-1}(x)
\end{aligned} )]}}}
}}}||

 * [math(\displaystyle \int B_n(x) \,{\rm d}x = \frac1{n+1} B_{n+1}(x) + {\sf const.} )]
 ||<table width=100%>{{{#!folding [증명]
-------
위의 미분 결과에 [math(n)] 대신 [math(n+1)]을 대입하고 적분하면 된다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\int (n+1)B_n(x) \,{\rm d}x &= \int \frac{\rm d}{{\rm d}x} B_{n+1}(x) \,{\rm d}x = B_{n+1}(x) + {\sf const.} \\
\therefore \int B_n(x) \,{\rm d}x &= \frac1{n+1} B_{n+1}(x) + {\sf const.}
\end{aligned} )]}}}
}}}||

 * [math(\displaystyle \int_0^1 B_n(x) \,{\rm d}x = \delta_{0,\,n} \quad)] (단, [math(\delta_{0,\,n})]은 [[크로네커 델타]])
 ||<table width=100%>{{{#!folding [증명]
-------
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 B_n(x) \,{\rm d}x &= \frac1{n+1} \Bigl[ B_{n+1}(x) \Bigr]_0^1 = \frac{B_{n+1}(1) - B_{n+1}(0)}{n+1} \\
&= \frac{B^+_{n+1} - B_{n+1}}{n+1} = \begin{cases} 1 & {\sf if} \quad n=0 \\ 0 & {\sf if} \quad n\ge1 \end{cases} \\
&= \delta_{0,\,n}
\end{aligned} )]}}}
}}}||

=== 성질 ===
 * [math(\displaystyle B_n(x) = n \int_0^x B_{n-1}(t) \,{\rm d}t +B_n \qquad (n\ge1))]
 ||<table width=100%>{{{#!folding [증명]
-------
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^x nB_{n-1}(t) \,{\rm d}t &= \int_0^x \frac{\rm d}{{\rm d}t} B_n(t) \,{\rm d}t = B_n(x) - B_n(0) = B_n(x) - B_n \\
\therefore B_n(x) &= n\int_0^x B_{n-1}(t) \,{\rm d}t +B_n
\end{aligned} )]}}}
}}}||

 * [math(B_n(x+1) - B_n(x) = nx^{n-1})]
 ||<table width=100%>{{{#!folding [증명]
-------
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!} &= \frac{te^{xt}}{e^t-1} \\
\sum_{n=0}^\infty B_n(x+1) \frac{t^n}{n!} &= \frac{te^{(x+1)t}}{e^t-1} = \frac{te^{xt}e^t}{e^t-1} \\
\Rightarrow \sum_{n=0}^\infty B_n(x+1) \frac{t^n}{n!} - \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!} &= \sum_{n=0}^\infty (B_n(x+1) - B_n(x)) \frac{t^n}{n!} \\
&= {\color{blue} \sum_{n=1}^\infty {\color{red} (B_n(x+1) - B_n(x))} \frac{t^n}{n!}} \\
&= \frac{te^{xt}e^t}{e^t-1} - \frac{te^{xt}}{e^t-1} = \frac{te^{xt}(e^t-1)}{e^t-1} = te^{xt} \\
&= t \sum_{n=0}^\infty \frac{(xt)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)x^n t^{n+1}}{(n+1)!} \\
&= {\color{blue} \sum_{n=1}^\infty {\color{red} nx^{n-1}} \frac{t^n}{n!}} \\
\therefore B_n(x+1) - B_n(x) &= nx^{n-1}
\end{aligned} )]}}}
}}}||

 * [math(B_n(1-x) = (-1)^n B_n(x))]
 ||<table width=100%>{{{#!folding [증명]
-------
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{n=0}^\infty B_n(1-x) \frac{t^n}{n!} &= \frac{te^{(1-x)t}}{e^t-1} = \frac{te^te^{-xt}}{e^t-1} \\
&= \frac{te^t}{e^t-1} e^{-xt} = \sum_{m=0}^\infty B^+_m \frac{t^m}{m!} \sum_{i=0}^\infty \frac{(-xt)^i}{i!} \\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty (-1)^i B^+_m \frac{t^{m+i}}{m!} \frac{x^i}{i!} \qquad {\sf Let}: m+i=n \\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{n=i}^\infty (-1)^i B^+_{n-i} \frac{t^n}{(n-i)!} \frac{x^i}{i!} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n (-1)^i B^+_{n-i} \frac{t^n}{(n-i)!} \frac{x^i}{i!} \qquad {\sf Let}: n-i=k \\
&= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n}^0 (-1)^{n-k} B^+_k \frac{t^n}{k!} \frac{x^{n-k}}{(n-k)!} \\
&= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac1{n!} B^+_k x^{n-k} t^n \\
&= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \sum_{k=0}^n \binom nk (-1)^k B^+_k x^{n-k} \frac{t^n}{n!} \\
&= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \sum_{k=0}^n \binom nk B_k x^{n-k} \frac{t^n}{n!} \\
&= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(x) \frac{t^n}{n!} \\
\therefore B_n(1-x) &= (-1)^n B_n(x)
\end{aligned} )]}}}
}}}||

=== [[파울하버의 공식]]과의 관계 ===
[[파울하버의 공식]]은 다음과 같이 주어진다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^c &= \frac1{c+1}\sum_{k=0}^c \binom{c+1}k (-1)^kB_k n^{c+1-k} \\ &= \frac1{c+1}\,{\color{red}\sum_{k=0}^c\binom{c+1}k B_k^+ n^{c+1-k}} \end{aligned})] ||
한편, 베르누이 다항식에서 [math(x)] 대신에 [math(-x)]를 대입하고 [math(n=c+1)]을 대입한 뒤 [math(k = c+1)]항을 분리해서 이항하면
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} B_{c+1}(-x) &= \sum_{k=0}^{c+1} \!\binom{c+1}k B_k (-x)^{c+1-k} = \sum_{k=0}^{c+1} \binom{c+1}k (-1)^{c+1-k}B_k x^{c+1-k} \\ &= \sum_{k=0}^c \binom{c+1}k (-1)^{c+1-k}B_k x^{c+1-k} + B_{c+1} \\ B_{c+1}(-x) - B_{c+1} &= \sum_{k=0}^c \binom{c+1}k (-1)^{c+1-k}B_k x^{c+1-k} \end{aligned})] ||
이때 [math(B_{c+1} = B_{c+1}(0))]이며, 변수 [math(x)]를 [math(n)]으로 치환하고 [math((-1)^{c+1-k})]을 분리해서 정리하면
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} B_{c+1}(-n) - B_{c+1}(0) &= \sum_{k=0}^c \binom{c+1}k (-1)^{c+1-k}B_k n^{c+1-k} \\ &= (-1)^{c+1}\sum_{k=0}^c \binom{c+1}k (-1)^kB_k n^{c+1-k} \\ &= (-1)^{c+1}\,{\color{red}\sum_{k=0}^c \binom{c+1}k B_k^+ n^{c+1-k}}\end{aligned})] ||
따라서 파울하버의 공식을 베르누이 다항식으로 나타내면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \dfrac{(-1)^{c+1}}{c+1}\{B_{c+1}(-n) - B_{c+1}(0)\})]임을 알 수 있다. 이 식을 잘 보면 [math(B_{c+1}(-n) - B_{c+1}(0))]은 [math(B_{c+1}(-n))]으로 나타낸 베르누이 다항식에서 상수항을 제거한 식임을 알 수 있다. 곧, 파울하버의 공식은 베르누이 다항식 [math(B_n(x))]에서 각 상수항을 모두 제거하고 [math(x)]대신 [math(-x)]를 대입한 뒤 [math(\dfrac{(-1)^n}n)]을 곱한 식의 형태와 완전히 똑같다는 것을 알 수 있다. 사실 어떻게 보면 이는 아주 자명한 것인데, [[파울하버의 공식#유도|파울하버의 공식을 유도하는 과정]]에서 베르누이 다항식의 형태가 튀어나오기 때문이다. 해당 문서에서 유도 항목을 보면 알 수 있지만 공비가 [math(e^t)]인 급수 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n(e^t)^k)]를 이용해서 유도하는데, 등비급수의 공식을 적용하면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n(e^t)^k = \frac{e^t(e^{nt} - 1)}{e^t - 1} = \frac{e^{nt} - 1}{1 - e^{-t}} = -\frac{e^{nt}-1}{e^{-t}-1})]이고 이는 베르누이 다항식 [math(\displaystyle \frac{te^{xt}}{e^t-1} = \sum_{c=0}^\infty B_c(x)\frac{t^c}{c!})]에서 [math(t)]에 [math(-t)], [math(x)]에 [math(-n)]을 대입한 식
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} -\frac{te^{nt}}{e^{-t}-1} &= \sum_{c=0}^\infty B_c(-n)\frac{(-t)^c}{c!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty(-1)^cB_c(-n)\frac{t^c}{c!} \end{aligned})] ||
을 이용한 꼴이다. 즉 위 식에서 [math(n = 0)]을 대입한 것을 빼고 양변을 [math(t)]로 나눠서 정리하면 [math(B_0(-n) = 1 = B_0(0))]이므로 무한급수는 [math(c=1)]부터의 합으로 바꿀 수 있으며
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} -\frac{e^{nt}-1}{e^{-t}-1} &= \frac1t\sum_{c=0}^\infty(-1)^c\{B_c(-n)-B_c(0)\}\frac{t^c}{c!} \\ &= \sum_{c=1}^\infty(-1)^c\{B_c(-n)-B_c(0)\}\frac{t^{c-1}}{c!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty(-1)^{c+1}\{B_{c+1}(n)-B_{c+1}(0)\}\frac{t^c}{(c+1)!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty{\color{red}\frac{(-1)^{c+1}}{c+1}\{B_{c+1}(-n) - B_{c+1}(0)\}}\frac{t^c}{c!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty{\color{red}\sum_{k=1}^nk^c}\frac{t^c}{c!} = \sum_{c=0}^\infty\sum_{k=1}^n\frac{(kt)^c}{c!} = \sum_{k=1}^n\sum_{c=0}^\infty\frac{(kt)^c}{c!} \\ &= \sum_{k=1}^n e^{kt} = \sum_{k=1}^n(e^t)^k\end{aligned})] ||

[[분류:해석학(수학)]][[분류:수열]]