[[분류:기하학]] 
[include(틀:평면기하학)]
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== 개요 ==
[math(\angle {\rm A}=90 \degree)]인 [[직각삼각형]] [math(\rm ABC)]에서 점 [math(\rm H)]는 점 [math(\rm A)]에서 선분 [math(\rm BC)]에 내린 수선의 발이다.

[[파일:namu_사영정리_1.svg|width=170&align=center&bgcolor=#ffffff]]

이 때 다음 네 등식이 성립한다.[* 단, 엄밀히 말하면 네 번째 등식은 사영 정리가 아니다. 그럼에도 같이 쓴 이유는 이것이 같이 다뤄지는 경우가 많기 때문이다.]
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\begin{aligned} \overline{\rm AB}^{2}&= \overline{\rm BH} \cdot \overline{\rm BC} \\  \overline{\rm AC}^{2}&= \overline{\rm CH} \cdot \overline{\rm CB} \\ \overline{\rm AH}^{2}&= \overline{\rm BH} \cdot \overline{\rm HC} \\ \overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm AC}&= \overline{\rm BC} \cdot \overline{\rm AH}\end{aligned})] ||

== 증명 ==
첫 번째 식부터 세 번째 식까지는 내외로 중첩된 직각삼각형의 [[닮음]]을 이용해서 증명할 수 있다. 문제 상황은 아래의 그림과 같다.

[[파일:사영정리_3.svg|width=170&align=center&bgcolor=#ffffff]]

 * [math(\triangle \rm ABC)]와 [math(\triangle \rm HBA)]는 [math(\rm AA)]닮음이다. 비례식 [math(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC} = \overline{\rm HB}:\overline{\rm BA})]가 성립하므로, 이 식을 정리하면 [math(\overline{\rm AB}^{2}= \overline{\rm BH} \cdot \overline{\rm BC})]가 성립한다.
 * [math(\triangle \rm ACH)]와 [math(\triangle \rm BCA)]는 [math(\rm AA)]닮음이다. 비례식 [math(\overline{\rm AC}:\overline{\rm CH} = \overline{\rm BC}:\overline{\rm CA})]가 성립하므로, 이 식을 정리하면 [math(\overline{\rm AC}^{2}= \overline{\rm CH} \cdot \overline{\rm CB})]가 성립한다.
 * [math(\triangle \rm BAH)]와 [math(\triangle \rm ACH)]는 [math(\rm AA)]닮음이다. 비례식 [math(\overline{\rm BH}:\overline{\rm AH} = \overline{\rm AH}:\overline{\rm CH})]가 성립하므로, 이 식을 정리하면 [math(\overline{\rm AH}^{2}= \overline{\rm BH} \cdot \overline{\rm HC})]가 성립한다.

네 번째 식은 삼각형의 넓이를 이용하여 증명할 수 있다. 즉,
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm AC}= \frac{1}{2}\overline{\rm BC} \cdot \overline{\rm AH} \quad \to \quad \overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm AC}= \overline{\rm BC} \cdot \overline{\rm AH} \end{aligned} )] ||

== 따름정리 ==
사영 정리를 이용해서 [[피타고라스 정리]]가 성립함을 보일 수 있다.

[[파일:namu_사영정리_2.svg|width=170&align=center&bgcolor=#ffffff]]

위 그림과 같은 상황을 고려하자. 사영정리에 의하여
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=xa \\ b^{2}&=ya \end{aligned} )] ||
두 식을 더함으로써 [math(b^{2}+c^{2}=a(x+y))]을 얻는데, [math(x+y=a)]이므로
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} b^{2}+c^{2}=a^{2} \end{aligned} )] ||
의 [[피타고라스 정리]]를 얻는다.

== 기타 ==
 * 사영정리는 대한민국의 수학 교육과정에 직접적으로 포함되어 있지 않으나, 참고서에서는 중학교 2학년 2학기 도형의 닮음 단원에서 이 정리를 다루는 경우가 많다.