[include(틀:정수론)]

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== 개요 ==
{{{+2 Théorème de Sophie Germain / Sophie Germain [[定]][[理]]}}}

정수론에서 가장 오래된 떡밥인 [[페르마의 마지막 정리]]를 증명하는데 큰 도움을 준 정리이다. 이름 그대로 19세기 프랑스의 수학자인 [[소피 제르맹]]이 증명했다.

>p가 소피 제르맹 소수. 즉 p와 2p+1이 둘 다 소수일 때, 이때, 서로소인 정수 [math(x, y, z)]가 [math(x^p + y^p + z^p = 0)]을 만족시킨다고 가정하면 이하의 성질을 만족시킨다.
>[math(xyz\equiv 0 \pmod{\theta} \Leftrightarrow x^p + y^p + z^p \equiv 0 \pmod{\theta})].(단, [math(\theta)]는 소수.)[* [math(xyz\equiv 0 \pmod{\theta})]는 '''이 방정식을 만족하는 정수쌍은 자명한 해 밖에 없다'''라는 의미다. [math(p, \theta)]가 소수이므로 [math(xyz\equiv 0 \pmod{\theta})]인 시점에서 [math(x, y, z)] 셋 중 하나는 [math(\theta)]의 배수여야 하며, 여기에 이 세 쌍이 반드시 가져야만 하는 성질(예를 들어서 세 수를 곱하면 반드시 [math(p)]의 배수여야 한다.)을 총 동원할 경우 [math(xyz=0)](즉 [math(x^p+0=z^p)]이거나 [math(x^p+(-x)^p=0)])일 수 밖에 없기 때문.]
>[math(\forall x, \nexists x^p \equiv p \pmod{\theta})]

소피 제르맹은 이 정리를 이용하여 100 이하의 모든 소피 제르맹 소수에 대해 [[페르마의 마지막 정리]]가 성립한다는 것을 보였다. 정확히는 소피 제르맹이 제시한 정리는 다음과 같다.

> 임의의 보조 소수 [math(\theta)]를 가정하자.
> 1. 0이 아닌 [math(p)]의 서로 다른 두 거듭제곱이 법 [math(\theta)]에 대하여 합동이다.
> 1. [math(p)]는 어떠한 수의 [math(p)] 거듭제곱과도 법 [math(\theta)]에 대하여 합동이 아니다.
>이 두 조건을 만족하는 보조 소수 [math(\theta)]가 존재할 경우, [math(x^p+y^p+z^p=0)]일 때[* [math(p)]가 3 이상의 소수이기 때문에 [math(x^p+y^p=(-z)^p)]와 동치다.], [math(x,y,z)]중 적어도 하나는 [math(p^2)]의 배수이다.

이를 일반화한 게 100 미만의 소피 제르맹 소수 전반으로 확장된 바로 위의 문장. 그 후, 이를 분석한 수학자들에 의해 100의 상한은 197로, 그 이후 1700까지 증가했다. 참고로 소피 제르맹은 저 아이디어를 바탕으로 [math(n=5)]일 때를 증명해냈다.

== 소피 제르맹 소수 / 안전 소수[Anchor(소수)] ==
어떤 수 p 와 2p+1이 동시에 [[소수(수론)|소수]]일 때, p 를 소피 제르맹 소수, 2p+1을 안전 소수(safe prime)라고 부른다. 안전 소수라는 이름이 붙은 이유는 이런 소수를 이용하여 [[암호학#s-3|암호 알고리즘]]을 만들 경우 해독이 더 어려워지기 때문이라고 한다.

예를 들어 p = 5일 때, 2p+1 = 11로 소수이므로, 5는 소피 제르맹 소수, 11은 안전 소수가 된다.

소피 제르맹 소수는 무한히 많을 것으로 추측되지만, 증명되지는 않았다.

=== 1000보다 작은 소피 제르맹 소수 목록 ===
||<rowbgcolor=#ccc><:>'''소피 제르맹 소수'''||<:>'''안전 소수'''||
||<:>[[2]]||<:>5||
||<:>[[3]]||<:>7||
||<:>[[5]]||<:>11||
||<:>[[11]]||<:>23||
||<:>[[23]]||<:>47||
||<:>[[29]]||<:>59||
||<:>[[41]]||<:>83||
||<:>[[53]]||<:>107||
||<:>[[83]]||<:>167||
||<:>[[89]]||<:>179||
||<:>[[113]]||<:>227||
||<:>[[131]]||<:>263||
||<:>[[173]]||<:>347||
||<:>[[179]]||<:>359||
||<:>[[191]]||<:>383||
||<:>[[233]]||<:>467||
||<:>[[239]]||<:>479||
||<:>[[251]]||<:>503||
||<:>[[281]]||<:>563||
||<:>[[293]]||<:>587||

== 관련 문서 ==
 * [[정수론]]
 * [[페르마의 마지막 정리]]
 
[[분류:정수론]]