[include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == 군이 단일한 생성원을 가질 때, 즉 [math(a\in G)]가 존재하여 [math(G=\left\langle a\right\rangle)]일 때, 순환군(cyclic group) 이라 한다. * [math(G)]가 순환군이면, [math(n\in \mathbb{Z})]가 존재하여 [math(G\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})]이다.[* [math(G=\left\langle a\right\rangle)]에 대해, [math(\phi\ :\mathbb{Z}\rightarrow G)]를 [math(\phi\left( n\right)=a^{n})]로 정의하고 제1 동형정리를 적용하여 바로 얻는다. ] 이 사실에 의해, 순환군은 기초정수론에 의해 모두 파악될 수 있다는 것을 알 수 있다. == 순환군 == === 치환 알고리즘 === [math(\sigma_{123} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})]의 2행표기법에서 1행 표기법으로는 [math( \left( 123 \right) )]으로 표기할수 있다. 이것을 [[순열 생성 알고리즘]]으로 돌리면 (123) , (132) ,(231) ,(312),(213),(321)로 6개 나온다. 이걸 다시 2행표기법으로 바꾸면 [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix})]을 얻을수 있다. === 순열 합성함수의 예 === P={1,2,3}이고 집합P 에서 6개의 [[치환군]](순열군,S,,,P,,,)은 다음과 같이 대칭성을 갖는 [[대칭군]](S,,,3,,,)임을 조사할수 있다. || (123) [br] (231) [br](312) || (321) [br] (132) [br] (213) || 이제 S,,,3,,, 와 [math(\circ)]([[합성함수]])는 군(group)의 공리를 만족시킬수 있다. 순열의 [[홀짝성]](parity)에서 우(짝)순열과 우(짝)순열의 합성은 우순열이고 기(홀)순열과 기(홀)순열의 합성은 우순열이므로 [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} )] [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} )] [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] 위와같이 순환군의 첫번째 합성에서 대칭군 S,,,3,,, 의 [[교대군]](alternating group) S,,,A,,, 를 조사할수 있다. S,,,A,,, = [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix})] == S,,,3,,, 순환군 == P={1,2,3}이고 집합P 에서 6개의 [[치환군]](순열군,S,,,P,,,,)은 다음과 같이 [[대칭군]](S,,,3,,,)을 조사할수 있다. (123) , (132) ,(231) ,(312),(213),(321) 이걸 다시 2행표기법으로 바꾸면 [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix})]이다. === S,,,3,,, 순환군의 합성 === [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] , [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} )] [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} )] , [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] , [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} )] [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} )] , [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] , [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} )] [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] , [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} )] [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] , [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} )] 순환군들은 다시 자기자신으로 돌아오고 순환한다. === S,,,3,,, 순환군들 === 위의 S,,,3,,, 순환군의 합성으로 부터 [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] 은 항등원임을 조사할수 있다. [* \[참고 \](조선대학교 교육대학원)위수 60인 비아벨 단순군의 유일성 ,신 주 한[[https://oak.chosun.ac.kr/bitstream/2020.oak/19132/2/%EC%9C%84%EC%88%98%2060%EC%9D%B8%20%EB%B9%84%EC%95%84%EB%B2%A8%20%EB%8B%A8%EC%88%9C%EA%B5%B0%EC%9D%98%20%EC%9C%A0%EC%9D%BC%EC%84%B1.pdf]]] || 대칭군 S,,,3,,, || 순환군 || 번호매김(numbering) || || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] || [math(\mathrm{I})] || || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} )] || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] || [math(\mathrm{II})] || || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} )] || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix})] || [math(\mathrm{III})] || || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} )] || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix})] || [math(\mathrm{IV})] || || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} )] || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] || [math(\mathrm{V})] || || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} )] || [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} )] || [math(\mathrm{VI})] || S,,,3,,,의 순환군 [math(\mathrm{III})]은 [math(\mathrm{IV})]과 같고 또한 교대군 S,,,A,,,와 같음을 조사할수 있다. 이어서 따라서 위수 [math(\lvert 3\rvert)]에서는 교대군이 일부 순환군들과 일치한다는 것을 조사할수 있다. == 관련 문서 == * [[힙 알고리즘]] [[분류:대수학]] [[분류:집합론]]