[[분류:기하학]]
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|| M.C. Escher, <원의 극한 IV>, 1960. ||

== 개요 ==
{{{+1 [[雙]][[曲]] tessellation / hyperbolic tessellation}}}

[[2차원]] 쌍곡 공간에서 정의되는 [[테셀레이션]]으로, 쌍곡 타일링 등으로도 불린다.

평면 테셀레이션이 평면 다각형을 이용해 평면을 가득 채우듯, 쌍곡 테셀레이션은 쌍곡다각형을 이용해 쌍곡 공간을 채우는 테셀레이션이다. 주로 [[푸앵카레 원반]] 모델을 이용해서 나타낸다.

평면 다각형은 다각형의 크기가 커져도 내각의 크기는 그대로고[* 이 때문에 [[닮음]]은 [[유클리드 기하학]]에서만 정의된다.], 구면 다각형은 크기가 커지면 내각의 크기가 비례하여커진다. 반면 쌍곡 다각형은 크기가 커지면 내각의 크기가 점점 작아지는 반비례하며, 다각형의 크기가 [[무한대]]로 [[발산]]하면 내각의 크기도 [[0]]으로 [[수렴]]한다. 다각형의 크기가 커질수록 내각이 줄어들기 때문에, 쌍곡 공간에서는 정삼각형 7개와 같이 평면상에서는 내각의 합이 360º를 초과하는 조합도 얼마든지 이어붙일 수 있다.

=== 정규 쌍곡 테셀레이션 ===
크기가 커질수록 내각이 무한히 작아지는 쌍곡다각형의 성절 때문에, {3,3}([[정사면체]]), {3,4}([[정팔면체]]), {3,5}([[정이십면체]]), {4,3}([[정육면체]]), {5,3}([[정십이면체]]) 5가지만 존재하는 [[정다면체]][* 구면 테셀레이션과 정다면체는 [[위상동형]]이고 앞선 5개의 정다면체도 구면 테셀레이션으로 표현 가능하나, 정다면체와 구면 테셀레이션은 엄연히 다르다. 구면에서는 유클리드 기하학에서는 정의되지 않는 [[이각형]]도 이어붙여 만들 수 있기 때문이다. 따라서 정다면체는 5개지만, 구면 테셀레이션은 {2,3}, {2,4}, ..., {2,∞} 및 그 쌍대를 포함하므로 무수히 많다.], {3,6}([[정삼각형]] 테셀레이션), {4,4}([[정사각형]] 테셀레이션), {6,3}([[정육각형]] 테셀레이션)만 존재하는 평면 정규 테셀레이션과 달리, 쌍곡 테셀레이션은 무수히 많다. {p,∞}, {∞,q}와 같은 무한테셀레이션도 가능하며, 무한각형을 무한히 이어붙이는 {∞,∞}과 같은 테셀레이션도 존재한다.

[math(\displaystyle \frac{p-2}{p} \times q>2)][* 좌변이 2이면 유클리드 테셀레이선, 2보다 작으면 구면 테셀레이션 또는 [[정다면체]]가 된다.]일 때, [math(\left\{ p,q \right\})]인 쌍곡 테셀레이션이 존재한다.(p,q는 3 이상의 정수 또는 무한대)

==== 종류 ====
종류가 무한하며, {p,q}는 'q차 정p각 타일링'(order-q regular p-gon tiling)[* 단, p가 4(정사각형)일 경우 square]이라고 부른다.
 * p가 ∞일 경우 무한각형(apeirogon), q가 ∞일 경우 infinite order 라고 부른다. 
|| ||<-7> 콤팩트 || 파라콤팩트 ||
||<|7> 콤팩트 || || || || || {3,7} || {3,8} || ⋯ || {3,∞} ||
|| || || {4,5} || {4,6} || {4,7} || {4,8}|| ⋯ || {4,∞} ||
|| || {5,4} || {5,5} || {5,6} || {5,7} || {5,8}|| ⋯ || {5,∞} ||
|| || {6,4} || {6,5} || {6,6} || {6,7} || {6,8}|| ⋯ || {6,∞} ||
|| {7,3} || {7,4} || {7,5} || {7,6} || {7,7} || {7,8}|| ⋯ || {7,∞} ||
|| {8,3} || {8,4} || {8,5} || {8,6} || {8,7} || {8,8}|| ⋯ || {8,∞} ||
|| ⋮ || ⋮ || ⋮ || ⋮ || ⋮ || ⋮ || ⋱ || ⋮ ||
|| 파라콤팩트 || {∞,3} || {∞,4} || {∞,5} || {∞,6} || {∞,7} || {∞,8}|| ⋯ || {∞,∞} ||

=== 기타 ===
 * [[http://roice3.org/magictile/|쌍곡 테셀레이션을 무려 '''트위스티 퍼즐'''로 만들어 버린 프로그램]]이 존재한다. 난이도는 쌍곡 테셀레이션이 유클리드 대칭과 전혀 다른 대칭성을 지닌 만큼 매우 높다. 쌍곡 테셀레이션 뿐만 아니라 유클리드 테셀레이션과 다른 다면체들도 사용 가능하므로 평범한 트위스티 퍼즐에 질렸다면 한 번 시도해볼만 하다.[* 실제로 이 프로그램의 일부 퍼즐은 WCA 공식 종목과 구조가 완전히 동일한 퍼즐도 있다. 대표적으로 {8,3} 6색 테셀레이션과 {32,3} 6색 테셀레이션은 [[3x3x3 큐브]]와 구조가 완전히 동일하며, {10,3} 12색 테셀레이션은 [[메가밍크스]]와 구조가 완전히 동일하다. ]
 * 평면 테셀레이션을 3차원 이상으로 확장시킨 [[허니컴]]이 있듯, 쌍곡 테셀레이션을 3차원으로 확장시킨 [[쌍곡 허니컴]]이 있다.