[[분류:수학]] [[분류:정수론]]
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[목차]

[[아르키메데스|Archimedean]] property
[[정수]] 또는 [[자연수]]의 근본적인 성질 중 하나로, 보통 [[정수론]]을 처음 배울 때 등장한다.
== 진술 ==
> 임의의 [math(\varepsilon>0)], [math(M\in \mathbb R)]에 대해 [math(N\varepsilon>M)]을 만족하는 자연수 [math(N)]이 존재한다.
정수에 관한 정리이긴 하지만 엄밀하게는 [[실수(수학)|실수]]의 성질도 필요하다. [math(M)]이 유리수 한정으로 되어 있는 버전도 있는데, 이 버전은 [[페아노 공리계]]만 갖고 증명이 가능하다.
== 증명 ==
실수의 완비성 공리[* "임의의 집합 [math(\emptyset\ne S \subset \mathbb{R})]가 상계를 가진다고 하자. 즉, [math(\forall a\in S \left(a<M\right))]을 만족하는 [math(M\in \mathbb{R})]이 존재한다고 하자. 그러면, [math(S)]의 최소상계 (혹은 상한) [math(\sup S)]가 존재한다."]를 이용하여 귀류법으로 증명할 수 있다. 아래는 자세한 내용.

||먼저 임의의 자연수 [math(N)]에 대해, [math(N\varepsilon < M)]이라 가정하자. 그러면 [math(S:=\left\{n\varepsilon \ |n\in \mathbb{N}\right\})]은 상계를 갖는다. 집합 [math(S)]는 공집합이 아닌 실수의 부분집합이므로, 완비성 공리에 의하여 최소상계 [math(\mu=\sup S)]가 존재한다.

[math(\sup S)]의 정의에 의해, [math(\mu-\varepsilon)]은 집합 [math(S)]의 상계가 아니므로 [math(\mu-\varepsilon <n\varepsilon )]인 자연수 [math(n)]이 존재한다. 그러면 [math(\mu <(n+1)\varepsilon )]이 성립하고, [math(n)]이 자연수이면 [math(n+1)]도 자연수이므로 이는 곧 [math(\mu<m\varepsilon )]인 자연수 [math(m)]이 존재한다는 것을 의미한다. 다시 말해 [math(S)]의 원소 중 최소상계 [math(\mu = \sup S)]보다 큰 것이 존재하며, 이는 [math(\sup S)]의 정의에 모순이다. 따라서 집합 [math(S)]는 상계를 가지지 않는다. 즉, 임의의 실수 [math(M)]에 대해 [math(N\varepsilon>M)]을 만족하는 자연수 [math(N)]이 존재한다.||

== 활용 ==
아르키메데스 성질을 이용하면 수열 [math(\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\right\})]이 0으로 수렴함을 보일 수 있다.
증명
||아르키메데스 성질에 의해 임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여 [math(N\varepsilon>1)]인 자연수 [math(N)]이 존재한다. 그러면 [math(\displaystyle \frac{1}{N}<\varepsilon)]이므로 [math(n\geq N)]인 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(\displaystyle \left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon)]이 성립한다. 따라서 [math(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0)]이다.||
또한 [math(\varepsilon=1)]로 놓으면 자연수 집합이 유계가 아님을 보일 수 있다.

== '비(非)' 아르키메데스 성질? ==
아르키메데스의 성질은 [[절대값]]을 이용해 종종 다음과 같은 식으로 설명된다.
> 임의의 0이 아닌 [math(x \in \mathbb{Q})]에 대해 [math(|Nx|>1)]을 만족하는 자연수 [math(N)]이 존재한다.
[[절대값]]을 유리수 위의 [[삼각부등식]]을 만족하는 거리함수로 간주하면, 아르키메데스 성질은 정수 자체에 대한 것이 아니라 절대값이라는 '거리함수'에 대해 성립하는 성질로 생각될 수 있다. 굳이 이렇게 번거롭게 돌아가는 이유는, 유리수에는 아르키메데스 성질이 성립하지 않는 거리함수도 있기 때문이다.

[[소수(실수)|소수]] p에 대해 '''p진 거리'''(p-adic distance)는 다음처럼 정의된다. 0이 아닌 모든 [[유리수]] [math(q)]는 정수 [math(e)]와 [math(p)]와 p와 서로소인 정수 [math(a,b)]에 대해 [math(q = p^e (a/b))]로 나타낼 수 있다. 이 때 [math(q)]의 거리를 [math(\nu_{p}(q) = p^{-e} )]로 정의한다. [math(\nu_p(0) = 0)]으로 정의한다.
 예시) [math(p=3)]에 대해 [math(\nu_{3} (1)=\nu_3(2)=\nu_3(4)=1)], [math(\nu_3 (3)=\nu_3(6)=1/3)], [math(\nu_3(1/243) = 243)]
통상적인 [[절대값]]과는 좀 많이 다르지만, 이 p진 거리도 삼각부등식 [math( \nu_p (x+y) < \nu_p(x) + \nu_p(y) )]을 만족한다. 심지어는 더욱 강력한 성질인 [math( \nu_p (x+y) \le \max( \nu_p(x), \nu_p(y)))]가 성립한다! 절대값에서 성립하는 곱의 공식 [math( |xy|=|x||y| )]도 그대로 옮겨가 [math( \nu_{p}(xy)= \nu_{p}(x) \nu_{p}(y))]가 성립한다. 즉 p진 거리는 유리수 위의 절대값이 갖추는 요건을 모두 갖추고 있다. '''아르키메데스 성질 하나만 빼고.''' 자연수 [math(N)]에 대해 [math(\nu_p (N) \le 1)]이므로 [math( \nu_p(Nx) \le \nu_p(x))]가 되어, 아르키메데스 성질은 '항상' 성립하지 않는다.

유리수[[체(대수학)|체]] 위에 정의된 노름(norm, 곱에 의해 보존되는 거리함수)은 아르키메데스 성질을 만족시키는 절대값과 아르키메데스 성질을 만족시키지 않는 이들 p진 거리가 전부이다. 이를 일반화하여 [[정수론]]에서는 아르키메데스 성질을 만족시키는 노름을 아르키메데스 거리(Archimedean metric), 그렇지 않은 것을 비 아르키메데스 거리(non-Archimedean metric)이라 부른다. 보통 아르키메데스 거리들은 절대값에서 유도되고 비 아르키메데스 거리들은 p진 거리에서 유도되기 때문에, 이 아르키메데스 성질을 만족하는지 아닌지의 여부로 양자택일이 되는 것이다.