[[분류:비초등함수]][[분류:정수론]][[분류:다변수함수]]
[include(틀:정수론)][include(틀:특수함수의 목록)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+2 [[約]][[數]] [[函]][[數]] / Divisor function}}}

[[특수함수]]의 하나로, [[정의]]는 다음과 같다. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sigma_s(n) \equiv \sum_{d|n} d^{s}\quad)](단, [math(d)]는 [math(n)]의 [[약수(수학)|약수]], [math(s \in \mathbb{C},\,n \in \mathbb{N})]) }}}
즉, 어떤 [[자연수]]의 [[약수(수학)|약수]]를 [math(s)][[제곱]]한 것을 모두 더한 것을 함숫값으로 내놓는 [[함수]]이다.

특히 [math(s=1)]인 경우엔 특별히 시그마 함수라고 부르며 [math(\sigma(n))]로 표기하기도 한다. 이 [[함수]]는 [math(n)]의 모든 [[약수(수학)|약수]]들의 [[합]]을 내놓는다. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sigma(n) = \sigma_1(n) = \sum_{d|n} d\quad)]}}}
[math(s=0)]인 경우 [[약수(수학)|약수]]의 개수를 내놓으며 간단히 [math(d(n))]이라고 표기하기도 한다.([math(\sigma_0(n)=d(n))])

== 상세 ==
가장 많이 쓰이는 [[용도]]는 [[완전수]]/[[부족수]]/[[과잉수]] 판별로, 이들은 [[진약수]]의 [[합]]이 어떤가에 따라 [[집합]]이 갈리기 때문이다. 덤으로 이를 이용해 [[소수(수론)|소수]]를 정의하면 [[1]]이 소수가 아니라고 깔끔하게 [[정의]]된다.

 * [[부족수]]: [math(\sigma_1(n) < 2n)]
 * [[완전수]]: [math(\sigma_1(n) = 2n)]
 * [[과잉수]]: [math(\sigma_1(n) > 2n)]
 * [[소수(수론)|소수]]: [math(\sigma_1(n) = n+1)]

[math(\sigma_1(n))]은 일반화된 오각수[* n번째 오각수의 일반항 [math(\frac{n(3n-1)}{2})]의 n자리에 정수를 넣은 것]를 사용해서 구할 수도 있다.
[math(\sigma_1(n)=\sigma_1(n-1)+\sigma_1(n-2)-\sigma_1(n-5)-\sigma_1(n-7)+...)]인데 다만 [math(\sigma_1(0))]자리엔 대신 n을 써야 성립한다.

[math(s)]에 [[복소수]]가 들어갈 수 있기 때문에, [[복소수]] [math(s)]에 대해서는 [[정의]]가 다음과 같이 바뀐다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sigma_s(n) \equiv \sum_{d|n} d^{\Re(s)}\, ({\rm cis} \circ \ln)( d \, \Im(s)))] }}}
[math({\rm cis})]는 [[오일러 공식#s-1.1|허수지수함수]], [math(\ln)]은 [[자연로그]], [math(\Re, \Im)]는 각각 [[복소수]]의 [[실수부]]와 [[허수부]]를 뜻한다.

[math(d(n))]의 [math(x)]이하 부분합 [math(\displaystyle \sum_{n\le x} d(n))]은 다음과 같이 나타난다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sum_{n\le x} d(n)=x \log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}))]}}}