[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] ||<#FFFFFF> [[파일:namu_역함수_예시.png|height=280]] || || '''대표적인 역함수 관계인 [[지수함수|[math(\boldsymbol{a^x})]]]와 [[로그함수|[math(\boldsymbol{\log_a{x}})]]]''' || == 개요 == {{{+1 [[逆]][[函]][[數]] / inverse function}}} 어떤 [[함수]]의 독립변수와 종속변수 사이의 대응 관계를 거꾸로 한 함수를 말한다. 함수 [math(f:X\to Y)]가 전단사([[일대일대응]])이면 그 '''역함수''' [math(f^{-1} :Y\to X)]를 생각할 수 있는데, 이는 [[집합]] [math(Y)]의 원소 [math(y)]에 대해 [math(f\left(x\right)=y)]인 유일하게 존재하는 [math(x)]를 대응시키는 것이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(f\left(x\right)=y\Leftrightarrow f^{-1}\left(y\right)=x)]}}} 이고, 함수의 정의 때문에 이는 [math(f)]가 전단사일 때밖에 생각할 수 없다. 전단사가 아닌 함수는 [[조각적 정의]]나 [[복소해석학]]에 기반한 [[해석적 연속|해석적 확장]][* 가령 [math(\sin)]의 역함수인 [math(\arcsin)]의 경우 [math(|x|>1)]인 실수 영역에서는 [math(\pi\cdot{\rm sgn}(x)/2+\boldsymbol{ik})](단, [math(k \in \mathbb R\setminus\{0\})])꼴로 함숫값을 표현한다.] 등을 사용해야 한다. [[파일:namu_역함수_개념도.png|width=260&align=center]] == 성질 == 역함수가 존재하는 함수 [math(f: X \to Y)]와 그 역함수 [math(f^{-1}: Y\to X)]에 대하여 다음이 성립한다. * '''본 함수와 역함수의 합성''' * [math(f \circ f^{-1})]는 [math(Y)]에서의 항등함수이다. * [math(f^{-1} \circ f)]는 [math(X)]에서의 항등함수이다. * [math(f)]의 정의역과 치역이 실수 전체 집합이면, [math(f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f=I)] (단, [math(I)]는 [[항등함수]]) * '''역함수의 그래프 [math(\boldsymbol{y=f^{-1}(x)})]의 그래프는 본 함수 [math(\boldsymbol{y=f(x)})]와 [[일차함수#s-3|[math(\boldsymbol{y=x})]]]에 대하여 대칭이다.''' * 이는 본 함수의 그래프가 [math((x,\,f(x)))]를 지나면, 역함수는 정의에 의하여 [math((f(x),\,x))]를 지나기 때문이다. * 본 함수가 [[미분]] 가능한 함수이고 그 [[도함수]]의 함숫값이 0인 점이 있을 경우, 역함수의 도함수에서 대응점은 [[특이점#s-2.1]]이 된다. * '''연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점''' * 증가하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점이 존재하면 그 점은 [math(y=x)] 위에 있다. * 감소하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점의 개수는 홀수이며, 항상 [math(y=x)] 위의 교점을 1개 갖는다. == 도출 == 역함수는 [math(y=x)]에 대칭이기 때문에, 다음과 같은 방법으로 역함수를 도출할 수 있다. || 1. 본 함수의 [math(x)], [math(y)]의 자리를 바꾼다. 1. 1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다. || === 예 1 === ||
[math(y=3x+1)] || 1. 본 함수의 [math(x)], [math(y)]의 자리를 바꾼다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x=3y+1)]}}} 1. 1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(3y=x-1 \;\to \; \boldsymbol{ y=\dfrac{x - 1}{3} })]}}} === 예 2 === ||
[math(y=e^{x-4})] (단, [math(e)]는 [[자연로그의 밑]]) || 1. 본 함수의 [math(x)], [math(y)]의 자리를 바꾼다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x=e^{y-4})]}}} 1. 1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} \ln{x}&=\ln{e^{y-4}} \\ &=y-4 \; \to \; \boldsymbol{y=\ln{x}+4} \end{aligned})]}}} == 역함수의 예 == * [[이차함수]] ↔ [[무리함수|무리함수(제곱근함수)]] * [[다항함수#s-4.6|오차함수]] ↔ [[브링 근호|브링 근호 함수]] * [[삼각함수]] ↔ [[역삼각함수]] * [[지수함수]] ↔ [[로그함수]] * [math(x)]가 곱해진 지수함수 ↔ [[람베르트 W 함수|람베르트 [math(W)] 함수]] * [[쌍곡선함수]] ↔ [[역쌍곡선함수]] * [[타원/타원 적분|타원적분]] ↔ [[타원곡선]] * [[구데르만 함수]] ↔ [[구데르만 함수|구데르만 역함수]] * [[미분]] ↔ [[부정적분]][* [[범함수|범'함수']]로서의 역함수 관계. 이는 따로 [[미분형식#s-3|견인(pullback)]]이라고 칭한다.] == 역함수의 [[미분]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=역함수 정리)] == 역함수의 [[적분]] == 원본 함수 대비해서 비교가 되지 않는 난도를 자랑한다. 가령 삼각함수와 지수함수는 [[부분적분]]에서 [[부분적분/LIATE 법칙|LIATE 법칙]]의 오른쪽(적분 우선)에 속하는 반면 그 역함수인 역삼각함수와 로그함수는 왼쪽(미분 우선)이다. 심지어 람베르트 [math(W)] 함수 같은 경우 LIATE 밖의 함수답게 로그함수 적분을 '''따위'''로 만들 정도의 까다로움을 자랑한다. [[정적분]]의 경우는 [[정적분#역함수의 정적분|해석기하학적 방법]]을 이용할 수도 있다. == 기타 == * [[북한]]에서는 역함수를 '거꿀함수'라고 한다. [각주][include(틀:문서 가져옴,title=함수,version=375)] [[분류:함수]]