[include(틀:통계역학)]
[include(틀:유체역학)]
[Include(틀:전자기학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[連]][[續]] [[方]][[程]][[式]] / Continuity equation}}}

어떤 [[물리량]]이 보존되는 상태로 이송되는 것을 기술하는 [[방정식]]이다. 어느 구간에서 자신이 원하는 양이 얼마나 들어가고 빠지는지를 나타내기 위해서 쓰는데, 그래서 아무것도 변하지 않는다고 하는 보존법칙들을 기술하기 위해서도 이 법칙이 요긴하게 쓰인다.

=== 연속 방정식의 일반형 ===
어떤 물리량 [math(\displaystyle q)]에 대해 일반적으로 연속 방정식은 다음과 같이 표현된다. 

{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \frac{d}{d t} \iiint_{V} \rho_{q} (\mathbf{r},\, t ) d^{3} r = - \oiint_{\partial V} \mathbf{J}_{q} (\mathbf{r},\, t ) \cdot d \mathbf{a} + \iiint_{V} s_{q} (\mathbf{r},\, t ) d^{3} r )] }}}

여기서 [math(\displaystyle \rho_{q}, \mathbf{J}_{q}, s_{q})]는 각각 단위 부피당 [math(\displaystyle q)], 단위 시간당 단위 면적을 통한 [math(\displaystyle q)]의 흐름, (외부 공급 장치 등에 의한) 단위 부피당 [math(\displaystyle q)]의 직접 공급을 뜻한다. 

이로부터 위 식의 좌변은 '''단위 시간당 어떤 영역 [math(\displaystyle \boldsymbol V)] 내의 [math(\displaystyle \boldsymbol q)]의 (시간에 따른) 변화율''', 우변의 첫째 항과 둘째 항은 각각 '''영역 [math(\displaystyle \boldsymbol V)]의 경계면을 통해 단위 시간당 유입되는 [math(\displaystyle \boldsymbol q)]의 양''', '''(외부 공급 장치 등을 이용한) [math(\displaystyle \boldsymbol q)]의 직접적인 공급'''을 의미한다. 

위 식에 [[발산 정리]]를 적용하여 정리하면 다음과 같이 연속 방정식의 미분형이 유도된다. 

{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \frac{\partial \rho_{q}}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{q} = s_{q}  ( \mathbf{r},\, t ) )] }}}

== [[유체역학]]에서의 연속 방정식 ==
=== [[질량]]에 대한 연속 방정식 ===
유체가 흐를 때 [[질량]]이 보존됨을 표현하는 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 유체 질량은 폐곡면을 통해 출입하는 유량에 따라 변한다는 것을 표현한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0)] }}}

==== 유도 ====
밀도가 [math(\displaystyle \rho)]인 유체가 어떤 폐곡면 [math(\displaystyle S)]를 출입하는 상황을 생각해보자. 이 상황은 다음과 같은 방정식으로 묘사된다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V} \rho\, d^3 r = -\oiint_{S} \rho \mathbf{u} \cdot d \mathbf{a} )] }}}

여기서 [math(V)]는 폐곡면 [math(S)]로 둘러싸인 영역이다. 좌변은 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 있는 유체가 갖는 질량의 변화량, 우변은 단위 시간당 폐곡면 내로 유입되는 유체의 질량을 의미한다.

위 방정식의 우변에 [[발산 정리]]를 적용하여 정리하면 다음과 같이 [[질량]]에 대한 연속 방정식을 얻는다. 

{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0)] }}}

==== 비압축성 유체 ====
비압축성이면 [math(\rho)]가 상수이니 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0)] }}}
또는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \oiint_{\partial V} \mathbf{u} \cdot d\mathbf{a} = 0)] }}}
가 된다. 후자를 파이프 같이 단순한 유체 흐름의 상황에 적용하면 아주 간단한 형태가 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle A_1\mathbf{u}_1 = A_2\mathbf{u}_2)] }}}

=== [[운동량]]에 대한 연속 방정식 ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=오일러 방정식)]

== [[전자기학]]에서의 연속 방정식 ==
=== [[전하]]에 대한 연속 방정식 ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=전류)]

=== [[에너지]]에 대한 연속 방정식 ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=포인팅 벡터)]

== [[확산]]⋅[[열]]에 대한 연속 방정식 ==
열의 밀도를 [math(u)], 에너지 선속을 [math(\mathbf{q})]라 하고, 마찰력 등으로 인한 내부 열 생성은 없다고 가정하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q} = 0)] }}}
열이 아니라 물질에 적용해도 수학적으로 똑같다. [math(\phi)]를 물질의 밀도 (단위는 mol/m^3), [math(\mathbf{J})]를 물질의 확산 선속 (단위는 mol/m^2/sec)이라 하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0)] }}}
이 둘은 각각 푸리에의 법칙과 픽의 1 법칙과 연계하면 열 방정식과 확산 방정식으로 이어진다. 이 두 방정식 역시 수학적으로 동일.

== 관련 문서 ==
 * [[나비에-스토크스 방정식]]
 * [[오일러 방정식]]
 * [[포인팅 벡터]]
 * [[레이놀즈 수송 정리]]
 * [[확률 흐름 밀도]]
[[분류:방정식]][[분류:물리학]]