[[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:대수학]]
[include(틀:수와 연산)]
[include(틀:대수학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[二]][[重]][[根]][[號]] / double radical}}}

'''이중근호'''는 [[근호]] 안에 근호가 하나 더 있는 것을 말한다. 이런 상태가 반복되어 근호가 세 개 이상이 되면 다중근호([[多]][[重]][[根]][[號]])라고 한다.

== 표기 ==
근호 안에 또 다른 근호를 표기할 때는, 관례적으로 모든 근호를 [math(\sqrt{1+3\sqrt{5+\sqrt 7}})]처럼 보기 좋게 우측으로 몰아서 표기한다. 꼭 이렇게 해야 수학적으로 옳은 것은 아니며, [math(\sqrt{3\sqrt{5+{\sqrt 7}}+1})]와 같이 뒤죽박죽 표기해도 문제는 없다.
== 공식 ==
이중근호로 된 식을 바로 계산하기는 쉽지 않으므로 단일근호로 바꿀 필요가 있다. 아래의 공식으로 이중근호를 풀어낼 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}&=\bigl|\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr|\end{aligned} )] }}}
증명은 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2} \\ &=\sqrt{\bigl(\sqrt{a}+\sqrt{b} \bigr)^2}  \\ &=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}&=\sqrt{\sqrt{a}^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2} \\ &=\sqrt{\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr)^2}  \\ &=\bigl|\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr|\end{aligned} )] }}}
위 증명에서는 다음의 [[곱셈 공식]]을 사용했다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2 \end{aligned} )] }}}
또한 다음을 주의해야 한다. [[1학년의 꿈]] 참고.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sqrt{\sqrt{a\pm b}}\neq\sqrt{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}} \neq\sqrt{\sqrt{a}}\pm\sqrt{\sqrt{b}})] }}}

간혹 네제곱근을 사용해야 단일근호로 바꿀 수 있는 경우도 있다. 즉, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\sqrt{a+b\sqrt r} = \sqrt[4]{r} \sqrt{b+\dfrac{a}{r} \sqrt r})]}}}
로 변형 후 위 공식을 적용해야 하는 경우도 있다는 뜻이다.
=== 예시 ===
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{5+2\sqrt{6}}&=\sqrt{(2+3)+2\sqrt{2 \cdot 3}}\\&=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\\\\sqrt{7-2\sqrt{10}}&=\sqrt{(2+5)-2\sqrt{2 \cdot 5}}\\&=\bigl|\sqrt{2}-\sqrt{5}\bigr|=\sqrt{5}-\sqrt{2} \\\\ \sqrt{4+3\sqrt 2}&=\sqrt[4]{2} \sqrt{3+2\sqrt 2}\\&=\sqrt[4]{2} \sqrt{(2+1)+2\sqrt{2 \cdot 1}}\\&=\sqrt[4]{2}(\sqrt{2} +1) \\\\ \sqrt{5+3\sqrt 5}&=\sqrt[4]{5} \sqrt{3+\sqrt 5}\\&=\sqrt[4]{5} \sqrt{\dfrac{6+2\sqrt{5}}{2}} \\&=\sqrt[4]{5} \sqrt{\dfrac{(5+1)+2\sqrt{5 \cdot 1}}{2}} \\&=\dfrac{\sqrt[4]{5}(\sqrt{5} +1)}{\sqrt 2}\end{aligned})] }}}
== 다중근호 ==
이중근호뿐만 아니라 삼중근호, 사중근호 등도 얼마든지 식으로 나타낼 수 있다. 삼중근호를 단일근호로 바꾸려면, 먼저 삼중근호 안에 있는 이중근호를 위의 공식을 이용하여 단일근호로 바꾼다. 이렇게 하여 얻어진 이중근호 식에, 다시 공식을 적용하여 단일근호로 바꾸면 된다. 몇 개의 근호가 중첩되어 있건 이런 식으로 하면 된다.

다중근호가 들어간 대표적인 식으로 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]가 구한 정십칠각형의 [[삼각함수|코사인]] 값이 있다. 코사인 값이 삼중근호이지만[* [math(n)]이 [[페르마 수]]라 할때 [math(\cos{(2\pi/n)})], [math(\cos{(\pi/n)})]값이 [math(n-1)]중근호가 들어간다. 정삼각형의 코사인 값은 유리수지만 사인 값이 단일근호이며 정오각형의 코사인 값이 단일근호이지만 사인 값은 이중근호가 들어간다.] 사인 값이 사중근호이다. 마찬가지로 정257각형은 사인 값이 팔중근호, 정65537각형은 사인 값이 십육중근호, 정4294967297각형[* 4294967297의 약수인 정641각형, 정6700417각형도 32중근호가 사용된다.]은 삼십이중근호가 들어가게 된다. [[페르마 수]]는 2차방정식 [math(2^{n})]번으로 변환 가능해서 그러며 1의 [math(n)]제곱근과도 공식이 겹친다. 정17각형의 사인, 코사인 값을 유도하는 공식은 다음과 같다.[[https://wiki.mathnt.net/index.php?title=%EA%B0%88%EB%A3%A8%EC%95%84_%EC%9D%B4%EB%A1%A0_%EC%9E%85%EB%AC%B8_5%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B7%BC%EC%9D%98_%EA%B3%B5%EC%8B%9D%EC%9D%80_%EC%99%9C_%EC%97%86%EC%9D%84%EA%B9%8C|#]][* 제목은 5차방정식이라 되어있지만 중간부분에 정십칠각형 코사인 값을 유도하는 방법이 나온다. 마찬가지로 257, 65537각형 등도 유도 가능해 보인다.]
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\begin{aligned}16 \cos{ \biggl(\dfrac{2}{17} \pi \biggr)}=&- 1 + \sqrt {17} + \sqrt {34 - 2 \sqrt {17}} + 2 \sqrt {17 + 3 \sqrt {17} - \sqrt {34 - 2 \sqrt {17}} - 2 \sqrt {34 + 2 \sqrt {17}} }\end{aligned})]||
[[정오각형]], [[정십이면체]], [[정이십면체]], [[정백이십포체]], [[정육백포체]] 그리고 [[아르키메데스 다면체]]의 면적과 부피를 구할 때도 다중근호가 많이 사용된다.

2제곱근과 3제곱근이 섞여 있는 다중근호는 식이 훨씬 더 복잡해진다. 3차방정식과 4차방정식의 [[근의 공식]]이 이러하다. [[정칠각형]], [[정구각형]], [[다듬은 육팔면체]], [[다듬은 십이이십면체]]도 2제곱근과 3제곱근이 반복돼서 나온다.[* 아르키메데스 다면체 중 다듬은 육팔면체와 다듬은 십이이십면체만 해당. 이 둘이 [math(n)]차원 아르키메데스 다면체 중에서는 다른 차원에서는 찾아볼 수 없는 3차원의 고유한 형태이기도 하다.]
== 국가별 교육과정 ==
=== [[대한민국]] ===
[[2007 개정 교육과정]]에서 고1 과정에 이중근호를 포함하는 등, 계속 이중근호를 가르치고 있었으나 [[2009 개정 교육과정]]부터 전면 삭제되었다.

=== [[일본]] ===
[[수학Ⅰ(일본)|수학Ⅰ]]의 1단원에 속하는 〈식의 계산〉 부분에서 다룬다. 따라서 [[일본]] 대학으로 유학하려면 입시를 위해 이중근호를 공부해야 한다.

== 관련 문서 ==
 * [[수학 관련 정보]]
 * [[제곱근]]
 * [[근호]]