[include(틀:수와 연산)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[絶]][[對]][[값]] / absolute value}}} '절대치'라고도 불리는 [[함수]]계의 적들 중 하나[* [[최대 정수 함수|가우스 기호]]가 [[2011학년도 대학수학능력시험]] 이후 이른바 [[사걱세]]의 공격으로 수능에 출제가 안 되면서, 일반 학생들을 괴롭히는 최고난도의 [[킬러 문제]]는 전부 절댓값 기호가 붙는 문제가 출제되고 있다. 가우스 기호가 등장할 때는 절댓값 킬러 자리에는 무조건 가우스 기호가 붙어 있었다.]. 중1 때 정수와 유리수 파트에서 배우며, 중3ㆍ고1 제곱근 때도 배우고, 고1 방정식 단원에 '절댓값 기호를 포함한 방정식'에도 나와 수험생들을 힘들게 한다. 함수의 그래프 그릴 때도 마찬가지이다. 절대값으로 부르던 시절이 있었으나 [[사이시옷]] 규정에 맞게[* 실제로 학생들이 헷갈리는 경우가 많은데, '絕對'(한자어) + '값'(고유어)의 합성어이므로 사이시옷 규정에 부합한다.] 절댓값으로 부르게 되었다. 위상수학적으로 말하면 유클리드 거리공간에서의 [[노름(수학)|노름]]. 기호인 [math(|\cdot|)]는 [[카를 바이어슈트라스]]가 도입했다. == 실수의 절댓값 == 원 개념은 '[[음수(수학)|음수]]와 [[양수(수학)|양수]]에 관계없이 수직선에서 원점으로부터의 거리로 나타내보자!'이다. 실제의 거리는 '''절대 음수로 나타낼 수 없으므로.'''[* 대표적인 예가 삼각함수의 사분면에 따른 삼각함수의 음수 양수 여부다. 비록 x 좌표값과 y 좌표값은 음수가 될 수 있지만, 그 빗변(다시 말해 분모)은 절대 음수가 될 수 없으므로 사분면에 따른 사인과 코사인의 음,양수가 다양하게 된다.(탄젠트는 x, y 좌표값에만 영향을 받는다.)][* 실생활에서의 예를 들자면 이렇다. 대전역에서 옥천역까지의 거리는 부산 방향으로 16.2km, 신탄진역까지의 거리는 서울 방향으로 14.4km로 서로 반대 방향으로 떨어져 있다. 하지만 그렇다고 해서 이걸 -16.2km나 -14.4km와 같이 둘 중 하나를 음수로 적을 수는 없는 것과 같은 이치이다.][br] [math(|\pm x| = x \, \mathrm{sgn}(x) = |x|\geq 0 )] 실수 [math(x)]에 대해 * [math(x > 0)]이면 [math(x)]는 +가 되므로, [math(|x| = x)] * 이 성질 때문에 절댓값은 [[합성함수#멱등함수|멱등함수(idempotent function)]]이다. * [math(x < 0)]이면 [math(x)]는 -가 되므로, 부호를 바꾸어 +로 만들어야 한다. 따라서 [math(|x| = -x)] * [math(x＝0)]은 [math(x)]가 원점 자신인 자명한 경우로, [math(|x| = 0)][* 그냥 부등호를 [math(0≤x)]와 [math(0>x)]로 나누는게 계산하기 편하다.] * 원점을 제외한 모든 점에서 미분가능하다. 정의역 중 미분이 불가능한 점이 있으므로 [[매끄러움|매끄러운]] 함수는 아니다. * 원점을 제외하면 [[도함수]]는 [[부호 함수]](Signum function, [math(\mathrm{sgn})])다. 원점에서는 미분계수의 좌우극한이 달라서 정의가 안 된다. * 분포(Distribution) 이론에서, 이계도함수는 [[디랙 델타 함수]]의 두 배이다.[* [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x| = \mathrm{sgn}(x), \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}|x| = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sgn}(x) = 2\delta(x))]] 삼계도함수 이후부터는 디랙 델타 함수에 따옴표가 하나씩 추가된다. * [[적분|역도함수]]는 부호함수가 곱해진 [[이차함수]]이다.[* [math(\displaystyle \int |x| \ \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \mathrm{sgn} \left( x \right) + C)]] 이후 적분도 일반적인 다항함수 적분에 부호함수를 붙인 꼴이 된다. [* n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 [math(\dfrac{x^{n}}{(n+1)!}|x|)] 또는 [math(\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{sgn}(x))] 이 된다.] * [[해석함수]]는 아니다. [[매클로린 급수]]가 원점을 중심으로 부호가 반대이기 때문이다. * 단, [[푸리에 해석]]을 이용하면 아래처럼 전개 가능하다. [math(\displaystyle |x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos [(2n-1)x]}{(2n-1)^2}\quad(-\pi < x < \pi))] 실수의 경우 부호만 알면 쉽게 제거할 수 있다. 따라서 절댓값은 항상 0보다 크거나 같고, 0의 절댓값은 0이다. 중등 수학 1학년 1학기에서 처음 배우는 내용이며 처음 배울 때 왜 -x가 양수가 되는 경우가 존재하는지 이해하지 못하는 학생이 많다. -는 수의 부호를 바꿔주는 의미가 있다는 사실을 숙지하고 있으면, 음수에 -를 붙이면 양수가 된다는 사실을 쉽게 받아들일 수 있다. 마이너스 표시만 있다고 무조건 음수가 되는 게 아니다! [[https://youtu.be/n1rQI-kc9QU|절댓값에 대해 쉽게 설명한 영상.]] 주로 나오는 유형은 * 함수 전체에 절댓값이 있는경우: 예) [math(y=|x^2+5x+6|)] 그래프를 그려서 y<0인 부분은 y=0(x축)에 대칭이동 시킨다. * 변수가 절댓값인 경우: 예) [math(y=|x|^2+5|x|+6)]에 x를 넣고 x≥0인 부분을 x=0(y축)에 대칭이동 시킨다. * 각각에 절댓값이 있는 경우 : 예) [math(|x|+2|y|=4)] (마름모) 1사분면 (x,y축의 양의 방향 포함)의 모양을 (x, y)=(0, 0), 즉 원점에 대칭이동 시킨다. * 절댓값 안이 다른경우: 예) [math(y=|x-5|+|x+5|)] 절댓값 안이 0이 나오는 값(여기선 x=±5)를 경계로 나누어서 푼다. [math(x<-5)] 면 [math(-2x, -5