[include(틀:수와 연산)]
[목차]

== 정의 및 표기법 ==
 * [[실수(수학)|실수]] 및 [[복소수]] [math(a)]에 대해, '''[math(a)]의 제곱근'''('''square root of a''')은 제곱해서 [math(a)]가 되는 모든 수를 의미한다.
 * 실수 [math(a \ge 0)]에 대해 '''제곱근 [math(a)]''' 혹은 '''루트 [math(a)]''' ('''root a''')는 [math(a)]의 제곱근 중 유일한 음이 아닌 실수인 것을 의미하고, [math(\sqrt a)]로 표기한다.
간혹 [math(a<0)]에 대해 [math(\sqrt a := i\sqrt{-a})]로 표기하기도 하나, 교과과정 외에서는 표준적인 표기가 아닐 수 있다.

일반적으로 정수 [math(k\,(k\ge2))]에 대해,
 * 수 [math(a)]에 대해 '''[math(a)]의 [math(k)]제곱근'''('''[math(k)]-th root of [math(a)]''')[* 드물지만 라틴계열 접두사인 cubic/quartic/quintic root로도 쓸 수 있다.]은 [math(x^k=a)]의 모든 해를 의미한다.
 * 실수 [math(a \ge 0)] 혹은 [math(k)]가 홀수일 때 [math(a<0)]에 대해, '''[math(k)]제곱근 [math(a)]'''[* '[math(k)]루트 [math(a)]'라 부를 수도 있겠으나 [math(k\sqrt a)]와 헷갈릴 수 있어 추천하지 않는다. 영어로 [math(\sqrt[k]{})]를 '[math(k)]-th root'라고 읽는다는 점을 감안하여 '[math(k)]th 루트 [math(a)]'로 읽는 것이 대안이 될 수는 있을 것이다.]는 유일한 실수 [math(k)]제곱근으로, [math(\sqrt[k]a)] 또는 [math(a^{1/k})]로 표기한다.

예시를 들자면 '[math(4)]의 제곱근'은 [math(2)]와 [math(-2)]이고, '제곱근 [math(4 = \sqrt4)]'는 이 중 [math(2)]만을 의미한다.
'세제곱근 [math(8 = \sqrt[3]8)]'은 [math(2)]이고, '[math(8)]의 세제곱근'은 실수 범위에선 [math(2)] 하나뿐이지만 [[대수학의 기본정리|복소수 범위에선 2개가 더 있다.]][* [math(x^3=8)]의 해와 같다. 즉 [math(x^3=8 \Leftrightarrow x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4) = 0)]에서 [math(x=\begin{cases}2 \\ -1\pm\sqrt{3}i\end{cases})]이다.]

텍스트 환경에서 제곱근을 기호로 표기할 때는 보통 √ (U+221A)을 사용한다.

=== 기호 ===
||<tablealign=center> [[파일:First_square_root.jpg|width=350]] ||
|| '''최초로 근호가 쓰인 루돌프의 저서'''[* 《Behend vnnd Hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genennt werden》] ||
근호 기호 √는 독일의 수학자 크리스토프 루돌프(Christoff Rudolff, 1499~1543)가 1525년에 발간한 대수학 교과서에서 처음 사용되었다. 처음에는 위쪽 줄이 없이 √만 썼는데, 근을 뜻하는 라틴어 radix의 머리글자 r에서 따왔다는 설이 있다. 후에 데카르트가 위쪽 줄을 합치면서 지금의 근호가 탄생한다.

종종 근호 기호(√; U+221A)를 체크 표시(✓,✔; U+2713, U+2714) 대용으로 쓰기도 하는데, 그냥 [[닮은꼴 문자|비슷한 글자]]일 뿐이다. 거기다 서체마다 윗줄 부분이 있기도 해서 이런 경우 보기가 [[영 좋지 않다]].[* 사실 [[완성형]]에 근호는 있지만 체크 표시가 없어서인 것이 크게 작용한다.]

만약 plain text에서 근호 기호를 사용해야 한다면 √(x+2)와 같이 근호 기호 밑에 들어가는 것들을 모두 괄호로 씌워 주어야 한다. 괄호를 씌우지 않고 √x+2로 쓰면 [math(\sqrt x+2)]의 뜻이 되기 때문이다. 매스매티카 기반 프로그램 및 WolframAlpha에서도 이렇게 해석한다. [math(\sin(x+2)\ne\sin x+2)], [math(\log(x+2)\ne\log x+2)]와 같은 이치.

== 교과 과정에서 ==
상단 정의에 표현된 것처럼 '제곱근 2'와 '2의 제곱근' 차이를 유의할 필요가 있다. 

대한민국에서는 중3때 처음으로 배우게 되며, [[무리수]]를 도입시키는 동기로 등장한다.[* 사실 [[원주율]]이 제곱근보다 더 먼저 등장하긴 하지만, 수학교과 내에서는 초월수니 뭐니 이 수의 정체를 알 방법이 없다([[https://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem|린데만-바이어슈트라스 정리]]를 이용해야 원주율이 초월수임을 증명할 수 있다.). 반면에 [math(\sqrt2)]가 무리수임을 증명하는 것은 교과서에 바로 등장한다. 고등학교 1학년 때 배우는 수학의 귀류법에서 나온다.] 이후 [[피타고라스의 정리]][* 교육과정이 바뀌어 중2과정으로 내려갔고, 자연수의 개념에서만 다루게 된다.]나 이차[[방정식]], 고등학교 과정, 그리고 고등학교 이상 과정에서도 많이 쓴다. 이 때 사용하는 [[√]] 모양의 기호는 근호(根號)라고 한다. 당연히 [math(\sqrt4=2)]와 같이 근호가 있다고 해서 다 무리수는 아니다.

더 나아가서 지수의 실수 범위 확장을 배우면 [math(\sqrt[n]a=a^{\frac1n})]으로 생각할 수 있다.

음수의 제곱근은 실수 위에서 존재하지 않으므로 이 때 다루지 않지만, 고등학교 과정에서 -1의 제곱근으로 [[허수]]를 도입하며 [[복소수]]로 범위를 넓히게 된다. [[대수학의 기본정리|복소수 범위 내에선 0을 제외한 모든 수가 [math(k)]개의 [math(k)]제곱근을 갖고 있다는 것이 알려져 있다]].

제곱근을 취하는 연산은 [[거듭제곱]]의 역연산에 해당한다. 함수 관점에서 보면 양수 범위에서 제곱근 함수 [math(y=\sqrt x)]는 이차함수의 [[역함수]]이다.[* 다만 이차함수를 그대로 기반으로 두고 역함수로 만들면 [[음함수]]가 되기 때문에 그래프에서 [math(y=-\sqrt x)] 부분은 보통 제외한다.] 제곱근이 들어간 함수와 성질도 고등학교 과정에서 배우게 된다.

[[미적분]]을 할때 가장 보기 싫은 기호 중 하나. 이 녀석이 들어가면 미적분이 배는 어려워진다. 그나마 [[미분]]은 근호를 분수지수로 나타낸 후 다항함수 미분하듯 미분하면 돼서 쉬운데 [[적분]]은 진짜 이거 하나 때문에 [[치환적분|삼각치환]]등 여러 계산을 해야 하고 을 다해야 한다.[* 실제로 특정 꼴의 제곱근 함수는 [[타원적분]]이라는 [[특수함수]]로 역도함수를 표현해아 한다.]

=== 제곱근의 성질 ===
기본적으로 근호는 지수를 유리수로 확장한 것[math({\left(\sqrt[n]a = a^{\frac1n}\right)})]이나 다름없기 때문에 근호 내부의 수 [math(a)], [math(b)]가 모두 양수[* 그 [[레온하르트 오일러]]가 이 부분을 헷갈려서 음이든 양이든 관계없이 쓰다가 그럼 [math(\sqrt{-4} \times \sqrt{-9} = \sqrt{36}=6)]이냐?라고 까였다는건 꽤나 [[https://www.jstor.org/stable/27642191?seq=1#page_scan_tab_contents|유명한 이야기...]]([math(\sqrt{-4}\times\sqrt{-9}=2i\times3i)]이며 [math((\sqrt{-1})^2=i^2=-1)]이므로 올바른 답은 [math(-6)])]라면 지수의 성질이 그대로 적용된다.

 * 제곱근 내의 합은 제곱근끼리의 합으로 고쳐 쓸 수 없다.[* 단, 이것을 만족시키는 [math(a)], [math(b)]의 값이 존재하기는 하지만, 적어도 둘 중 하나가 0이어야 하거나(덧셈), [math(b=0)] 아니면 [math(a=b)]여야 한다(뺄셈)는 조건이 붙는 등 근호 자체가 무의미해지는 간단한 수식이 된다.[br] 1. [math(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b)]에서 양변을 제곱하여 근호를 벗겨내면 [math(\cancel{a+b}=\cancel{a+b}+2\sqrt{ab} \Leftrightarrow 2\sqrt{ab}=0 \Leftrightarrow ab=0)]이므로 [math(a=0)] 혹은 [math(b=0)].[br] 2. [math(\sqrt{a-b}=\sqrt a-\sqrt b)]도 마찬가지로 양변을 제곱하면 [math(\cancel a-b = \cancel a+b-2\sqrt{ab} \Leftrightarrow \cancel2\sqrt{ab}=\cancel2b \Leftrightarrow ab=b^2 \Leftrightarrow ab-b^2 = b(a-b) = 0)]에서 [math(b=0)] 또는 [math(a=b)]이다.] 일반적으로 [math((a\pm b)^2 \ne a^2\pm b^2)]인 것과 동일하게 생각하면 된다.
 [math(\sqrt{a \pm b} \ne \sqrt a \pm \sqrt b)]
 * 제곱근끼리의 곱은 근호 안으로 몰아서 곱한다. 단, [math(a^2b^3c^2d^6 = (ac)^2(bd^2)^3)]처럼 지수가 같은 것끼리 묶어서 표현했던 것처럼 근호가 제곱근으로 같지 않고 임의의 [math(m)], [math(n)]제곱근([[서로소|[math(m\perp n)]]])이면 식의 형태는 조금 다르다.
 [math(\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab} \\ \sqrt[m]a\sqrt[n]b = \sqrt[mn]{a^nb^m})]
 * 근호 밖에 있는 수는 근호 밖의 수끼리 곱한다
 [math(m\sqrt a\times n\sqrt b=mn\sqrt{ab})] 
 * 나눗셈은 역수의 곱셈으로 고쳐서 계산한다.
 [math(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab} \\ m\sqrt a \div {\left(n\sqrt b\right)}=m\sqrt a\times \dfrac1{n\sqrt b}=\dfrac mn\sqrt{\dfrac ab})]

단, [math(m)]이 짝수인 [math(m)]제곱근에서 근호 내부의 수 [math(a)]가 [math(a<0)]일 때는 [* 정확히는 [math(\sqrt{-1}=i)]로 빼내는 관습을 쓴다면] 부호가 바뀌는 경우가 있는 것에 주의할 것.
 * [math(\sqrt{-a}\sqrt{-b}=i\sqrt a\times i\sqrt b = i^2\sqrt{ab} = -\sqrt{ab})]
 * [math(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt{-b}}= \dfrac{\sqrt a}{i\sqrt b} = -\sqrt{\dfrac ab}i=  -\sqrt{-\dfrac ab})]

=== 제곱근의 [[미분]] ===
 * [[지수(수학)|지수]] 꼴로 바꾼 다음 지수에서 1을 빼는 동시에 원래 지수의 값을 곱한다. 세제곱근, 네제곱근 등도 마찬가지.
 [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\sqrt x = \dfrac{\rm d}{{\rm d}x} x^{\frac12} = \dfrac12x^{-\frac12} = \dfrac1{2\sqrt x})]

=== 제곱근의 [[적분]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=치환적분)]

== 실수 제곱근의 수치계산법 ==
전자계산기가 개발/보편화되지 않았던 옛날에는 고등학교때 제곱근을 소수로 바꾸는 법([[개평법]])을 배웠다. 과거엔 제곱근을 구하기 위해선 아래의 방법들을 이용해 직접 계산하거나, [[상용로그]]표처럼 [[제곱근표]]에서 미리 계산해놓은 값을 읽거나, [[계산자]]를 이용했다.

지금은 계산기가 흔하니 웬만한 이과생들도 배우지 않지만, 아직도 이걸 활용하는 곳은 있다. 바로 [[마이크로프로세서]]를 설계하는 분야. 마이크로프로세서에 들어갈 제곱근기를 설계하려면 다양한 제곱근 알고리즘들과 각각의 장단점에 대해 알아야 한다. 일본 고등학교 수학에서는 제곱근의 개평법을 배우며, 소숫점 아래 8자리까지 외운다.

여기에 제시된 방법 말고도 펠 방정식, [[테일러 급수|테일러 전개]][* [[미분#s-2.1|미분으로 어림하기]] 참조.], 골드슈미츠 알고리즘, [[연분수]] 전개 등 여러 방법들이 있다.

=== 이진 탐색 알고리즘 ===
우선 [[시행착오법]]을 예로 들면 [math(\sqrt{16})]나 [math(\sqrt{144})]같이 간단한 식은 어떤 수의 제곱을 하여 점점 가까워지는 수를 찾으면 된다. 예를 들어서 [math(\sqrt{16})]의 값을 구하려면 제곱이 되어서 [math(16)]이 되는 수를 찾아야 한다. [math(2^2=4)], [math(3^2=9)], [math(4^2=16)]으로서, 따라서 [math(\sqrt{16})]의 값은 [math(4)]이다. 이렇게 계속 수를 크게 하여 제곱해가면서 제곱근을 구하는 방법이 있다. 이러한 접근방법은 역방향 즉 계속해서 수를 작게 하여 제곱해가면서 제곱근을 구하는 방법을 동시에 사용함으로써 양쪽 방향에서 범위를 좁혀가는 [[이진 탐색 알고리즘]](binary search algorithm)으로 정교하게 구현될 수 있다.
[math(\sqrt7)] 는 다음과 같이 조사할수있다.
[math(\begin{array}{ccccc}\sqrt4(=2) & < & \sqrt7 & < & \sqrt9(=3) \\
2^2 < \begin{matrix}2.5^2 \\(=6.25)\end{matrix} & < & \sqrt7^2 & < & 3^2(=9) \\
\begin{matrix}2.5^2\\(=6.25)\end{matrix} & < & \sqrt7^2 & < & \begin{matrix}2.75^2\\(=7.5625)\end{matrix} < 3^2(=9) \\
\begin{matrix}2.5^2\\(=6.25)\end{matrix} <\begin{matrix}2.625^2\\(=6.890625)\end{matrix} & < & \sqrt7^2 & < & \begin{matrix}2.75^2\\(=7.5625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.625^2\\(=6.890625)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.6875^2\\(=7.22265625)\end{matrix} < \begin{matrix}2.75^2\\(=7.5625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.625^2\\(=6.890625)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.65625^2\\(=7.0556640625)\end{matrix} < \begin{matrix}2.6875^2\\(=7.22265625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.625^2\\(=6.890625)\end{matrix} < \begin{matrix}2.640625^2\\(=6.972900390625)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.65625^2\\(=7.0556640625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.640625^2\\(=6.972900390625)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.6484375^2\\(=7.01422119140625)\end{matrix} < \begin{matrix}2.65625^2\\(=7.0556640625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.640625^2\\(=6.972900390625)\end{matrix} < \begin{matrix}2.64453125^2\\(=6.993545532226563)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.6484375^2\\(=7.01422119140625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.64453125^2\\(=6.993545532226563)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.646484375^2\\(=7.003879547119141)\end{matrix} < \begin{matrix}2.6484375^2\\(=7.01422119140625)\end{matrix} \end{array})]
[math(\therefore \sqrt7 = 2.645\cdots)]
문제는 [math( 2^3 < 10 )]이므로 유효숫자 1자리를 더 얻기 위해 평균적으로 3번 이상 반복해야 한다는 점이다.

=== [[세로셈법#개방법|개방법(digit-by-digit calculation)]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=세로셈법, 앵커=개방법)]

=== 바빌로니아법 ===
[[바빌로니아법]](Babylonian method) 또는 헤론법(Heron's method)이라고도 불리며 [* 이름이 붙여진 유래는 이 방법이 등장한 최고(最古)의 문건이 [[헤론]]의 저작이고, 일부에선 고대 바빌로니아인도 이 방법을 사용한 것으로 추정하기 때문이다. 실제로 바빌로니아인들이 [math(\sqrt2)]의 근사값을 60진법으로 3자리까지 (즉 0.0000046296의 정확도로) 구한 석판이 현재까지 남아 있다.] [[뉴턴-랩슨 방법]]의 제곱근버전이라고 할 수 있다.

뉴턴-랩슨법은 기본적으로 함수를 접선으로 근사해서 근을 찾아나가는 방식인데 [math(\sqrt c)]를 찾는다고 하면 이는 방정식 [math(f(x) = x^2-c=0)]의 [math(0)]보다 큰 근을 찾는 것과 같다. 이 함수 그래프의 [math(x=a)]에서의 접선의 방정식은 [math(f'(a) \times (x-a) + f(a))]이고 이 방정식은 [math(x=a-\dfrac{f(a)}{f'(a)})]일 때 [math(0)]이 된다 이를 정리하면 [math(x = \dfrac{a + {\dfrac ca}}2)]가 되며 이 [math(x)]를 새 [math(a)]로 삼아 반복한다. [[뉴턴-랩슨 방법]] 문서에서 [math(\sqrt2)]의 계산법을 보여주고 있다.

[math(a)]를 엄청 생뚱맞게 잡아도([math(1)]이라던가) [math(c>0)]이고 [math(a>0)]이기만 하면 바빌로니아 법을 쓰면 [math(a)]가 [math(\sqrt c)]로 수렴한다. 참고로 [math(a<0)]를 쓰면 [math(-\sqrt c)]로 수렴한다.

문제는 산술기하 부등식을 잘 조작해보면 알겠지만, 운 좋게 [math(a=\sqrt c)]로 시작하지 않는 이상, 두 번째 [math(a)]부터는 항상 [math(\sqrt c<a)]라는 것이다. 즉 [math(\sqrt{313.29})]같이 잘 나누어 떨어지는 수라도 처음에 [math(a=17.7)]로 시작하지 않는다면 무한번 하지 않는 이상 [math(a)]는 [math(17.7)]보다 큰 값이 나온다. 이런 문제도 있고 무한소수가 툭하면 나오기 때문에 유효숫자를 정해두고 거기까지만 계산하여 다음 [math(a)]를 정하고 더 이상 변화가 없을 때 끊는 방식으로 주로 사용한다. 그래도 계산이 쉽고 수렴속도가 엄청나게 빨라서 꽤나 유용하다. 얼마나 빠르냐면 [math(a=600)]으로 [math(\sqrt{125348})]를 유효숫자 소수점 아래 3자리까지 구하는데 5번 반복하면 된다. 계산을 반복할 때마다 유효숫자가 2배씩 늘어난다.[* 대충 반복 횟수에 대해 ‘이중 기하급수적’으로 정밀도가 증가하는 셈이다. 반복 횟수가 늘어날수록 분모와 분자의 자릿수가 기하급수적으로 커짐에 따라 통분에 필요한 계산량이 기하급수적으로 커지는 점을 감안해도 총 계산량이 정밀도의 로그값의 제곱에 비례한다. 일정 이상 분자와 분모의 자릿수가 커지면 Karatsuba 등의 곱셈 알고리즘을 쓸 수도 있어서 [[시간복잡도]]는 낮아진다.]

=== [[상용로그]] 이용 ===
[math(\log \sqrt[n]{a} = \dfrac{\log a}n)]라는 성질을 이용해서 거듭제곱근을 구하는 방법이다. 로그값을 알아야 쓸 수 있기 때문에 상용로그표를 구비해야 한다는 단점이 있다.

== 복소수의 제곱근 ==
허수도 제곱근을 정의할 수 있다. 허수 단위 [math(i)]의 제곱근은 [math(\pm{\left(\cos\dfrac\pi4 + i \sin\dfrac\pi4\right)} = \pm{\left(\dfrac1{\sqrt2} + \dfrac1{\sqrt2}i\right)})] 이다. 이는 [[오일러의 공식]]에서 유도할 수 있다. 그러나 위 정의에도 나와 있듯이 일반적으로 루트 기호는 실수의 제곱근에만 정의되어 있으므로 [math(\sqrt i)]와 같은 표기는 사용하기 힘들다. 제곱근은 두 개인 반면 근호가 붙은 수는 하나의 수로 정의해야 하는데, [math(a)]를 복소수 단위까지 확장하면, 그 제곱근 중 하나는 실수 부분이 양의 부호지만 허수 부분이 음의 부호고, 또 다른 하나는 실수 부분이 음의 부호지만 허수 부분이 음의 부호라서 판별하기 모호한 경우도 생긴다.[* 어떤 복소수가 오느냐에 따라 제곱근 중 한쪽은 실수 부분과 허수 부분이 동시에 양이고 다른 한쪽은 동시에 음이 될 수도 있다.] 따라서, 복소수의 제곱근을 편의상 루트 기호로 나타내고 싶다면 둘 중 어느 제곱근을 근호로 표기할 것인지 미리 정의해 놓아야 한다.[* [[WolframAlpha]]는 실수 부분에 음의 부호가 붙지 않은 것을 채택하고 있으며, 만일 실수 부분이 [math(0)]일 경우 허수 부분에 음의 부호가 붙지 않은 값을 근호 값으로 채택하고 있다.]

=== 극형식(polar form) ===
일반적으로 구하기 까다로운 [[복소수]]의 제곱근은 [[극형식]]을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 풀이는 쉽지만 문제는 극형식에 들어가는 각도 [math(\phi)]를 구하기 위해 [[역삼각함수]]를 써야 한다는 점.~~극혐식~~ 각도만 구할 수 있다면 [[오일러의 공식]]을 응용해서 근을 전부 구할 수 있다. 먼저 다음과 같은 관계식이 주어졌다고 하자. [math(w = z^n)](단, [math(z\ne0)], [math(n)]은 자연수) 이때 위 식에서 [math(z)]를 [math(w)]의 [math(n)]제곱근이라 하고, 이것을 [math(z = \sqrt[n]w)]와 같이 나타낸다. 만약 [[복소수]] [math(z)]와 [math(w)]의 극형식이 각각 [math(\begin{cases}z = \rho(\cos\phi + i\sin\phi) & (\rho > 0) \\ w = r(\cos\theta + i\sin\theta) &(r > 0)\end{cases})]이면 극형식의 성질에 따라[* 극형식에서 곱셈을 하면 절댓값([math(\rho)], [math(r)])은 그대로 곱해지지만 각도([math(\phi)], [math(\theta)])는 덧셈이 된다. [[드 무아브르 공식]] 참조.] [math(z^n = \rho^n(\cos n\phi + i\sin n\phi) = r(\cos\theta + i\sin\theta))]이다. 따라서 정수 [math(k)]에 대해 [math(\begin{cases}\rho^n = r \\ n\phi = \theta + 2k\pi\end{cases})]이므로[* 극형식에 쓰이는 삼각함수의 주기가 [math(\rm2\pi\,rad)]이므로 각도가 [math(2k\pi)]만큼 늘어나도 극형식에선 같은 값을 얻는다.] [math(\begin{cases}\rho = \sqrt[n]r \\ \phi = \dfrac{\theta + 2k\pi}n\end{cases})]이다. 따라서 [math(z\ne0)]일 때 [math(w = z^n)]은 [math(n)]차 방정식이므로 [math(n)]개의 근 [math(z)]를 갖는다. 이렇게 구한 [math((\rho,\,\phi))]를 극형식으로 나타낸 [math(z)]에 대입하면 [math(z_k = w^\frac1n = \sqrt[n]r {\left\{\cos{\left(\dfrac{\theta + 2k\pi}n\right)} + i\sin{\left(\dfrac{\theta + 2k\pi}n\right)}\right\}})]을 얻는다. [math(n)]개의 근을 얻기 위해서는 [math(k =0,\,1,\,\cdots,\,n-1)]을 대입하면 된다. 다른 정수 [math(k)]는 어차피 이 [math(n)]개 중 어느 하나와 [math(2l\pi)] ([math(l\ne0)], [math(l)]은 정수) 만큼 차이 나는 각도를 주므로 극형식에선 같은 값이 나온다.

==== 예시 ====
 * [math(8i)]의 세제곱근을 모두 구하시오.
극형식으로 표현하면 [math(i = \cos(\theta+2k\pi) + i\sin(\theta+2k\pi))]에서 [math(\theta=\dfrac\pi2)]이므로 [math(8i = 8{\left\{\cos{\left(\dfrac\pi2 + 2k\pi\right)} + i\sin{\left(\dfrac\pi2 + 2k\pi\right)}\right\}})]이다.

[math(\begin{aligned}{\left(8i\right)}^\frac13 &= {\left[8{\left\{\cos{\left(\dfrac\pi2+2k\pi\right)}+i\sin{\left(\dfrac\pi2+2k\pi\right)}\right\}}\right]}^\frac13 \\ &= 2{\left\{\cos{\left(\dfrac\pi6+\dfrac{2k\pi}3\right)}+i\sin{\left(\dfrac\pi6+\dfrac{2k\pi}3\right)}\right\}}\end{aligned})]

마지막 식에서 [math(k=3)]이면 한 주기가 반복되므로 세제곱근을 [math(z_k ~(k=0,\,1,\,2))]로 나타낼 때 각각 계산하면,
[math(\begin{cases} z_0 = 2{\left\{\cos{\left(\dfrac\pi6\right)} + i\sin{\left(\dfrac\pi6\right)}\right\}} = 2{\left(\dfrac{\sqrt3}2 + \dfrac i2\right)} = \sqrt3 + i \\
z_1 = 2{\left\{\cos{\left(\dfrac{5\pi}6\right)} + i\sin{\left(\dfrac{5\pi}6\right)}\right\}} = 2{\left(-\dfrac{\sqrt3}2 + \dfrac i2\right)} = -\sqrt3 + i \\
z_2 = 2{\left\{\cos{\left(\dfrac{3\pi}2\right)} + i\sin{\left(\dfrac{3\pi}2\right)}\right\}} = -2i\end{cases})]
가 나온다. 따라서 [math(8i)]의 세제곱근은 모두 3개로 [math(i\pm\sqrt3)], [math(-2i)]이다.

== [[무리함수]] ==
[include(틀:상세 내용, 문서명=무리함수)]

== [[이중근호]] ==
[include(틀:상세 내용, 문서명=이중근호)]

== [[1의 거듭제곱근|단위근]] ==
[include(틀:상세 내용, 문서명=1의 거듭제곱근)]

== [[제곱근행렬]] ==
[include(틀:상세 내용, 문서명=제곱근행렬)]
== 기타 ==
 * [[인천광역시 시내버스]] 공동배차 시절, 근호를 형상화한 듯한 도색(정확히는 바다를 형상화했다고 한다)을 활용하여 버스 동호인 사이에서 '''루트도색'''이라고 불린다. 신발 회사인 [[반스]] 역시 상표가 ANS에 근호 씌워 놓은 모양이라 [[https://www.reddit.com/r/memes/comments/9pox67/square_root_of_ans/|관련 드립]]이 있다.

 * 일반 전자식 [[계산기]]에서도 계산이 가능하다. 구할 때 [[개방법]]을 사용하는 듯하다.

 * [[박사가 사랑한 수식]]에서는 등장인물의 별명으로 나오는데, 모든 수를 다 품을 수 있는 상냥한 기호라고 소개된다.[[허수|~~음수는~~]]

 * 표제어의 제약에도 불구하고 나무위키에는 [[√2]], [[√3]], [[√5]] 등의 문서가 생성되어 있다.

 * 약자로 사용할 땐 '''sq'''uare '''r'''oo'''t'''를 축약한 sqrt로 쓴다. [math(\sqrt2)]를 sqrt(2)로, [math(\sqrt{a\times b+b\times c+c\times a} )] 는 sqrt(a×b+b×c+c×a)로 쓰는 식이다.

 * 한 미국 남자는 'Woman = Problem'을 [[https://youtube.com/shorts/75wJyqjSeQk?feature=share|증명했다]]: Time x Money = Problem
 >W = T x M, T=M (여자는 시간과 돈의 곱셈이며, 시간은 돈과 같음)
 >W = M x M, M 제곱
 >M= √P (문제의 근원은 돈이며, 루트를 벗기기 위해 양쪽을 제곱한다)
 >M제곱 = P
 >W=P (여성은 money와 time의 곱이며, money의 제곱이자, problem이다.)

[[분류:수학 용어]][[분류:특수 문자]]