[[분류:수열]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]
[include(틀:이산수학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[調]][[和]][[數]][[列]] / Harmonic sequence(progression)}}}

[math(\{1,\,1/3,\,1/5,\,1/7,\,\cdots\})]처럼 각 항의 [[역수#s-1]]가 [[등차수열]]을 이루는 [[수열]]을 '''조화수열'''이라고 한다. 다시 말해서, 수열 [math(\{1/a_n\})]이 등차수열이면, 수열 [math(\{a_n\})]은 조화수열이다.

[[현악기]]의 현의 길이가 조화수열인 [math(\{1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\,\cdots\})]의 형태일 때 화음이 가장 듣기 좋다고 하여 붙은 이름이다.

아래의 성질에서 볼 수 있듯이 수열 4종 세트([[등차수열]], [[등비수열]], 조화수열, [[계차수열]]) 중에서 [[해석학(수학)|해석학]]의 성격이 가장 강한 수열이다.
== [[일반항]] ==
[[등차수열]] [math(\{1/{a_n}\})]의 초항이 [math(a)], 공차가 [math(d)]이면 다음이 성립한다.

{{{#!wiki style="text-align: center;"
[math(\dfrac1{a_n}=a+(n-1)d)]}}}
이렇게 되는 이유는 [[수열의 귀납적 정의#s-2.1.1]] 참고. [math(\{1/{a_n}\})]이 등차수열이므로 [math(\{a_n\})]은 조화수열이며 일반항은 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center;"
[math(a_n=\dfrac1{a+(n-1)d})]}}}
만약 조화수열의 초항을 [math(a)]로 둔다면 역수를 취한 등차수열의 초항은 [math(1/a)]이므로 다음이 성립한다.

{{{#!wiki style="text-align: center;"
[math(\begin{aligned}\dfrac1{a_n}&=\dfrac1a+(n-1)d\\&=\dfrac{1+a(n-1)d}a \end{aligned})]}}}

따라서 일반항은 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center;"
[math(\begin{aligned}a_n&=\dfrac a{1+a(n-1)d} \end{aligned})]}}}
== 조화중항 ==
[math(a)], [math(b)], [math(c)]가 조화수열의 연속한 세 항일 때, [math(b)]를 [math(a)]와 [math(c)]의 '''조화중항''' 또는 '''조화평균'''이라고 하며, 세 항은 다음 관계를 만족시킨다.

{{{#!wiki style="text-align: center;"
[math(b=\dfrac{2ac}{a+c})]}}}
이를 증명하여 보자. [math(a)], [math(b)], [math(c)]는 조화수열의 연속한 세 항이므로, [math(1/a)], [math(1/b)], [math(1/c)]은 [[등차수열]]을 이룬다.

{{{#!wiki style="text-align: center;"
[math(\begin{aligned}\dfrac1b &=\cfrac{(1/a)+(1/c)}2\\&=\cfrac{{(a+c)}/{ac}}2\\&=\dfrac{a+c}{2ac}\end{aligned})]}}}

따라서 조화중항은 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center;"
[math(\begin{aligned}b&=\dfrac{2ac}{a+c}\end{aligned})]}}}
== [[함수]]로 해석하기 ==
조화수열의 일반항은 
{{{#!wiki style="text-align: center;"
[br][math(a_n=\dfrac a{1+a(n-1)d})]}}}
꼴이므로 조화수열은 [[자연수]]만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수로 해석할 수 있다. [math(ad \neq 0)]인 경우에 한하여 식을 적당히 조작하면

{{{#!wiki style="text-align: center;"
[math(\begin{aligned}a_n&=\dfrac a{1+a(n-1)d}\\  &=\cfrac{{a}/{ad}}{(n-1)+(1/{ad})}\\  &=\cfrac{1/d}{n-\{1-(1/{ad})\}}\end{aligned})]}}}
이므로 [math(n)]축을 횡축, [math(a_n)]축을 종축으로 하여 그린 그래프는 다음과 같은 [[점근선]]을 갖는다.

 * [math(n=1-\dfrac1{ad})]
 * [math(a_n=0)]: 횡축([math(n)]축)과 일치

또한 [math(d>0)]이면 우상단과 좌하단에, [math(d<0)]이면 좌상단과 우하단에 그래프가 그려진다.

[math(d=0)]인 경우 [[0으로 나누기|0으로 나눌 수 없으므로]] 분모와 분자를 [math(ad)]로 나누는 계산은 성립하지 않는다. 이 경우 처음 식에 [math(d=0)]을 대입하면 그대로 [math(a_n=a)]의 [[상수함수]]가 되므로 그래프가 [math(x)]축에 평행한 직선이 된다.
== [[조화수(수학)|조화수열의 합]] ==
[[등차수열]]이나 [[등비수열]]과 달리 조화수열의 합을 구하는 간단한 공식은 없고 보통 아래의 [[정적분]]을 이용한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle H_x=\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,\mathrm{d}t )]}}}
항의 개수가 적을 경우 [[부분분수분해]]를 해서 [[통분]]하는 것이 더 빠르다. 자세한 내용은 [[조화수(수학)|조화수]] 문서를 참고하라.
== [[극한]] ==
조화수열의 일반항은 등차수열의 일반항의 역수이므로 조화수열 
{{{#!wiki style="text-align: center;"
[br][math(a_n=\dfrac a{1+a(n-1)d})]}}}
의 극한은 [math(a)]의 부호와 관계없이 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center;"
[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\begin{cases}\begin{aligned}&0\; &(d\neq 0)\\&a\; &(d=0)\end{aligned}\end{cases})]}}}
== [[조화급수]] ==
[include(틀:상세 내용, 문서명=조화급수)]
=== [[제타 함수]], [[폴리로그함수]] ===
조화급수로 유도되는 [[특수함수]]들이다. 자세한 내용은 각 문서 참고.