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== 개요 ==
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정사각[[행렬#s-2]]([math(n\times n)] 행렬)의 [[주대각성분]]들을 다 더한 값으로, 행렬 [math(A)]의 주대각합은 [math(\mathrm{tr}(A))]로 표기한다. [[행렬식|행렬식(determinant)]]과 깊은 연관이 있다.
 [math(A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots &  a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix})]
이라고 하면, [math(\mathrm{tr}(A) = a_{1,1} + a_{2,2} + \cdots + a_{n,n})]이다.

줄여서 간단히 대각합이라고도 한다.
== 성질 ==
=== 기본적인 성질 ===
[math(A)]가 [math(m \times n)]행렬이고, [math(B)]는 [math(n\times m)]행렬일 때,
 [math( \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA))]
이때, [math(A)], [math(B)]는 정사각행렬이 '''아니어도 된다'''. 곱이 정사각행렬이기만 하면 된다.

이외에도 특수한 행렬에 대해서 다음이 성립한다.
 * 영행렬 [math(O)]에 대해서 [math(\mathrm{tr}(O) = 0)]이다.
 * [math(n)]차 단위행렬 [math(I_n)]에 대해서 [math(\mathrm{tr}(I_n) = n)]이다.

=== 파생되는 성질 ===
아래 성질들은 모두 행렬식 또한 만족하는데, 이는 행렬식의 기본 성질인 [math( \det(AB) = \det(A) \det(B) )][* [math(A)], [math(B)]는 정사각행렬]에서 비롯된다.
 * [[상사(행렬)|상사]]인 두 행렬 [math(A)], [math(B)]에 대해 [math( \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B))]. [math(\det)]도 마찬가지.
 * 이는 [math(A)]를 [[대각화]]한 행렬 [math(D)], [[삼각화]]한 행렬 [math(T)]에 대해서도 당연히 성립. [math(\det)]도 마찬가지.
 * 따라서 행렬식은 [[고윳값]]들의 곱이고, 주대각합은 고윳값들의 합이다. [math(D)], [math(T)]의 주대각성분은 고윳값들로 이루어져있기 때문이다. 복소수 범위에서 대각화 또는 삼각화는 항상 가능하기 때문에, 이 성질도 마찬가지로 항상 성립한다.[* 이 성질은  스칼라 체가 너무 후져서 대각화 또는 삼각화가 안되는 경우에도 특성다항식의 계수와 주대각합의 관계로 대신해서 생각해볼 수 있다. 이에 대해선 아래에 후술.]
 * [[멱등행렬]]의 경우, 주대각합은 계수와 같다.

=== 다른 개념들과의 관계 ===
위 성질들 때문에 행렬식과 관련된 성질이 굉장히 많아진다.
 * [math(n\times n)] 행렬 [math(A)]의 [[특성 다항식]]의 [math(n-1)]차항 계수는 [math( - \mathrm{tr}(A))]이다.
   [math(\displaystyle \det(xI-A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)}))]
 에서 [math(\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)}))]가 [math(n-1)]차 이상일 때만 [math(\det(xI-A))]의 [math(n-1)]차 항의 계수에 영향을 주는데, 그러한 경우는 [math(\sigma(i)=i)]인 경우 밖에 없음을 쉽게 확인할 수 있다.
 * [math( \det(e^A)=e^{\mathrm{tr}(A)} )]. 이때 [math(\displaystyle e^A= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^n )]이다. [[테일러 급수]] 참고.
 * 두 [[벡터]] [math(\mathbf{a})], [math(\mathbf{b})]에 대해서 [math(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathrm{tr}(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}))]가 성립한다. 기호 [math(\otimes)]는 [[텐서곱]]이다.

== 같이 보기 ==
 * [[행렬식]]

[[분류:선형대수학]]