[include(틀:해석학·미적분학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[超]][[越]][[函]][[數]] / transcendental function }}}

[[대수함수#s-1]]가 아닌 함수, 즉 다항함수가 포함된 다항식의 근으로 나타낼 수 없는 함수이다. 즉, 어떤 2변수 다항식 [math(\Phi)]가 [math(\Phi(x,f(x))=0)]을 만족시키면 [math(f)]는 대수함수라 할 수 있고, 그렇지 않은 함수들이 초월함수이다.[* 대수함수를 '다항함수에 사칙연산과 거듭제곱근 연산을 유한 번 적용해 얻는 함수'로 정의하는 것은 흔한 오개념 중 하나이다. 거듭제곱근으로 나타낼 수 없는 대수함수로는 [math(x^5+x+a=0)]의 실근을 나타내는 브링 근호(Bring radical) [math(\mathrm{BR}(a))]같은 함수들이 있다.] [[초등함수]]인 [[지수함수]], [[로그함수]], [[삼각함수]]는 모두 초월함수이다.[* 이 3개는 고등학교 2학년 수학1에 다 들어있다.] 반대로 대수함수이지만 초등함수가 아닌 함수도 많다. 대표적으로 [[브링 근호]]가 있다.

== 상세 ==
몇몇 중요하게 다뤄지는 초월함수들은 보통 '특수함수'라 부르고, 이들은 주로 주요 [[미분방정식]] 및 [[적분]]방정식의 풀이에 등장한다. 대표적으로 베셀의 미분 방정식 [math(x^2 y'' + xy' + (x^2-n^2)y=0)]을 풀었을 때 나오는 [[베셀 함수]](Bessel function)가 그 예이다. 이 함수는 원통좌표계(cylindrical coordinate system)가 들어간 물리현상이면 거의 무조건이라고 해도 좋다 싶을 정도로 등장한다. 특수한 경우가 아니면 일반적인 초등함수로 나타내어질 수 없기에 난해하지만, 삼각함수의 성질만큼이나 다양한 성질들을 가지고 있으며 활용되는 곳도 많다. 이공계 대학생이라면 기초 미적분학에서 [[쌍곡함수]]를 만나고, [[감마 함수]], [[베셀 함수]], [[르장드르 함수]] 정도는 [[공업수학]], [[수리물리학]]이나 각종 전공에서 심심치 않게 만난다. 미분방정식을 공부하면서 이들을 자세히 배우게 되니 잘 익혀두도록 하자. [[정수론]] 중 [[해석적 정수론]]을 해도 리만 제타 함수의 친척들인 [math(L)]-함수 등의 특수함수들을 지겹게 보게 될 것이다.

보통 초월함수라 하면 이 특수함수들을 의미하고, (경우에 따라 다르긴 하지만) [[소수 계량 함수]] 같은 불연속인 함수들은 잘 포함시키지 않는 편이다.[* 전술한 소수 계량 함수같이 [[정수론]]의 성격이 짙은 함수는 따로 [[산술함수]]라고 불린다.]

== 초월함수/특수함수들의 목록 ==
[include(틀:초등함수의 목록)]
[include(틀:특수함수의 목록)]
 * [[최대 정수 함수]]
 * [[최대 정수 함수#최소 정수 함수|최소 정수 함수]]
 * [[최대공약수]]
 * [[최소공배수]]
 * 켤레복소수 함수
 >[math(\overline{z} = z^* = \begin{cases}
\dfrac{|z|^2}{z} &\textsf{if }z\neq 0\\
 0 &\textsf{if }z=0
 \end{cases})]
 허수부의 부호를 반전시키는 함수이다.
 * 실수부/허수부 함수
 > [math(\Re(z)=\text{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2})]
 > [math(\Im(z)=\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i})]
 [[복소수]]에서 [[실수(수학)|실수]]부 혹은 [[허수]]부만을 취할 때 사용하는 함수이다.
 실수부 함수의 경우 [math((\Re\circ\Re)(z)=\Re(z))]가 성립하는 멱등함수이다.
 * [[부호 함수]][* 시그넘 함수(signum Function)라고도 한다.]
 > [math(\mathrm{sgn}(x)=\begin{cases}
 \dfrac{x}{\|x\|} &\textsf{if }x\neq 0\\
 0 &\textsf{if }x=0
 \end{cases})]
 [[절댓값]] 함수를 미분하면 나오는 함수로, 말 그대로 수의 부호를 판별한다. 일반적으로 양수를 넣을 경우 [math(1)]이, 음수를 넣을 경우 [math(-1)]이, [math(0)]을 넣을 경우 [math(0)]이 나온다. 주로 [[점화식]]에서 특정한 수의 부호만을 취할 때 사용한다. [math((\mathrm{sgn}\circ\mathrm{sgn})(x)=\mathrm{sgn}(x))]가 성립하는 멱등함수이다.
 그런데 [[복소수]]가 들어올 경우 이 함수가 고장(?)이 나버리는데, 분모의 절댓값(엄밀히는 [[노름(수학)|노름]])이 복소수에서는 정의가 달라지기 때문이다.[* 가령 [math(\mathrm{sgn}(1-i))]의 값은 [math(\dfrac{1-i}{\sqrt{\Re(1-i)^2+\Im(1-i)^2}}=\dfrac{1-i}{\sqrt{2}})]가 된다.][* 한편으로는 이 '고장난 부호 함수'에 흥미로운 점이 있는데, [math(0)]이 아닌 복소수의 함숫값은 반드시 [[원(도형)|단위원]] 위의 점이라는 것이다. 사실 복소수에서도 부호 함수의 작동 방식은 비슷한데, 실수에서는 수가 양 또는 음의 방향인가를 절댓값이 [math(1)]인 수로 나타내고, 복소수에서는 복소수가 향하는 방향(또는 편각)을 가지고 절댓값이 [math(1)]인 수로 나타낸다.]
  * 복소 부호 함수
  > [math(\mathrm{csgn}(z)=\begin{cases}
  \dfrac{\Re(z)}{\|\Re(z)\|}    &\textsf{if } \Re(z)\neq 0\\
  \dfrac{\Im(z)}{\|\Im(z)\|}    &\textsf{if } \Re(z)=0,\Im(z)\neq 0\\
  0                             &\textsf{if } \Re(z)= 0,\Im(z)= 0
  \end{cases})]
  위 부호 함수가 복소수에서 고장나는 맹점을 해결하기 위해 복소수용으로 따로 만든 함수. [[허수|순허수]]일 경우에만 허수부의 부호를 판별하고 그 외의 경우에는 실수부의 부호만을 판별한다.
 * '''[[삼각함수]]'''
  * [[싱크 함수]]
  >[math(\displaystyle\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin{x}}{x})]
  * [[역삼각함수]]
 * '''[[지수함수]]'''
  * [[테트레이션]] 함수
  * 초제곱근함수
  >[math(\sqrt{x}_s=e^{(W\circ\ln)(x)})][* [math(W(x))]는 [[람베르트 W 함수]]이다.]
 * '''[[로그함수]]'''
  * [[폴리로그함수]]
  * 초로그함수
  >[math(\mathrm{slog}_n(x):f(x)=n\uparrow\uparrow x\to x)]
  위의 테트레이션 함수의 역함수이다.
 * [[쌍곡선함수]]
 * [[정규분포|정규분포 함수]]
 * [[소수 계량 함수]]
 * [[감마 함수]]
  * [[감마 함수#폴리감마 함수|폴리감마 함수]]
 * [[베타 함수]]
 * [[제타 함수]]
 * [[타원 적분]]
 * [[르장드르 함수]][* 이 함수는 특수한 경우([math(P_n(x))]에서 [math(n)]이 정수일 때)에서는 '''다항식''' 꼴이 된다.], [[르장드르 함수#s-4.1|버금 르장드르 함수]], [[르장드르 함수#s-4.2|구면 조화 함수]]
 * [[베셀 함수]][* 이 역시 특수한 경우에 한해서 대수함수와 삼각함수의 조합으로 나타낼 수 있다.], 노이만 함수(제2종 베셀 함수), [[베셀 함수#s-4.1|한켈 함수]](제3종 베셀 함수), [[베셀 함수#s-4.2|수정 베셀 함수]], [[베셀 함수#s-4.3|구면 베셀 함수]], ...
 * [[오차함수]][* 五次函數(5차함수, quintic function)가 아니고 誤差函數(error function)이다.]
>[math(\displaystyle\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm{d}t)]
>[math(\displaystyle\mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}\mathrm{d}t)]
>[math(\displaystyle\mathrm{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{t^{2}}\mathrm{d}t)]
 * [[지수 적분 함수]] (exponential integral)[* [math(\displaystyle {e^x\over x})]의 부정적분에 대응한다.]
>[math(\displaystyle\mathrm{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t)]
 * [[로그 적분 함수]] (logarithmic integral)[* [math(\displaystyle {1\over\ln x})]의 부정적분에 대응한다.]
>[math(\displaystyle\mathrm{li}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t})]
>[math(\displaystyle\mathrm{Li}(x)=\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2)=\int_{2}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t})][* 위의 로그 적분이 피적분함수의 특이점을 포함하기 때문에 골치 아픈 점을 피해가기 위한 함수다.]
 * [[삼각 적분 함수|코사인/사인 적분]] (cosine and sine integrals)[* 각각 [math(\displaystyle{\cos x\over x})]와 [math(\displaystyle{\sin x\over x})]의 부정적분에 대응한다.]
>[math(\displaystyle\mathrm{Ci}(x)=-\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t)]
>[math(\displaystyle\mathrm{Si}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm{d}t)]
 * [[쌍곡선 적분 함수]] (hyperbolic integrals)[* 각각 [math(\displaystyle{\sinh x\over x})]와 [math(\displaystyle{\cosh x\over x})]의 부정적분에 대응한다.]
>[math(\displaystyle\mathrm{Shi}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sinh{t}}{t}\,\mathrm{d}t)]
>[math(\displaystyle\mathrm{Chi}(x)=\gamma+\ln x+\int_{0}^{x}\frac{\cosh{t}-1}{t}\,\mathrm{d}t)][* [math(\gamma)]는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다.]
 * [[프레넬 적분 함수|프레넬 코사인/사인 적분]] (Fresnel integrals)[* 각각 [math(\sin x^2)]와 [math(\cos x^2)]의 부정적분에 대응한다.]
>[math(\displaystyle S(x)=\int_{0}^{x} \sin t^2 \,\mathrm{d}t)]
>[math(\displaystyle C(x)=\int_{0}^{x} \cos t^2 \,\mathrm{d}t)]
 * [[에르미트 함수]] (Hermite functions)
>[math(\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}e^{-x^{2}})]
>[math(H_{0}(x)=1)]
>[math(H_{1}(x)=2x)]
>[math(H_{2}(x)=4x^{2}-2)]
>[math(H_{3}(x)=8x^{3}-12x)]
>[math(H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12)]
>[math(\cdots)]
주로 양자역학에서 단순 조화 진동자 문제를 풀었을 때 튀어나오는 놈이다. 얘도 [math(n)]이 정수일 때는 다항함수로 나타난다.
 * [[라게르 함수]] (Laguerre functions)
>[math(\displaystyle L_{n}(x)=\frac{e^{x}}{n!}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}(x^{n}e^{-x}))]
>[math(L_{0}(x)=1)]
>[math(L_{1}(x)=-x+1)]
>[math(2L_{2}(x)=x^{2}-4x+2)]
>[math(6L_{3}(x)=-x^{3}+9x^{2}-18x+6)]
>[math(24L_{4}(x)=x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)]
>[math(\cdots)]
 * [[라게르 함수#s-4.1|버금 라게르 함수]] (associated Laguerre functions)
>[math(\displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{n}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{k}L_{n+k}(x))]
수소 원자의 슈뢰딩거 방정식을 풀었을 때 반지름 방향의 해에서 나타난다.
 * [[체비쇼프 다항식]] (Chebyshev polynomial)
>[math(\displaystyle T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}(1-x^{2})^{1/2}}{(2n-1)!!}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}(1-x^{2})^{n-1/2})]
>[math(\displaystyle U_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}(n+1)}{(2n+1)!!\cdot(1-x^{2})^{1/2}}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}(1-x^{2})^{n+1/2})]
 * [[초기하함수]] (hypergeometric functions)
  * [[브링 근호]] (Bring radical)
  >[math(\mathrm{BR}(x)=-x\,{}_4{F}_3\left(\dfrac{1}{5},\,\dfrac{2}{5},\,\dfrac{3}{5},\,\dfrac{4}{5};\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{5}{4};\,-5\left(\dfrac{5x}{4}\right)^4\right))]
  초기하함수로 유도할 수 있는 함수로, 5차방정식의 실수해를 구할 때 쓰인다.
 * Whittaker functions
 * Mathieu functions
 * [[에어리 함수]] (Airy functions)
 * 클라우젠 함수 (Clausen function)
 * [[람베르트 W 함수]] (Lambert W function)
  * 지수함수의 일종인 [math(xe^x)]의 역함수이다.
 * [[후르비츠 제타 함수]] (Hurwitz zeta function)
 * [[헤비사이드 계단 함수]] (Heaviside step function)
 >[math(\theta(x)=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{sgn}(x)+1\right))][* [math(\theta(x))] 대신 [math(H(x), u(x))] 등을 쓰기도 한다. [math(u(x))]의 형태는 [[라플라스 변환]]을 다룰 때 자주 등장하는 형태이다.]
 [[홍철 없는 홍철팀|부호 없는 부호 함수]]. [[디랙 델타 함수]]의 원시함수이며, 디랙 델타 함수를 연구했던 [[올리버 헤비사이드]]의 이름을 따왔다.
 학자마다 [math(x=0)]의 함숫값의 정의가 다른데, 위 정의처럼 [math(\theta(0)=\dfrac{1}{2})]로 잡고 쓰는 사람이 있고, 함수 정의에 최소 정수 함수 [math(\left\lceil x\right\rceil)]를 사용해 [math(\theta(0)=1)]로 잡고 쓰는 사람도 있다.
 * 발판 함수 (ramp function)
 >[math(R(x)=\dfrac{x}{2}(\mathrm{sgn}(x)+1)=\dfrac{|x|+x}{2})]
 말 그대로 발판 모양의 그래프를 그리는 함수로, [math(x<0)] 구간에서는 함숫값이 모두 0이며, [math(x\geq 0)] 구간에서는 [math(y=x)]와 동일하다. [[기계학습]]에서는 ReLU (Rectified Linear Unit) 활성화 함수라고 부른다.
 또한 [math((R\circ R)(x)=R(x))]가 성립하는 멱등함수이다.
 * [[집합 판별 함수]]
 > [math(\bold{1}_A(x)=\begin{cases}1&\textsf{if }x\in A\\0&\textsf{if }x\notin A\end{cases})]
 원소가 해당하는 [[집합]]에 속해 있는가를 가리는 함수. 지시함수, 특성함수라고도 한다.
 여기서 [[유리수|[math(A=\mathbb{Q})]]]로 정의한 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}(x))]는 따로 디리클레 함수(Dirichlet Function)[* [[해석학(수학)#s-2.2|실해석학]]에서 '완전 불연속 함수'와 그에 대한 적분을 배울 때 나오는 녀석이다.]라는 이름으로 불린다.
 한편 [[자연수|[math(A=\mathbb{N})]]]으로 정의한 [math(\bold{1}_{\mathbb{N}}(x))]는 멱등함수이다.
 * 혹 함수 (bump Function)
 > [math(\mathrm{\Psi}(x)=\bold{1}_{\{x:\|x\|<1\}}e^{-\frac{1}{1-x^2}})]
 시험 함수(test function)라고도 하며, 분포(distribution)에 속하는 [[디랙 델타 함수]]를 정의하는 데 쓰인다.

 * [[바쁜 비버 함수]] (busy beaver function)

위 함수들에 대한 이론이나 적용은 관련 서적을 참고하기 바란다.

[[분류:해석학(수학)]][[분류:함수]]