[include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == {{{+1 collision · [[衝]][[突]]}}} 움직이는 여러 물체가 접촉하여 짧은 시간 내에 강한 상호작용으로 서로 힘을 미치거나, 그런 현상을 말한다. == 분석 == === 1차원 충돌 === [[파일:namu_일차원충돌_모식도.svg|width=270&bgcolor=#ffffff&align=center]] 두 질량 [math(m_{1})], [math(m_{2})]는 각각 일차원 상에서 속도 [math(u_{1})], [math(u_{2})]로 운동하고 있다. 이때, 두 물체의 충돌이 일어난 후 각각의 속도를 [math(v_{1})], [math(v_{2})]라 하자. 두 물체계에 가해진 외력이 없으므로 두 물체계의 [[운동량 보존 법칙|운동량은 보존]]된다.[* 충돌하는 극히 짧은 시간 동안 정지한 물체에 힘이 가해졌다고 생각할 수도 있으나, 아니다.해당 계 안에서 별도로 외부에서 작용한 힘은 없으므로 외력은 없다. 단 정지한 물체에만 입각해서(계를 축소해서) 본다면 외력이 작용했다고 볼 수 있다. 이 경우, 정지한 물체는 운동량이 0에서 충돌 후(외력 작용후) 일정 운동량을 가지며, 축소된 계를 기준으로 보면(충돌전 정지한 물체기준으로 보면) 운동량은 외력이 작용했으므로 보존되지않음을 알 수 있다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} \end{aligned} )] }}} 또, 모든 과정에서 에너지는 보존되어야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}+Q\end{aligned} )] }}} [math(Q)]는 충돌 과정에서 운동 에너지를 잃거나 얻을 수 있어 붙어진 양이다. 위 식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} T_{0}=T+Q \quad \to \quad \Delta T=-Q \end{aligned} )] }}} 으로 변형할 수 있는데, [math(Q>0)]이면 에너지를 잃었음, [math(Q=0)]이면 에너지가 보존되었음을, [math(Q<0)]이면 에너지를 얻었음[* [math(Q<0)]인 경우는 물체의 충돌 시 폭발같은 게 일어나는 경우이다.]을 의미하고 특히 [math(Q=0)]인 경우를 '''탄성 충돌'''이라 부른다.[* 대표적으로 당구공을 예시로 많이드나 당구공은 엄밀히 말하면 탄성충돌은 아니다 에너지가 완벽히 보존되지 않기 때문, 물론 마찰이나 공기저항 때문에 그런것도 있지만 무엇보다 바로 소리 때문이다. 운동에너지의 일부가 소리에너지로 변환되어버리기 때문에 탄성충돌이 아니다. 탄성충돌이 이상적으로 진짜 일어난다면 소리마저 나지않는다.] [anchor(반발 계수)] 더 쉬운 분석을 위해 '''반발 계수''' [math(\varepsilon)]이라는 물리량을 도입한다. 이것은 아래와 같이 충돌 전후 상대 속력의 비로 이루어져 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \varepsilon \equiv \frac{|v_{2}-v_{1}|}{|u_{2}-u_{1}| }\end{aligned} )] }}} 반발 계수는 [math(0 \leq \varepsilon \leq 1)] 사이의 값을 가지며 다음을 의미한다. ||
[math(\boldsymbol{\varepsilon=0})][br]{{{-2 '''(완전 비탄성 충돌)'''}}} ||두 물체가 충돌 후에 완전히 융합하여(엉겨붙어) 튕겨져 나가지 않는 경우. || || [math(\boldsymbol{0<\varepsilon<1})][br]{{{-2 '''(비탄성 충돌)'''}}} ||열의 방출이나 전자기파의 복사, 내부 에너지 변화 등을 수반함으로 충돌 후 운동 에너지가 보존되지 않는 경우. || || [math(\boldsymbol{\varepsilon=1})][br]{{{-2 '''(탄성 충돌)'''}}} ||운동 에너지가 충돌 후에 변하지 않는 충돌. || 반발 계수를 이용하여 [math(Q)]를 다음과 같이 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} Q=\frac{1}{2}\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{2}-v_{1})^{2}(1-\varepsilon^2) \end{aligned} )] }}} 또, 반발 계수를 이용하여 [math(v_{1})], [math(v_{2})]를 구해보면[* 초기 조건에서 [math(u_{1}>u_{2} )]여야 충돌이 일어날 수 있음에 유의한다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v_{1}&=\frac{(m_{1} - m_{2} \varepsilon )u_{1}+(m_{2} + m_{2} \varepsilon) u_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\ v_{2}&=\frac{(m_{1} + m_{1} \varepsilon )u_{1}+(m_{2} - m_{1} \varepsilon) u_{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} 와 같은데, 특수한 경우 [math(\varepsilon=0)], [math(\varepsilon=1)]이며 같은 질량일 때, 그 속력을 구해보면 ||
[math(\boldsymbol{\varepsilon=0})] ||[math(\displaystyle \begin{aligned} v_{1}=v_{2}=\dfrac{m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] || || [math(\boldsymbol{\varepsilon=1})][br]{{{-2 '''(같은 질량)'''}}} ||[math(\displaystyle \begin{aligned} v_{1}&=u_{2} \\ v_{2}&=u_{1} \end{aligned} )] || === 고차원 충돌 === [[파일:namu_이차원_충돌_모식도_NEW.svg|width=280&bgcolor=#ffffff&align=center]] 많은 충돌을 다루는 문제는 2차원 상황으로 국한시킬 수 있다. 2차원 충돌의 경우에는 목표 물체는 정지시키고, 다른 물체를 가속시켜 산란시키는 문제를 많이 사용한다. 이 문서에서도 해당 내용에 대하여 다룰 것이다. 분석의 용의성 때문에 실험실 좌표계와 질량중심 좌표계를 각각 도입하는데, 전자의 경우 목표 물체에 대하여 정지해있는 좌표계를 의미하며, 후자의 경우 두 물체의 질량중심을 원점으로한 좌표계를 의미한다. 두 좌표계에서 같은 충돌에 대한 과정은 위 그림에서 확인할 수 있다. 앞으로 소문자의 경우 실험실 좌표계에서 측정된 물리량, 대문자의 경우 질량중심 좌표계에서 측정된 물리량을 의미한다. 수준 상 고차원 충돌은 탄성 충돌하는 경우만 다루도록 한다. ==== 실험실 좌표계에서 분석 ==== 그림 '''(a)'''와 같이 [math(m_{1})]이 [math(\mathbf{u}_{1})]의 속도로 진행하다 정지한 [math(m_{2})]와 충돌 후 [math(m_{1})]은 산란각 [math(\theta_{1})], 속도 [math(\mathbf{v}_{1})]으로 [math(m_{2})]는 산란각 [math(\theta_{2})], 속도 [math(\mathbf{v}_{2})]로 진행한다. 일반적으로 실험실 좌표계에서 탄성 충돌 문제를 다루는 경우는 아래를 이용한다. 1. 운동량은 보존된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\mathbf{u}_{1}=m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{2}\mathbf{v}_{2} \end{aligned} )] }}} 1. 운동 에너지 또한 충돌 전 후 보존된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} \end{aligned} )] }}} 1. 그 외 문제 상황을 잘 이해하여 속력과 시간 등의 관계를 이용한다. 외력이 가해지지 않았기 때문에 계의 운동량은 충돌 전 후 보존된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\mathbf{u}_{1}=m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{2}\mathbf{v}_{2} \end{aligned} )] }}} 이것을 [math(x)]축 성분과 [math(y)]축 성분으로 써보면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}u_{1}&=m_{1}v_{1}\cos{\theta_{1}}+m_{2}v_{2}\cos{\theta_{2}} \\ 0&=m_{1}v_{1}\sin{\theta_{1}}-m_{2}v_{2}\sin{\theta_{2}} \end{aligned} )] }}} 양변을 제곱 후 두 식을 더하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}^{2}u_{1}^{2}&=m_{1}^{2}v_{1}^{2}+m_{2}^{2}v_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}v_{1}v_{2}(\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}) \\ m_{1}^{2}u_{1}^{2}&=m_{1}^{2}v_{1}^{2}+m_{2}^{2}v_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}v_{1}v_{2}\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})} \end{aligned} )] }}} 조금 더 간단한 경우를 다루기 위해 질량이 같은 경우 [math(m_{1}=m_{2}=m)]인 경우를 살펴보자. 그 경우 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m^{2}u_{1}^{2}&=m^{2}v_{1}^{2}+m^{2}v_{2}^{2}+2m^{2}v_{1}v_{2}\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})} \end{aligned} )] }}} 탄성 충돌의 경우 운동 에너지가 보존되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}mu_{1}^2=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}mv_{2}^{2} \quad \to \quad v_{2}^{2}=u_{1}^2-v_{1}^{2} \end{aligned} )] }}} 이것을 위 식에 대입함으로써 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} 2m^{2}v_{1}v_{2}\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}=0 \end{aligned} )] }}} 이것이 일반적으로 만족하려면 [math(\theta_1+\theta_2=\pi/2)]여야 함을 얻는다. '''즉, 질량이 같은 두 물체를 비스듬이 충돌시키면 두 산란각의 합은 직각이 된다.''' ==== 질량중심 좌표계에서 분석 ==== 질량중심 좌표계에서 측정한 계의 운동량의 합은 영벡터이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\mathbf{U}_{1}+m_{2}\mathbf{U}_{2}=m_{1}\mathbf{V}_{1}+m_{2}\mathbf{V}_{2}=\mathbf{0} \end{aligned} )] }}} 이렇게 되는 이유는 '''질량중심을 원점'''으로 잡았기 때문이다. 다르게 설명하면 위 식에서 계의 총 질량을 나눈 것은 곧 질량중심의 속도가 되는데, 우리는 질량중심을 원점으로 잡고, 그 원점에서 물체를 관측하는 프레임을 사용하기 때문에 [math(\bf{0})]인 것이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\mathbf{V}_{1}=-m_{2}\mathbf{V}_{2} \end{aligned} )] }}} 이고, 이것은 단순히 속도에 상수배를 한 것이므로 곧 충돌 후 물체는 평행하게 나아감을 의미한다. 그림에서도 산란각을 [math(\psi)] 하나만 쓴 것도 두 물체 모두 동일하기 때문이다. 질량중심의 속도는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{v}_{\sf{CM}}=\frac{m_{1}\mathbf{u}_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{1}\mathbf{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} 인데, 성립한 운동량 보존 법칙 [math(m_{1}\mathbf{u}_{1}=m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{1}\mathbf{v}_{1})]에 따라 '''질량중심은 충돌 전 후 같은 속도로 [math(\boldsymbol{x})]축 방향으로 이동함을 알 수 있다.'''[* [math(\mathbf{u}_{1})]이 [math(x)]방향의 벡터이기 때문이다.] 이것은 물체계의 질량중심은 외력이 없는 한 보존되기 때문이다. [[파일:namu_CM_4.svg|width=300&bgcolor=#ffffff&align=center]] 단, 벽에 충돌하는 상황 등 외력이 가해지는 순간이 오면 더 이상 질량중심의 운동량은 보존되지 않음에 유의한다. [math(\mathbf{U}_{1})]은 곧 질량 중심에 대한 [math(\mathbf{u}_{1})]의 상대속도이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{U}_{1}=\mathbf{u}_{1}-\mathbf{v}_{\sf{CM}}=\frac{m_{2}\mathbf{u}_{1}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} [math(\mathbf{U}_{2})] 또한 마찬가지 논리로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{U}_{2}=-\mathbf{v}_{\sf{CM}}=-\frac{m_{1}\mathbf{u}_{1}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} 이 또한 쉽게 증명 가능하다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{V}_{1}&=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{\sf{CM}} \\ \mathbf{V}_{2}&=\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{\sf{CM}}=-\frac{m_{1}}{m_{2}}\mathbf{V}_{1} \end{aligned} )] }}} 또한 이 좌표계에서도 에너지는 보존되어야 함에 따라서 탄성 충돌의 경우 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{P_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{P_{2}^{2}}{2m_{1}}=\frac{Q_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{Q_{2}^{2}}{2m_{1}} \end{aligned} )] }}} [math(P)]는 충돌 전, [math(Q)]는 충돌 후 운동량의 크기이다. 한편, 위 과정에서 질량중심 좌표계에서는 충돌 전후 각각의 운동량은 서로 반대 방향으로 평행하고, 그 크기는 같다고 했으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{P_{1}^{2}}{2} \left( \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}} \right)=\frac{Q_{1}^{2}}{2} \left( \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}} \right) \quad \to \quad {P_{1}^{2}}={Q_{1}^{2}} \end{aligned} )] }}} 이 말을 다시 말하면 [math(U_{1}=V_{1})]임을, 같은 논법으로 [math(U_{2}=V_{2})]임을 얻는다. 위의 내용을 반영한 '''(a)''' 벡터 관계도, '''(b)''' 성분 관계도이다. ||
[[파일:namu_고차원충돌_2_NEW_NEW.svg|width=600&bgcolor=#ffffff&align=center]] || 위 삼각형에 [[사인 법칙]]을 적용해보도록 하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\dfrac{m_{2}}{m_{1}}v_{\sf{CM} }}{\sin{\theta_{1} }}=\frac{v_{\sf{CM} }}{\sin{(\pi-(\theta_{1}+2\theta_{2}))}} \qquad \left( v_{\sf{CM}}=\frac{m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}} \right) \end{aligned} )] }}} 한편, [math(2\theta_{2}+\psi=\pi)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\dfrac{m_{2}}{m_{1}}v_{\sf{CM} }}{\sin{\theta_{1} }}=\frac{v_{\sf{CM} }}{\sin{(\psi-\theta_{1})}} \end{aligned} )] }}} 이것을 정리함으로써 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \psi=\theta_{1}+\arcsin{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin{\theta_{1}} \biggr)} \end{aligned} )] }}} 위의 결과에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{2}&=\frac{\pi}{2}-\frac{\psi}{2} \\&=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta_{1}}{2}-\frac{1}{2}\arcsin{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin{\theta_{1}} \biggr)} \end{aligned} )] }}} 이상에서 두 산란각의 합은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}+\theta_{2}&= \frac{\pi}{2}+\frac{\theta_{1}}{2}-\frac{1}{2}\arcsin{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin{\theta_{1}} \biggr)} \end{aligned} )] }}} 이상의 결과로부터 동일 질량이라면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}+\theta_{2}&= \frac{\pi}{2}+\frac{\theta_{1}}{2}-\frac{1}{2}\arcsin{(\sin{\theta_{1}})} \\&=\frac{\pi}{2} \end{aligned} )] }}} 이는 실험실 좌표계에서 유도했던 것과 동일하다. 또한 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}=\frac{\psi}{2} \end{aligned} )] }}} 로 질량중심 좌표계의 산란각과 실험실 좌표계의 산란각의 간단한 관계를 얻는다. 또 하나의 유용한 관계식으로 위 그림에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v_{1}\cos{\theta_{1}}&=v_{\sf{CM}}+V_{1}\cos{\psi} \\ v_{1}\sin{\theta_{1}}&=V_{1}\sin{\psi} \end{aligned} )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta_{1}}&=\frac{\sin{\psi}}{\dfrac{v_{\sf CM}}{V_{1}}+\cos{\psi}} \end{aligned} )] }}} 인데, 한편 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{v_{\sf CM}}{V_{1}}&=\frac{u_{1}}{U_{1}}\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} 이다. 위에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} U_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \end{aligned} )] }}} 이었으므로 곧 식의 값은 [math(m_{1}/m_{2})]가 된다. 즉, 다음의 관계식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta_{1}}&=\frac{\sin{\psi}}{\dfrac{m_{1}}{m_{2}}+\cos{\psi}} \end{aligned} )] }}} 이번에 살펴볼 내용은 운동 에너지와 관련된 것이다. 질량중심계에서 측정했기 때문에 운동 에너지는 '''실험실 좌표계에서 측정한 것과 상이함에 유의하여야 한다.''' 이 문단에서는 실험실 좌표계에서 측정한 운동 에너지는 기호 [math(T)]를, 질량중심 좌표계에서 측정한 운동 에너지는 기호 [math(K)]를 썼다. 충돌 전 실험실 좌표계에서 측정한 운동 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} T_{0}=\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2} \end{aligned} )] }}} 이다. 마찬 가지로 질량중심 좌표계에서 측정한 운동 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} K_{0}&=\frac{1}{2}m_{1}U_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}U_{2}^{2} \\&=\frac{1}{2}m_{1}\left( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\left( \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^{2}\\&=\frac{1}{2} \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} u_{1}^2 \\&=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}T_{0} \end{aligned} )] }}} 이다. 즉, 해당 상수배(1보다 작음)만큼의 운동 에너지로 측정된다. 탄성 충돌을 다루고 있기에 이 값은 충돌 전후 모두 같다. 추가적으로 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} K_{1}&=\frac{1}{2}m_{1}V_{1}^{2} \\&=\frac{1}{2}m_{1} \left( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^2 \\&=\left( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \right)^2 T_{0} \\ K_{2}&=\frac{1}{2}m_{2}V_{2}^{2} \\&=\frac{1}{2}m_{2} \left( \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^2 \\&= \frac{m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} T_{0} \end{aligned} )] }}} ==== 반발 계수 ==== 2차원 이상에서 반발 계수는 아래와 같이 정의된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \varepsilon=\frac{|\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}|}{|\mathbf{u}_{1}-\mathbf{u}_{2}|} \end{aligned} )] }}} 우리가 다뤘던 탄성 충돌이고, [math(\mathbf{u}_{2}=\mathbf{0})]인 경우를 살펴보자. 이 경우 [math(|\mathbf{u}_{1}-\mathbf{u}_{2}|=u_{1})]이다. 윗 문단의 벡터 관계도 및 성분 관계도를 참조해보면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle |\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{2}|=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}u_{1}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1}=u_{1})]}}} 이다. 따라서 2차원의 경우라도 탄성 충돌의 경우 [math(\varepsilon=1)]을 가지며, 충돌 후 상대 속도는 충돌 전 상대 속도와 같음을 알 수 있다. [math(\mathbf{u_{2}=\mathbf{0}})]인 경우만 살펴보았지만, 그것이 아닌 경우에도 성립한다. 단, 이 경우에는 [math(|\mathbf{u}_{1}-\mathbf{u}_{2}|=|\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{2}|=u_{1}-u_{2})]임에 유의한다. ====# 예제 #==== ||
[[파일:2018_09_수능모의고사_물리2_19번.png|width=400&align=center]] || || '''2018학년도 9월 수능 모의평가 물리 II 19번''' {{{-2 (오답률: 76.6%)}}} || '''[1]''' 실험실 좌표계에서 분석[* 꽤 정석적인 풀이이다. 수능 예비 응시생들은 한 번 자신만의 풀이를 만들어보는 것을 추천한다.] (가)에서 운동량 보존을 적용한다. 충돌 후 [math(m_{j})]의 속력을 [math(v_{j})]라 놓으면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}v&=m_{1}v_{1}\cos{30^{\circ}}+m_{2}v_{2}\cos{30^{\circ}} \\ 0&=m_{1}v_{1}\sin{30^{\circ}}-m_{2}v_{2}\sin{30^{\circ}} \end{aligned} )] }}} 위 식에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v_{2}=\frac{m_{1}}{m_{2}}v_{1} \end{aligned} )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} 2m_{1}v&=\sqrt{3}(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}) \\ &=2\sqrt{3}m_{1}v_{1} \\ \\ \therefore v&=\sqrt{3}v_{1} \end{aligned} )] }}} 탄성 충돌하였으므로 충돌 전 후 운동 에너지는 보존된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}m_{1}v^{2}&=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} \\ 3m_{1}v_{1}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}}v_{1}^{2} \\2m_{1}&=\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}} \\\\ \therefore m_{1}&=2m_{2} \qquad (\because m_{1}m_{2} \neq 0) \end{aligned} )] }}} (나)에서 운동량 보존을 적용한다. 충돌 후 [math(m_{j})]의 속력을 [math(V_{j})]라 놓으면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} 2m_{2}v&=2m_{2}V_{1}\cos{\theta}+m_{2}V_{2}\cos{60^{\circ}} \\ 0&=2m_{2}V_{1}\sin{\theta}-m_{2}V_{2}\sin{60^{\circ}} \end{aligned} )] }}} 게산을 조금 하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} 4v&=4V_{1}\cos{\theta}+V_{2} \\ 0&=4V_{1}\sin{\theta}-\sqrt{3}V_{2} \end{aligned} )] }}} 운동 에너지 보존을 사용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{2}v^{2}&=m_{2}V_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}V_{2}^{2} \\ v^{2}&=X^2+Y^2+\frac{1}{2}V_{2}^{2} \end{aligned} )] }}} 이 문제에서는 연립 방정식의 변수를 [math(V_{1}\cos{\theta} \equiv X)], [math(V_{1}\sin{\theta} \equiv Y)], [math(V_{2})] 이 세 개로 잡는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{cases}4v=4X+V_{2} \\4Y=\sqrt{3}V_{2} \\ 2v^2=2X^2+2Y^2+V_{2}^2 \end{cases})] }}} 이 방정식의 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} X&=\frac{5}{6}v \\ Y&=\frac{v}{2\sqrt{3}} \\ V_{2}&=\frac{2}{3}v \end{aligned} )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}=\frac{Y}{X}=\frac{\sqrt{3}}{5} \end{aligned} )] }}} '''[2]''' 질량중심 좌표계에서 분석 질량중심의 속력을 먼저 구하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v_{\sf{CM}}=\frac{m_{1}v}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} (가), (나)에서 속도 벡터 성분의 관계를 나타내는 삼각형은 각각 '''(a)''', '''(b)'''이다. [[파일:namu_이차원충돌_예제.svg|width=400&align=center]] '''(a)'''로부터 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{m_{1}v}{m_{1}+m_{2}}\sin{30\degree}=\frac{m_{2}v}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )] }}} 으로부터 [math(m_{1}=2m_{2})]를 얻는다. '''(b)'''를 살펴보자. 관계식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}&=\frac{\sin{\psi}}{\dfrac{m_{1}}{m_{2}}+\cos{\psi}} \end{aligned} )] }}} 를 사용하면 된다. [math(\psi=180\degree-2\cdot 60\degree=60 \degree)]이고, [math(m_{1}=2m_{2})]이므로 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}&=\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2+\dfrac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{5} \end{aligned} )] }}} == 기타 == * 1차원 충돌의 경우 [[물리학Ⅰ]]에서, 2차원 충돌의 경우 [[물리학Ⅱ]]에서 배우게 된다. 고등학교 물리학 수준에서는 실험실 좌표계에서만 분석을 한다. * 2차원 충돌의 경우 [[수능]]에서 변별을 가르는 영역 중 하나로, 정석적의 풀이 시 연립 방정식을 구성하여 빠르게 방정식을 풀 수 있는 능력을 측정하게 된다. 그러나 이 영역이 쉽게 하면 쉽게 풀리고 어렵게 하면 어렵게 풀리는 영역이라, 넘사벽으로 쉽게 푸는 사람들은 발상의 전환 등으로 연립 방정식을 구성하지도 않고 바로 풀어낸다. 특히 이 문서에서 소개된 질량중심 좌표계를 사용하여 쉽게 풀리는 문제도 몇몇 있다. 많은 연습이 필요한 부분이며, 과목의 응시 집단 특성상 상위권을 노리는 학생은 틀려선 안 되는 영역이다. * 위 내용은 [[강체]]인 경우에만 성립한다. 바꿔 말하면, 강체가 아닌 경우 상술한 내용과는 다른 움직임을 보일 수 있다.[* 가령, [[옷]] 두 벌을 공중에서 충돌시켰을 경우 자체 변형이 일어나면서 훨씬 복잡하게 운동하는 것을 볼 수 있다.] * 사회 용어로써, '입장이 다른 세력이나 집단이 서로 맞서 싸움' 이라는 뜻이 있다. * [[위키위키]]에는 [[편집 충돌]]이 있다. == 관련 문서 == * [[충돌 테스트]] [[분류:동음이의어]][[분류:물리학]]