[목차]

{{{+1 Cauchy's functional equation}}}
== 개요 ==
코시 함수 방정식이란 다음과 같은 함수 방정식을 말한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(f(x+y)=f(x)+f(y))]}}}
[[군(대수학)|덧셈군]] [math((G,+))]에 대하여 위를 만족하는 함수 [math(f:G\to G)]는 [math(G)]의 자기 준동형 사상이 된다. 유리수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수인 [math(f(x)=ax)]의 꼴뿐이지만([math(a)]는 상수), [[선택공리]]에 따르면 [[실수(수학)|실수]]의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수만 있지 않다. 더 나아가 복소수가 되면 선택공리조차 필요 없다. 켤레를 생각해보자.
== 유리수 범위 해법 ==
함수 [math(f:\mathbb Q\to\mathbb Q)]가 임의의 유리수 [math(x,y)]에 대하여 [math(f(x+y)=f(x)+f(y))]를 만족한다고 하자.

[math(x=y=0)]을 대입하면 [math(f(0)=f(0)+f(0))]이므로 [math(f(0)=0)]이다. 그리고 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(f(n+1)=f(n)+f(1))]이므로 [[수학적 귀납법]]에 의해 [math(f(n)=nf(1))]이 성립한다. 같은 방법으로 자연수 [math(m)]에 대하여 [math(f\!\left(\dfrac 1m\right)=\dfrac 1mf(1))]임도 알 수 있다. 이 두 가지를 결합하면 [math(f\!\left(\dfrac nm\right)=\dfrac nmf(1))]이므로, 임의의 양의 유리수 [math(q)]에 대해 [math(f(q)=qf(1))]이다.

양의 유리수 [math(q)]에 대하여 [math(f(q+(-q))=f(q)+f(-q))]이므로 [math(f(-q)=-f(q))]이다. 따라서 모든 유리수 [math(q)]에 대하여 [math(f(q)=qf(1))]이 성립한다.

[math(f(1)=a)]로 놓으면 [math(f(x)=ax)]를 얻는다.
== 실수 범위 해법 ==
함수 [math(f:\R\to\R)]가 임의의 실수 [math(x,y)]에 대하여 [math(f(x+y)=f(x)+f(y))]를 만족한다고 하자.

그러면 유리수에서와 같은 방법을 이용해, 임의의 유리수 [math(q)]와 임의의 실수 [math(x)]에 대하여 [math(f(qx)=qf(x))]임을 알 수 있다. 그러나 임의의 실수 [math(x)]에 대해 [math(f(x)=f(1)\cdot x)]임을 보이려면 다음과 같은 조건들 중 하나를 더 추가해야 한다.
 * [math(f)]가 어떤 한 점에서 미분가능하다.
 * [math(f)]가 어떤 한 점에서 연속이다.
 * [math(f)]가 어떤 열린 구간에서 단조이다.
 * [math(f)]가 어떤 열린 구간에서 [[유계]]이다.
이 네 가지 조건은 어느 하나만 추가하더라도 [math(f)]가 상수배 함수임이 유도되지만, 원래의 코시 함수 방정식만 만족하는 함수에는 상수배 함수가 아닌 것도 존재한다. 이를 바꾸어 말하면, 상수배 함수가 아닌 [math(f)]는 '''어떤 점에서도 미분가능하거나 연속이지 않으며, 어떤 열린 구간에서도 단조이거나 유계이지 않다'''는 굉장히 독특한 성질을 가진다.
== 상수배 함수가 아닌 해 ==
=== 존재성 ===
유리수체 위의 실수 집합은 [[벡터 공간]]을 이룬다. 선택공리에 의하면 벡터 공간은 임의의 선형독립인 부분집합에 대해 그것을 포함하는 기저가 존재한다. 그러면 [math(\{1\})]는 선형독립이므로 1을 원소로 가지는 기저 [math(\mathcal B)]가 존재한다. [math(\mathcal B)]가 이 벡터 공간의 기저이면 0이 아닌 임의의 실수 [math(x)]에 대하여 [math(\mathcal B)]의 유한 부분집합 [math(\{v_1,v_2,\dots,v_n\})]이 '''유일'''하게 존재하여 [math(x=a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_nv_n)]을 만족하는 0이 아닌 유리수 순서모음 [math((a_1,a_2,\dots,a_n))]이 '''유일'''하게 존재한다.

이때 아무렇게나 함수 [math(g:\mathcal B\to\R)]를 정의했을 때 [math(f(v_i)=g(v_i))]이 되도록 함수 [math(f)]를 정의하면 [math(f)]가 상수배 함수가 아니게 되는 것이 가능해진다. 예를 들어 [math(g)]를 다음과 같이 정의할 수 있다. ([math(v_i\in\mathcal B)])
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(g(v_i)=\begin{cases}1\,\ (v_i=1)\\ \\0\,\ (v_i\ne 1)\end{cases})]}}}
이렇게 정의하면 유리수 [math(q)]와 [math(\mathcal B-\{1\})]의 원소들을 유리수 계수 일차결합해서 만든 무리수 [math(\alpha)]가 있을 때, [math(q+\alpha)]의 꼴의 실수에서의 함숫값은 모두 [math(f(q))]와 같아진다. 따라서 [math(f)]는 상수배 함수가 아니다.
=== 성질 ===
이러한 함수의 그래프는 좌표평면을 조밀하게 메우게 된다. 예를 들어 위에서 정의한 함수 [math(f)]를 생각하면, [math(\left\{1, \sqrt 2\right\}\subset\mathcal B)] 라 할 때 [math((1,1),\left(\sqrt 2,0\right))]은 모두 [math(f)]의 그래프 위에 있다. 그런데 [math(f)]는 코시 함수 방정식을 만족하기 때문에 [math(f)]의 그래프 위의 점 [math(A,B)]와 유리수 [math(p, q)]에 대하여 [math(pA+qB)]도 항상 [math(f)]의 그래프 위에 있다. 즉, [math(\left(p+q\sqrt 2,p\right))]와 같은 점들은 모두 [math(f)]의 그래프 위에 존재한다.
== 관련 문서 ==
 * [[오귀스탱루이 코시]]
 * [[함수]]
 * [[방정식]]
 * [[선택공리]]
 * [[벡터 공간]]
[[분류:대수학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:집합론]][[분류:방정식]]