[include(틀:대수학)]
[include(틀:선형대수학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 Kronecker delta}}}

아래와 같이 정의되는 연산자이다. 기호는 그리스어 소문자 δ이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 0 &( i \neq j )\\ 1 & ( i = j ) \end{matrix}\right.)]}}} 
이는 [[집합 판별 함수]]를 이용해 아래의 형태로도 정의될 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\delta_{ij} = {\bold 1}_{\{i\}}(j) = {\bold 1}_{\{j\}}(i))]}}}
[[텐서]](tensor)에서는 [math(\delta_{j}^{i} )]이처럼 정의되기도 한다.
[math({i} )] 는 반변벡터(contravariant vector)인텍스(index)이고  [math({j} )]는 공변벡터(covariant vector) 인텍스(index)이다. 

[[논리 연산]]의 동치([math(=)])와 같은 연산이다. 입력 및 출력값이 [[이진법|0과 1]]밖에 없기 때문.

델타함수라는 이름을 가진 또 하나의 함수, [[디랙 델타 함수]]와는 다른 함수인데, 관점에 따라서는 디랙 델타 함수를 크로네커 델타 함수의 적절한 극한으로 생각할 수 있다. 예를 들어 이산적인(=단속적인=연속적이지 않고, 딱딱 떨어져 있는) 기저들간의 직교 관계를 크로네커 델타로 표현할 수 있는데, 기저들이 연속이 되는 극한에서는 직교성이 디랙 델타 함수로 표현된다.

[[게오르크 칸토어]]의 스승 레오폴트 크로네커의 이름을 따왔다. 크로네커는 '자연수는 신이 창조했다. 나머지는 모두 인간의 작품이다'라고 말했을 정도로 자연수빠로 유명했는데 크로네커 델타 역시 두 정수(대개의 경우 두 자연수) 사이에서 정의되는 정수값만을 가지는 함수이다.[* 복소해석학적으로 [math(\displaystyle \delta_{ab}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(a-b)x}dx)]로 정의할 수도 있다. 자세한건 [[푸리에 해석]] 참고. 다만 [math(a, b)]가 둘 다 정수여야 한다는 조건이 붙지만, 어차피 크로네커 델타는 기본적으로 두 정수값 사이에서 정의되는 함수이기 때문에 큰 차이는 없다.]

== 수학에서 ==
선형대수학에서는 주로 [[기저]](basis)를 표현할 때 쓰는 [math( e_n )]에 대해, [math(e_n)]이 정규직교기저인 경우에 한하여, 그 내적인 [math( e_i \cdot e_j )]가 크로네커 델타와 같은 표현이다.

== 물리에서 ==
물리에선 주로 [[텐서]]로된 물리량을 유도할 때 쓰인다. 그 대표적인 예가 질점계 혹은 강체계의 회전운동을 기술하는 [[관성 텐서]].
[math(\delta_{ij} =\delta_{j}^{i}= \left\{\begin{matrix} 0 &( i \neq j )\\ 1 & ( i = j ) \end{matrix}\right.)]
[[텐서]](tensor)에서는 [math(\delta_{j}^{i} )]이처럼 정의되기도 한다.
[math({i} )] 는 반변벡터(contravariant vector)인텍스(index)이고  [math({j} )]는 공변벡터(covariant vector) 인텍스(index)이다. 
[math(\delta_{j}^{i}= \left\{\begin{matrix} 0 &( i \neq j )\\ 1 & ( i = j ) \end{matrix}\right.)]
따라서
[math(\delta_{i}^{i}= 1)]
따라서
[math(\delta_{i}^{i}= g_{i}^{i}=  g_{ij}^{ij}= 1)]
따라서
[math(   g_{ij}^{ij}= g_{ij} g^{ij}= 1)]를 조사할수있다.
== 전자공학에서 ==
디지털 신호 처리에서 모든 수열은 아래와 같이 크로네커 델타 함수를 사용해 표현할 수 있고 증명이나 계산 등에서 편리하게 써먹을 수 있다. 크로네커 델타 함수를 평행이동 시킨걸 모아놓은 집합이 이러한 수열 공간의 정규직교기저(orthonormal basis)가 되는 셈이다. 수열을 급수로 바꾼다고 생각할 수도 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle x[ n] =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[ k] \delta [ n-k])]}}}
그리고 크로네커 델타 함수는 신호처리, 제어 등의 분야에서 디지털 시스템을 해석할 때 중요하게 다뤄진다. 일단 어떤 이산 시간 선형 시불변 시스템에 크로네커 델타 함수를 입력해서 얻은 출력을 [math(h[n])]이라고 정의한다. 그리고 크로네커 델타 함수를 [[이산 푸리에 변환|DTFT]]하면 1이 되는데 주파수 관점에서 봤을 때 모든 주파수 성분을 갖고 있다고 해석할 수 있다. 자세한 증명을 생략하고 결론만 말하면, 크로네커 델타 함수를 시스템에 입력해서 얻은 [math(h[n])]에는 시스템에 대한 모든 정보가 담겨있다. 이때 [math(h[n])]을 impulse response라고 부르며 [math(h[n])]만 알면 시스템을 완벽히 알 수 있으므로 일종의 만능함수 취급. 이산 시간 선형 시불변 시스템의 출력은 입력과 [math(h[n])]과의 합성곱(Convolution)이다. 즉 시스템에 크로네커 델타 함수를 입력해서 [math(h[n])]만 알아내면 어떤 입력에 대한 출력을 모조리 알 수 있다.

그리고 [math(h[n])]을 [[라플라스 변환|Z-변환]]하면 System function [math(H[z])]가 되고, DTFT하면 주파수 응답(Frequency response)가 되는데, 둘 다 시스템의 해석에서 매우 중요하게 다뤄진다. 추가로 연속 시간 시스템에서 크로네커 델타 함수와 같은 역할을 하는게 [[디랙 델타 함수]]이다.

== 관련 문서 ==
 * [[논리 회로]]
 * [[레비치비타 기호]]
 * [[크리스토펠 기호]]
[[분류: 미분 기하학 ]]
[[분류:대수학]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:물리학]]