[include(틀:다른 뜻1, other1=여러 함수의 테일러 급수, rd1=테일러 급수/목록)] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == [include(틀:영상 정렬, url=xE0QTkGmIHo?si=bz_Zye2ludw0ISz4)] {{{+1 Taylor series, Taylor expansion}}} 잉글랜드의 수학자 브룩 테일러가 18세기에 만든 여러가지 급수이다. 주어진 [[함수]]를 정의역의 특정 점의 [[미분계수]]들을 계수로 하는 [[다항식]]의 [[극한]]([[멱급수]])으로 표현하는 것을 말한다. '''테일러 전개'''(Taylor expansion)라고도 부른다. 간단히 설명하자면, 테일러 급수란 여러 번 미분가능한 함수 [math(f(x))]에 대해 [math(x=a)]에서 그 [math(f(x))]에 접하는 [[멱급수]][* 다항함수가 되기 위해서는 차수가 유한해야 한다. 테일러 급수의 경우, 차수가 무한히 커지기 때문에 '다항함수'라는 표현은 정확하지 않다.]로 표현하는 방법이라고 할 수 있다. 특히 [math(a=0)]에서의 테일러 전개는 자주 사용되며, 이를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)라고도 부른다. 원래 테일러 급수는 무한개의 항을 가진 멱급수를 통해 어떤 함수를 표현하는 것이지만, 실제로 사용할 때에는 편의를 위하여 몇 개의 항만 사용하여 [[근사]]의 형태로 활용한다. == 테일러 정리(Taylor's theorem) == 어느 [[구간#s-2]]에서 미분가능한 함수를 유한 테일러 다항식과 근접할수록 [math(0)]에 가까워지는 오차항(truncation error)의 합으로 표현할 수 있다는 정리. 우리가 보통 테일러 급수를 통해서 함수를 근사한다고 하는 것은 이 테일러 정리를 가리킨다. '접선'을 통해 함수를 근사하는 선형 근사(linear approximation)를 일반화한 다항함수 형태라고 생각하면 이해하기 쉬우며,[* 예를 들어, [math(e^x)]함수를 해보면 쉽게 알 수 있다.] 테일러 급수는 이 테일러 다항식에서 오차항을 없애고 무한차원까지 계속 확장한 것으로 볼 수 있다. 참고로 테일러 정리를 이용해 함수를 근사할 수 있단 점은 무한히 미분가능한(smooth) 실함수의 테일러 급수와 주어진 함수가 같단 것을 의미하진 않는다. 테일러 다항식의 차원을 계속 확장시켜도 다항식의 값은 전혀 생뚱맞은 값을 가지고 오차항이 사라지지 않을 수 있다! 대표적인 예로 [math(x>0)]에서는 [math(e^{-1/x})]로, 나머지에서는 [math(0)]으로 정의된 함수를 들 수 있는데, 이 함수를 [math(0)]에서 테일러 전개하면 언제나 0이 나온다. 테일러 급수가 그 급수를 만드는 데 사용된 함수와 같아지는 함수는 특별히 해석함수(analytic function)이라고 부른다. 한편, 실수와는 다르게[* 실함수는 [[병리적 함수|미분가능하거나 연속이지만 해석함수가 아닌 함수]]가 널려 있다.] 복소함수의 경우엔 함수가 열린 집합에서 한 번 미분가능(holomorphic)하면, 무한 번 미분이 가능함이 보장되며, 테일러 급수로 표현이 가능한 독특한 성질이 있다. 또한 오차항. 즉 '''나머지항(Reminder)'''은 코시의 형태와 라그랑주의 형태의 2가지 형태가 있는데 각각 다음과 같다. * 코시의 나머지항 [math(\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t_x)}{n!}(x-t_x)^{n}(x-a))]　(단, [math(a코시 적분 공식을 통한 복소해석적 증명 || ||정리: 함수 [math(f: A\subseteq\mathbb{C}\to\mathbb{C})]가 단순 닫힌경로 [math(\mathcal{C}:=\left|z-z_0\right|'''코시 적분 공식''': [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz})][br]'''일반화된 코시 적분 공식''': [math(f^{(n)}(z_{0})=\displaystyle{\frac{n!}{2\pi i}\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}dz})] || ||증명: [math(\mathcal{C}:\left|z\right|=r)] 내부의 점 [math(w)]에 대해서 증명하자. 코시 적분 공식인 [math(f(w)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z-w}dz})]에서 시작하자. [math(f(w)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z-w}dz})]는 [math(f(w)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z}\frac{1}{1-\frac{w}{z}}dz})]……① 그런데, [math(w)]는 [math(\mathcal{C}:\left|z\right|=r)] 내부의 점이다. 즉, [math(\left|\displaystyle{\frac{w}{z}}\right|<1)]임은 자명하다. 여기에 등비급수의 성질을 이용하자. [math(\left|t\right|<1)]에 대하여, [math(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}t^n=\frac{1}{1-t}})]라는 것은 잘 알려져 있다. 이제 [math(t=\displaystyle{\frac{w}{z}})]를 대입하면 [math(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{w}{z}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{w}{z}}})]……② ①에 ②를 대입하자. 즉, [math(f(w)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z}\frac{1}{1-\frac{w}{z}}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z}\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{w}{z}\right)^ndz})]라고 쓸 수 있다. 그런데 적분 내부는 [math(z)]에 대해서 적분하는 것이므로, [math(z)]와 관계 없는 [math(w)]는 상수 취급해서 적분기호 앞으로 빼낼 수 있다. 즉, [math(f(w)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}w^n\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z}\frac{1}{z^n}dz=\frac{1}{2\pi i}\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}w^n\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz})]……③ 여기에 일반화된 코시 적분 공식을 대입하자. [math(f^{(n)}(0)=\displaystyle{\frac{n!}{2\pi i}\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz})]이므로 [math(\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}})]……④ ③에 ④를 대입하자. [math(f(w)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}w^n\int_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}w^n})]가 된다. 이제 이걸 일반화시키기 위해 [math(\mathcal{C}:\left|z-z_0\right|=r)]로 두자. 즉 [math(w=z-z_0)]로 두면, [math(f(z)=f(w+z_0)=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\left(z-z_0\right)^n})]이 된다.■ || == [[다변수함수]]의 테일러 전개 == [[다변수함수]]의 테일러 전개는 다음과 같이 쓸 수 있다. [math( \displaystyle T[f(x_1,x_2,...,x_n))][math(]_{x_1 = a_1, x_2 = a_2, ..., x_n = a_n} )] [math( \displaystyle = f(a_1, a_2, ... , a_{n-1}, a_n) + \sum_k^n {\partial f(x_1, ..., x_n)\over \partial x_k}|_{x_1 = a_1, x_2 = a_2, ..., x_n = a_n} (x_k - a_k) )] [math( \displaystyle + {1\over 2!}\sum_{j,k}{\partial^2 f(x_1, ..., x_n)\over \partial x_j \partial x_k}|_{x_1 = a_1, x_2 = a_2, ..., x_n = a_n} (x_j - a_j)(x_k - a_k) + ... )] [[헤세 행렬]] [math( \displaystyle D^2_{ij} = H_{ij} = {\partial^2\over\partial_i\partial_j} )] 및 [math(\displaystyle Df(\vec{x}) = \nabla f(\vec{x}))]로 이차항까지 다시 쓰면 다음과 같이 정리된다. [math(\displaystyle T[f(\vec{x}))][math(]_{\vec{x}=\vec{a}} = f(\vec{a})+(\vec{x}-\vec{a})^T Df(\vec{a}) + {1\over 2!}(\vec{x}-\vec{a})^T D^2 f(\vec{a}) (\vec{x}-\vec{a}) + ... )] == 여담 == 발명자의 성씨인 테일러(Taylor)는 재단사라는 뜻이다. 재단사가 옷감을 수치를 맞춰 자르는 일을 한다는 것을 보면, 꽤나 절묘한 이름이다. [[http://www.3quarksdaily.com/3quarksdaily/2008/06/taylor-series-.html|이곳]]에 따르면 구 [[소련]]의 수리물리학자 [[이고르 예브게니예비치 탐]](Igor Yevgenyevich Tamm)[* [[체렌코프 현상]]의 해석으로 [[1958년]] [[노벨물리학상]]을 공동 수상하였다.]은 이것 덕분에 목숨을 건진 적이 있다고 한다. 이 일화는 일부 대학생들이 [[칼 세이건|"미분은 쓸데도 없는 걸 선생들이 학생들 괴롭히려고 만든 거다."]] 같은 소리를 할 때 유용하다고 한다. 러시아 혁명 중 수리'''물리학자'''였던 이고르는 반공주의 게릴라에 의해 '우크라이나에 반대하는 공산당 선동가'로 몰려서 잡혀갔다.[* 다만 이 사람은 실제로도 혁명을 지지하고 직접 1차대전 반전운동도 뛰었던 인물이라 맞는 말이긴 하다. 그러나 우크라이나 반공 게릴라에게 우크라이나에서 고등학교 나온 양반이 빨갱이로 몰렸으니 목이 달아날 처지라 어떻게든 둘러대야지...] 두목이 직업을 묻기에 '''수학자'''라고 대답했다. 두목은 총알을 세기 시작했다. 게릴라 두목은 >테일러 급수[* 정확히는 [math(x=0)]에서 근사한 매클로린 급수(Maclaurin's series).]에서 [math(n)]차항까지 근사할 때 생기는 오차항을 대라. 해내면 풀어주마. 못 하면 (수학자라는 건 거짓말로 간주하고) 총살하겠다. 라고 했다. 이고르는 다행히 목숨을 보전할 수 있었다는 이야기. 2013년 인터넷수능 영어독해 B형 마지막 문제에 장문으로도 출제된 유명한 일화이다.[* 추가로 이딴 문제를 낸 그 게릴라 두목은 대학원생이었다는 얘기도 있다.] 이딴 짓을 왜 하는가에 의문을 가질 수 있다. 테일러 급수나 푸리에 급수 등 급수전개는 '''미적분 계산이 어려운 해석함수를 계산이 쉬운 함수로 근사시키는 것'''[* 푸리에 급수도 계산이 상대적으로 쉬운 삼각함수의 선형결합이다.]으로서의 의미가 매우 크다. 고등학교나 학부생 1학년 수준의 미적분에서는 급수전개를 해야 할 정도로 어려운 미적분은 잘 나오지 않지만, 미분방정식만 접하더라도 급수해법을 적용해야하는 미분방정식은 왕왕 나온다. 대충 [math(f(x)= e^{-x^2} )] 같은 함수는 연속이기에 [[오차함수|역도함수]]가 존재하는 것은 알지만 저 모양 그대로 찾아내기란 쉬운 일이 아니다.[* 저 함수는 오히려 [math((-\infty, \infty))] 구간의 특이적분 값은 [math(\sqrt{\pi})]로 잘 알려져 있다. 값을 찾는 방법은 [[가우스 적분]]에 잘 나와 있다.] 이때 저 함수를 급수전개하여 다항함수로 바꾸어 적분하면 다항함수의 항별 적분 문제로 바뀌어 쉽게 구할 수 있다. 게다가 [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]] 같은 특정 무리수의 값을 계산하는 데 쓰이기도 한다. [math(e)]의 값은 [math(e^x)]의 매클로린 급수에 x=1을 대입하여 계산하고, [math(\pi)]의 값은 [math(4 \arctan x)]의 매클로린 급수에 1을 대입하여 계산했던 과거가 있다. 특히 [math(\lvert x-a\rvert \ll 1)], 즉 주어진 스케일에 대해 [math(x-a)]가 충분히 작다고 가정할 수 있을 경우 2차 이상의 오차항을 전부 생략할 수 있어 정말 어마무시하게 강력해진다. 이게 무슨 뜻이냐면 '''아무리 복잡한 해석함수라도 저 조건만 만족한다면 직선방정식 [math(a+bx)] 의 형태로 근사할 수 있다는 뜻이다!''' 실제로 물리학 문제를 풀 때 "테일러 급수로 1차항까지 전개" 를 넣는 순간 복잡했던 수식이 한번에 사르르 풀리는 것을 관찰할 수 있다. 만약 정확도가 부족할 경우 2차항이나 3차항까지 넣어서 계산하면 된다. 그야말로 물리학자의 영원한 친구 중 하나. 비슷한 성격으로 [[푸리에 급수]]가 있다. 다항함수 대신 [[삼각함수]]를 이용해 함수를 묘사하는 방법이다. [[분류:해석학(수학)]][[분류:급수(수학)]]