[include(틀:정수론)] [include(틀:특수함수의 목록)] '''폰 망골트 함수(Von Mangoldt function)'''는 [[특수함수]]의 하나로, [[자연수|[math(n\in\N)]]]에 대해 다음과 같이 정의된다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \Lambda(n) \equiv \begin{cases} \ln p & {\sf if} \,\, n=p^k, \,\, p\in\mathbb{P}, \,\, k\in\N \\ 0 & {\sf otherwise} \end{cases} )]}}}|| 여기서 [math(\mathbb{P})]는 [[소수(수론)|소수 집합]]이다. 위 정의식을 한 항으로 압축시켜 다음과 같이 나타낼 수 있다. ||
<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \Lambda(n) \equiv \dfrac{\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n) +{\bf1}_{\{1\}}(n)} )]}}}|| ||
{{{#!folding [유도 과정 보기] ------- 우선 소인수가 1개일 경우 1, 소인수가 1개가 아닌 경우 0인 경우를 정의하기 위해 다음과 같은 [[합성함수]]를 정의하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(( {\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n))] }}} 그리고 결과값을 내놓을 [[로그함수|로그함수]]를 여기에 곱해주자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n))] }}} 위 정의에 따라 소인수가 1개일 경우에만 그 수의 로그값을 얻는다. 그런데 이 정의에는 문제가 있다. [math(\omega(n))]은 소인수의 [[제곱수]]에서도 1의 값을 띠기 때문이다. 이때, [[로가리듬|로그]]의 성질에 의해 [math(\ln a^b = b \ln a)]가 성립하므로, 소인수 멱수 계량 함수를 나누어서 상쇄시킬 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n)})] }}} 여기까지 봐서는 큰 문제가 없는 듯하지만, [math(\Omega(n)=0)]을 만족하는 자연수가 존재한다. 다름아닌 1로, 위 식에 1을 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{\ln1 \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(1)}{\Omega(1)} = \dfrac00)] }}} 의 [[부정형]]이 되어 [[잘 정의됨|잘 정의된]] 함수가 아니다.[* 여기에 [[로피탈의 정리]]를 갖다 붙이려는 사람이 있을 수 있는데, 정의에 사용한 [math({\bf1}_{\{1\}}(n), \omega(n), \Omega(n))] 모두 '''[[도함수]]가 없기 때문에''' 로피탈의 정리를 쓸 수가 없다.] 그런데 부정형을 만드는 자연수는 1뿐이므로, 분모에 위에서 정의한 판별 함수를 더해주면 1에서도 잘 정의됨을 알 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{\ln1 \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(1)}{\Omega(1) +{\bf1}_{\{1\}}(1)} = \dfrac01 = 0)] }}} 최종적으로 폰 망골트 함수의 정의는 이렇게 유도된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \Lambda(n) \equiv \dfrac{\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n) +{\bf1}_{\{1\}}(n)})] }}} }}}|| 위에서 [math(\omega)], [math(\Omega)]는 [[소인수 계량 함수]], [math({\bf1}_{\{1\}})]는 [[소인수]]가 하나인 수만을 취하기 위한 1만을 원소로 갖는 집합의 [[집합 판별 함수|판별 함수]]이다. 분모의 [math({\bf1}_{\{1\}}(n))]은 [[0으로 나누기|[math(\Omega(n)=0)]]][* [math(\Omega(n)=0)]를 만족하는 자연수는 딱 하나 있다. 다름 아닌 [math(1)].]인 상황에서도 [[잘 정의됨|잘 정의]]하기 위한 것이다. 정의에 따라 [[소수(수론)|소수]]이거나 소수의 [[제곱수|거듭제곱으로 정의된 수]]인 경우 해당 소인수의 [[자연로그]]값을 띠며[* 예컨대 [math(\Lambda(2)=\Lambda(4)=\Lambda(8)=\cdots=\Lambda(2^n)=\ln 2)]가 성립한다.], 나머지 경우에는 [math(0)]이다. [[분류:비초등함수]][[분류:정수론]]