[include(틀:해석학·미적분학)]
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== 개요 ==
{{{+1 Analytic continuation / [[解]][[析]][[的]] [[連]][[續]]}}}

대개 [[복소해석학]]을 매개로, 기존 [[함수]]의 치역을 유지한 채 '''정의역을 더 넓은 범위로 확장하는''' 것을 뜻한다. 해석적 확장, 해석적 접속이라고 하기도 한다. 보통의 경우 해석적 확장은 해석함수(analytic function), 즉 어떤 점 근방에서건 [[테일러 급수]]가 존재하며 원래 함수로 수렴하는 함수로 이루어져야 하는 조건이 요구된다. 복소해석학에서는 열린 집합에서 미분가능한 함수는 항상 해석함수라는 사실이 알려져 있으므로[* [[실수(수학)|실수]]에서는 미분가능성이 복소수보다 조건이 약하므로, [[병리적 함수|미분 가능함에도 해석함수가 아닌 함수]]가 존재한다.], 해석함수로 확장하는 것은 복소수 위에서 미적분을 하기 위한 최소한의 조건인 것이다.

교과과정상에서 해석적 연속을 다루는 예로 '''[[삼각비]] → [[삼각함수]]'''가 있다. [[중학교 수학]]에서의 삼각비는 [[유클리드 공간]]상의 [[직각삼각형]]이라는 제약 때문에 정의역이 [math((0, \pi / 2))][* 중학교 과정에서는 [math(0\degree < \angle A < 90\degree)] 같은 식으로 표기한다.]로 제한되었으나, [[고등학교 수학]]으로 가면 '일반각'을 도입해 범위를 [[실수(수학)|실수]] 전체로 확장하는 과정을 거친다. 이후 [[쌍곡선 함수]]와 [[오일러 공식]]을 배우면 [[복소수]]로 한 번 더 범위를 확장할 수 있게 된다. 지수함수와 삼각함수의 0점에서의 테일러 급수는 복소평면 전체에서 수렴하기 때문에, 여기서 이루어지는 정의역의 확장은 해석함수로 이루어지는 해석적 연속이 됨을 알 수 있다. 물론 해석적 연속이 항상 유일하게 존재하는 것은 아니며, 아예 존재하지 않는 경우도 있다.

보통의 경우 해석적 연속은 [[복소해석학]]에서 이루어지는 것을 일컫지만, 정말 드물게 고급 [[정수론]]에서 자연수 위에 정의된 함수를 테일러 급수를 이용해 p진수체(p-adic number field)로 확장하는 Kubota-Leopoldt의 p진 L-함수(p-adic L-function) 등등의 이론도 해석적 연속이라 부르는 경우도 있다.

== 연속함수에서의 정의역의 확장 ==
관련된 성질로 [[위상수학]]의 [math(T_2)]공간이 지닌 성질이 있다. [math(T_2)] 공간에 대하여 [[연속함수]]는 다음 성질을 지니는 것이 증명되어 있다.
||<tablealign=center>[[위상 공간]] [math(X)]와 [math(T_2)] 공간 [math(Y)]에 대하여 [math(f, g: X\to Y)]가 연속함수라면 다음이 성립한다.
 * [math(X)]의 조밀부분집합 [math(D)][* 대충 말해서 X의 임의의 원소를 D내부의 원소의 극한으로 나타낼 수 있다는 뜻이다.]에 대하여 [math(\forall x \in D)]에서 [math(f|_{D}(x)=g|_{D}(x))]라면 [math(f=g)]
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※[math(f|_{D}, g|_{D})]는 정의역을 [math(D)]로 한정지은 함수 [math(f,g)]를 의미. ||
복소해석학에서 다루는 복소평면 [math(\mathbb{C})]와 실수 [math(\mathbb{R})]는 모두 유클리드 거리함수가 적용되는 거리 공간이므로 [math(T_4)] 공간인데, [math(T_4)] 공간은 [math(T_2)] 공간이기도 하므로 위의 전제조건을 만족시킨다. 다만 조밀부분집합에서 잘 정의되는 연속함수를 해석적연속시킬 일이 별로 없다는 게 함정. X의 위상을 잘 조작해서 D를 조밀하게 만들면 이젠 f가 불연속이 되는 진퇴양난에 빠지기 때문이다. 유클리드 거리를 사용하는 평범한 위상이 주어진 복소평면의 부분집합(실수 집합 [math(\mathbb{R})]도 마찬가지)은 복소평면상의 조밀부분집합이기 힘들기 때문에 위의 정리를 그대로 쓸 수는 없다. 때문에 실제론 [[귀류법|'''두 함수가 다르다고 가정하고''']] 두 함수의 차이를 새로운 함수로 둔 뒤, [[테일러 급수]]를 취하는 방법으로 모순을 보여서 두 함수가 같다는 것을 보이는 방법을 사용한다.

== [[복소해석학]]에서의 해석적 연속 ==

=== 일반적인 성질 ===
복소함수 [math(f : X \to \mathbb{C})]의 해석적 연속을 엄밀하게 정의한다면, [math(X)]를 포함하는 열린 집합 [math(U)]와 [math(\tilde{f}|_X = f)]를 만족시키는 해석함수 [math(\tilde{f} : U \to \mathbb{C})]의 쌍 [math((U, \tilde{f}))]로 생각할 수 있다.

해석적 연속의 정의에서 확장된 정의역 [math(U)]를 명시하는 이유는, [math(U)]에 따라서 가능한 해석적 연속이 달라질 수 있기 때문이다. 이것을 가장 명확히 볼 수 있는 예시가 [[복소로그함수]]인데, 복소로그함수 문서를 참고하면 임의의 편각 [math(\alpha)]에 대해 일반각 [math(\alpha)] 방향의 반직선을 잘라낸 집합 [math(U_{\alpha} = \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_{\ge 0} e^{i \alpha})] 위에서 정의된 로그함수의 해석적 연속을 생각할 수 있고, [math(\alpha)]가 변함에 따라 이들은 전부 다른 함수가 됨을 확인할 수 있다. 다만 열린 집합 [math(U)] 위에서 해석적 연속이 만약 존재한다면 그 해석적 연속은 유일하다. 이는 다음의 정리로 보일 수 있다.
||<tablealign=center>복소평면의 연결된 열린 집합 [math(U)] 위의 수열 [math(\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}})]이 [math(x \in U)]로 수렴하고, 두 해석함수 [math(f, g : U \to \mathbb{C})]가 모든 [math(n)]에 대해 [math(f(x_n)=g(x_n))]을 만족시키면, [math(f=g)]여야만 한다.||
따라서 해석적 연속을 정확하게 언급하려면 열린 집합을 명시하고 그 위에서의 해석적 연속을 생각하는 것이 맞고, 아니면 아예 가능한 모든 해석적 연속들의 모임을 모두 생각하는 경우도 있다.

어떤 점에서 테일러 급수가 수렴하는 근방을 찾을 수 있으면 그 점 근방에서 정의된 해석적 연속을 바로 생각할 수 있다. 예를 들어서 [math(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} z^n)]이라는 함수가 열린 영역 [math(|z|<1)]에서 정의되었다고 할 때, 점 [math(z=-1/2)]에서 [math(f)]의 [[테일러 급수]]를 구하면 [math(f_1(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (2/3)^n (z+1/2)^n)]임을 알 수 있고, 이 급수는 [math(|z+1/2|<3/2)]인 더 큰 원에서 수렴하므로 [math(f_1(z))]는 [math(f(z))]의 해석적 연속이 된다. 물론 이 예시에서는 [math(f(z)=1/(1-z))]임을 바로 관찰할 수 있지만, 미지의 함수의 해석적 연속을 찾고 싶을 때 정의역의 경계점에서의 테일러 급수를 생각하는 건 종종 유용한 테크닉이다.

물론 이런 방식이 항상 가능한 것은 아니다. 함수 [math(f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-2} z^{2^n})]는 닫힌 단위원 [math(|z|\le1)]에서 잘 정의된 [[연속함수]]이고 이 단위원의 열린 내부 [math(|z|<1)]인 위에서는 해석함수지만, 경계 [math(|z|=1)] 위의 어떤 점을 잡아도 테일러 급수가 존재하지 않는다. 일반적으로 모든 영역으로의 해석적 연속은 특수한 경우가 아니면 불가능하고, 따라서 보통 해석적 연속이 가능한 가장 넓은 영역을 찾는 것이 목표가 된다.

=== 해석적 연속의 활용 ===

=== 모노드로미(monodromy) ===
=== 리만 곡면(Riemannsche Fläche) ===
[[분류:해석학(수학)]]