[include(틀:선형대수학)]
[목차]

== 개요 ==
{{{+2 Matrix Multiplication}}}

[[행렬(수학)|행렬]]의 곱셈은 여타 행렬의 연산과 같이 '크기가 맞는' 경우에만 정의되는데, 행렬의 곱셈에서 '크기가 맞는다'는 것은 앞 행렬의 열의 수[* 한 행이 몇 개의 원소로 되어 있는지]와 뒷 행렬의 행의 수[* 한 열이 몇 개의 원소로 되어 있는지]가 같다는 것이다. 아래 곱셈의 정의를 보면 명확할 것이다.

곱셈 결과 나오는 행렬의 크기는 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br]{{{+1 ({{{#blue '''앞'''}}} 행렬의 [[행#행(行), 가로줄|{{{#blue '''행'''}}}]]의 수) [math(\times)] ({{{#red '''뒤'''}}} 행렬의 [[열(동음이의어)#열(列), 세로 줄|{{{#red '''열'''}}}]]의 수)}}}}}}
가 된다. 즉, 앞 행렬의 크기가 [math({\color{blue}m}\times n)]이고 뒷 행렬의 크기가 [math(n\times{\color{red}r})]인 경우, 곱셈 결과 나오는 행렬의 크기는 [math({\color{blue}m}\times{\color{red}r})]이 된다.
== 부자연스럽게 정의되는 이유 ==
행렬의 곱은 이렇게 꼬인다는 말이 나올 만큼 부자연스럽게 정의되는데, 이는 이런 부자연스러운 정의가 [[선형대수학의 기본정리]]에서의 [[선형변환]]과 [[행렬]] 사이의 함수의 합성과 행렬의 곱을 자유롭게 오갈 수 있도록 하기 때문이다. 이 부자연스러운 정의로 인해 유한차원 벡터공간 사이의 선형변환은 행렬의 곱으로 자유롭게 바꿔 쓸 수 있으며 반대도 물론 가능하다. 즉, '''둘은 완전히 동일하게 기능'''한다.[* 예를 들어 직교행렬, 유니타리 행렬 등을 직교변환, 유니타리변환 등의 선형변환으로 쓰는 것도 문제 없이 가능하다.] 함수의 합성으로 이해하여 결합법칙은 성립하지만 교환법칙이 성립하지 않는 것도 이러한 관점으로 설명이 가능하다. 즉, 행렬은 선형대수학에서는 '''일종의 함수'''라고 할 수 있다.

== 계산 방법 ==
두 행렬 [math(A, B)]가 각각 [math(m\times n, n\times r)] 행렬일 때,
 [math(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ {\color{blue}a_{21}} & {\color{blue}a_{22}} & {\color{blue}\cdots} & {\color{blue}a_{2n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}{\color{red}b_{11}} & b_{12} & \cdots & b_{1r} \\ {\color{red}b_{21}} & b_{22} & \cdots & b_{2r} \\ {\color{red}\vdots} & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\color{red}b_{n1}} & b_{n2} & \cdots & b_{nr}\end{pmatrix})]
이라고 하면 행렬의 곱 [math(AB)]는 [math(m\times r)] 행렬이며,
 [math(AB=\begin{pmatrix}\sum_k a_{1k}b_{k1} & \sum_k a_{1k}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{1k}b_{kr} \\ {\color{#C0C}\sum_k a_{2k}b_{k1}} & \sum_k a_{2k}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{2k}b_{kr} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{mk}b_{k1} & \sum_k a_{mk}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{mk}b_{kr}\end{pmatrix})]
이다. (단, [math(k=1,2,...,n)])

여기서 [math(AB)]의 [math(i)]행 [math(j)]열의 성분은 [math(\sum_k a_{ik}b_{kj})]로, [[내적|[math(A)]의 [math(i)]행의 각 성분과 [math(B)]의 [math(j)]열의 대응되는 성분의 곱을 모두 합한 것]]과 같다. 예를 들어 [math(AB)]의 2행 1열의 성분은 [math(\color{#C0C}{\sum_k a_{2k}b_{k1}})]로, [math(A)]의 {{{#blue 2행}}}의 각 성분과 [math(B)]의 {{{#red 1열}}}의 대응되는 성분끼리 모두 곱한 것을 합한 것과 같다. 따라서 [math(AB)]의 각 성분을 구하기 위해 필요한 [math(A, B)]의 성분의 개수는 각각 [math(n)]개임을 알 수 있다.

이를 보다 간단히 나타내면, 임의의 크기가 맞는 두 행렬 [math(A)], [math(B)]에 대하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math((AB)_{ij}=\sum_{k} A_{ik}B_{kj} )]}}}
이 성립한다. 복소행렬일 경우 [[에르미트 내적|에르미트성]]에 의해
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math((AB)_{ij}=\sum_{k} \overline{A_{ik}}B_{kj} = \sum_{k} A_{ik}\overline{B_{kj}})]}}}
로 바뀐다.

다음과 같이 생각하면 보다 이해하기 편하다. 행렬 [math(A, B)]에 대하여 그 곱 [math(AB)]를 구할 때,
|| || [math(B)] ||
|| [math(A)] || [math(AB)] ||
와 같이 배치하고, [math(AB)]의 각 성분 [math((AB)_{ij})]에 대해 그 성분이 있는 자리의 왼쪽에 있는 [math(A)]의 [math(i)]행과 위쪽에 있는 [math(B)]의 [math(j)]열을 찾는다. 그 행과 열의 대응되는 성분끼리의 곱의 합이 바로 그 성분의 값이 된다. 예를 들어
 [math(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix})]
일 때,
|| || [math(\begin{pmatrix}5 & {\color{red}6} \\ 7 & {\color{red}8}\end{pmatrix})] ||
|| [math(\begin{pmatrix}{\color{blue}1} & {\color{blue}2} \\ 3 & 4\end{pmatrix})] || [math(\begin{pmatrix}19 & {\color{#C0C}22} \\ 43 & 50 \end{pmatrix})] ||
여기서 [math((AB)_{12})]에 해당하는 값인 22는 [math(A)]의 1행과 [math(B)]의 2열의 대응되는 성분끼리의 곱의 합에 해당한다. 즉 다음과 같다.
 * [math({\color{blue}A_{11}}\times{\color{red}B_{12}}+{\color{blue}A_{12}}\times{\color{red}B_{22}}={\color{#C0C}(AB)_{12}})]
 * [math({\color{blue}1}\times{\color{red}6}+{\color{blue}2}\times{\color{red}8}={\color{#C0C}22})]

한편, [math(A)], [math(B)]에 [[허수단위]] [math(i)]를 곱한 복소행렬의 곱을 생각해보자. 두 행렬 중 한 행렬의 허수부 부호가 반대가 되므로, 아래와 같이 된다.
|| || [math(\begin{pmatrix}5i & {\color{red}6i} \\ 7i & {\color{red}8i}\end{pmatrix})] ||
|| [math(\begin{pmatrix}{\color{blue}i} & {\color{blue}2i} \\ 3i & 4i\end{pmatrix})] || [math(\begin{pmatrix}19 & {\color{#C0C}22} \\ 43 & 50 \end{pmatrix})] ||
 * [math({\color{blue}\overline{A_{11}}}\times{\color{red}B_{21}}+{\color{blue}\overline{A_{12}}}\times{\color{red}B_{22}} = {\color{blue}A_{11}}\times{\color{red}\overline{B_{21}}}+{\color{blue}A_{12}}\times{\color{red}\overline{B_{22}}} ={\color{#C0C}(\overline{A}B)_{12}} ={\color{#C0C}(A\overline{B})_{12}})]
 * [math({\color{blue}-i}\times{\color{red}6i}+{\color{blue}-2i}\times{\color{red}8i} = {\color{blue}i}\times{\color{red}-6i}+{\color{blue}2i}\times{\color{red}-8i}={\color{#C0C}22})]
=== 예시 ===
어느 학교에는 우등생을 따로 모아서 교육시키는 특별반인 '우수반'과 '수학반'이 있으며, 이들 반에서 학생을 선발하기 위해서 국어, 수학, 영어 과목에 각각 가중치를 둔다고 하자.

|| || 국어 || 수학 || 영어 ||
|| 김 || 80 || 90 || 60 ||
|| 이 || 75 || 80 || 90 ||
|| 박 || 90 || 95 || 65 ||
|| 최 || 99 || 70 || 70 ||
<표 A: 각 학생의 과목별 성적>

|| || 우수반 || 수학반 ||
|| 국어 || 3 || 1 ||
|| 수학 || 3 || 8 ||
|| 영어 || 4 || 1 ||
<표 B: 각 반의 과목별 가중치>

위와 같은 <표 A>와 <표 B>를 이용하여 김, 이, 박, 최 4명의 학생이 이들 각 반에 들어가려고 할 때의 가중치를 이용한 세 과목의 총점을 구하려고 한다. 이때 각 과목별로 (점수 × 가중치)의 총합을 계산하면 되는데, 여기서 행렬을 이용하면 편리하다.
 [math(A=\begin{pmatrix}80 & 90 & 60 \\ 75 & 80 & 90 \\ 90 & 95 & 65 \\ 99 & 70 & 70\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 3 & 8 \\ 4 & 1\end{pmatrix})]
일 때,
 [math(AB=\begin{pmatrix}80\cdot3+90\cdot3+60\cdot4 & 80\cdot1+90\cdot8+60\cdot1 \\ 75\cdot3+80\cdot3+90\cdot4 & 75\cdot1+80\cdot8+90\cdot1 \\ 90\cdot3+95\cdot3+65\cdot4 & 90\cdot1+95\cdot8+65\cdot1 \\ 99\cdot3+70\cdot3+70\cdot4 & 99\cdot1+70\cdot8+70\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}750 & 860 \\ 825 & 805 \\ 815 & 915 \\ 787 & 729\end{pmatrix})]
이다. 따라서 각 학생의 각 반별 가중치를 이용한 총점은 다음 표와 같다. 보다시피 앞 행렬의 행인 학생과 뒤 행렬의 열인 반이 대응되는 것을 볼 수 있다.

|| || 우수반 || 수학반 ||
|| 김 || 750 || 860 ||
|| 이 || 825 || 805 ||
|| 박 || 815 || 915 ||
|| 최 || 787 || 729 ||
=== 연산 횟수 ===
상기와 같이 정의된 두 행렬 [math(A, B)]의 곱 [math(AB)]를 계산하기 위한 연산 횟수는 다음과 같다.

먼저 [math(AB)]의 각 성분은 [math(\sum_k a_{ik}b_{kj})] (단, [math(i=1,2,...,m, j=1,2,...,r, k=1,2,...,n)])로 정의되므로, 이를 계산하기 위해 덧셈과 곱셈은 각각 [math(n)]회 필요하다. 또한 [math(AB)]의 성분의 개수는 [math(mr)]이므로, 전체 행렬곱을 계산하는 데 덧셈과 곱셈은 각각 [math(mnr)]회 필요하다. 따라서 총 연산 횟수는 [math(2mnr)]이다.

세 행렬 [math(A, B, C)]의 크기가 각각 [math(a\times b, b\times c, c\times d)]일 때, 이들의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하므로 곱하는 순서에 따라 결과가 달라지지 않는다. 단 다음과 같이 '''곱하는 순서에 따라 연산 횟수가 달라진다.'''[* [[컴퓨터공학]]에서 이것이 중요한 의미를 갖는데, 행렬을 곱하는 [[알고리즘]]의 [[시간 복잡도]]가 계산 순서에 따라 크게 달라질 수 있기 때문이다.] [math(AB, BC)]가 각각 [math(a\times c, b\times d)] 크기의 행렬임에 유의한다. 덧셈과 곱셈의 연산 횟수가 같으므로 여기서는 덧셈의 연산 횟수를 기준으로 한다.
 * [math((AB)C)] : [math(abc+acd=ac(b+d))]회
 * [math(A(BC))] : [math(abd+bcd=bd(a+c))]회
따라서 [math(A(BC))]의 순서로 곱하는 것이 더 빠르려면 [math(bd(a+c)<ac(b+d))]이어야 한다.

이때 연산 횟수의 차이는 [math(\min(a, c))]가 [math(\min(b, d))]보다 훨씬 크거나 훨씬 작을 때 극명하게 벌어진다.
 * [math(\min(a, c))]가 [math(\min(b, d))]보다 훨씬 클 때의 예시
  * 예를 들어 [math(A, B, C)]의 크기가 각각 [math(80\times 90, 90\times 70, 70\times 2)], 즉 [math(a, b, c, d)]가 각각 [math(80, 90, 70, 2)]일 때 각 경우의 연산 횟수는 다음과 같으므로, 전자의 연산 시간이 훨씬 많이 소요될 것으로 예상할 수 있다.
  * [math((AB)C)] : [math(80\times70\times(90+2)=515200)]회 (약 '''19.1배''')
  * [math(A(BC))] : [math(90\times2\times(80+70)=27000)]회
 * [math(\min(a, c))]가 [math(\min(b, d))]보다 훨씬 작을 때의 예시
  * 예를 들어 [math(A, B, C)]의 크기가 각각 [math(3\times 50, 50\times 5, 5\times 100)], 즉 [math(a, b, c, d)]가 각각 [math(3, 50, 5, 100)]일 때 각 경우의 연산 횟수는 다음과 같으므로, 후자의 연산 시간이 훨씬 많이 소요될 것으로 예상할 수 있다.
  * [math((AB)C)] : [math(3\times5\times(50+100)=2250)]회
  * [math(A(BC))] : [math(50\times100\times(3+5)=40000)]회 (약 '''17.8배''')
 * 위에 해당하지 않을 때는 비교적 작게 벌어진다.
  * 예를 들어 [math(A, B, C)]의 크기가 각각 [math(5\times 6, 6\times 500, 500\times 7)], 즉 [math(a, b, c, d)]가 각각 [math(5, 6, 500, 7)]일 때 각 경우의 연산 횟수는 다음과 같다.
  * [math((AB)C)] : [math(5\times500\times(6+7)=32500)]회 (약 1.53배)
  * [math(A(BC))] : [math(6\times7\times(5+500)=21210)]회

네 행렬 [math(A, B, C, D)]의 크기가 각각 [math(a\times b, b\times c, c\times d, d\times e)]일 때 마찬가지로 연산 횟수를 계산하면 다음과 같다.
 * [math(((AB)C)D)] : [math(abc+acd+ade=a(bc+cd+de))]회
 * [math((A(BC))D)] : [math(bcd+abd+ade=d(ab+ae+bc))]회
 * [math((AB)(CD))] : [math(abc+cde+ace=c(ab+ae+de))]회
 * [math(A((BC)D))] : [math(bcd+bde+abe=b(ae+cd+de))]회
 * [math(A(B(CD)))] : [math(cde+bce+abe=e(ab+bc+cd))]회

A가 n차 정사각행렬일 때, 거듭제곱 [math(A^k)]를 구하기 위한 덧셈 연산 횟수는 [math((k-1)n^3)]이며, 총 연산 횟수는 [math(2(k-1)n^3)]이다.

이와 관련된 알고리즘으로 [[연쇄 행렬 곱셈 알고리즘]]이 있다.
== 특수한 행렬의 곱셈 ==
두 행렬 [math(A, B)]에 대해서 그 곱 [math(AB)]가 정의될 때 다음이 성립한다.
 * [math(A)]가 정사각행렬일 때 [math(AB)]의 크기는 [math(B)]의 크기와 같다.
  * 예를 들어 [math(A, B)]가 각각 [math(3\times 3, 3\times 1)] 행렬이면 [math(AB)]의 크기는 [math(3\times 1)]이다.
 * [math(B)]가 정사각행렬일 때 [math(AB)]의 크기는 [math(A)]의 크기와 같다.
  * 예를 들어 [math(A, B)]가 각각 [math(3\times 2, 2\times 2)] 행렬이면 [math(AB)]의 크기는 [math(3\times 2)]이다.
 * 두 행렬 [math(A, B)]의 크기가 각각 [math(1\times n, n\times 1)]이면, 즉 [math(A, B)]가 각각 행벡터, 열벡터이면, [math(AB)]는 이들 벡터의 [[내적]]과 같다.
 * 두 행렬 [math(A, B)]의 크기가 각각 [math(m\times 1, 1\times n)]이면, 즉 [math(A, B)]가 각각 열벡터, 행벡터이면, [math(AB)]의 각 성분은 [math(A, B)]의 대응되는 성분끼리의 곱과 같다. 즉, 다음과 같다. 앞의 경우와는 달리 [math(A)]의 열의 개수와 [math(B)]의 행의 개수가 1로 고정되어 있으므로 [math(m, n)]의 값이 서로 달라도 된다.
 [math(AB=\begin{pmatrix}a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\ a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_mb_1 & a_mb_2 & \cdots & a_mb_n\end{pmatrix})]
 (단, [math(A=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_m\end{pmatrix}^T, B=\begin{pmatrix}b_1 & b_2 & \cdots & b_n\end{pmatrix})])
== 성질 ==
행렬의 곱셈을 각 성분 관점에서 보면 곱셈과 덧셈이 아울러 이루어진다. 다르게 말하면 앞 행렬의 행벡터와 뒤 행렬의 열 벡터의 [[내적]]값을 [[스칼라]]로 가지는 새로운 행렬을 얻는 과정이 바로 행렬의 곱셈이다.

즉, 행렬곱은 '''앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열이 대응되는 특성'''이 있기 때문에 일반적으로 [[교환법칙]]이 성립하지 않는다. 다만, '''[[결합법칙]]은 성립한다.'''

=== 교환법칙 ===
행렬곱에서 교환법칙은 대부분의 경우에 성립하지 않는다. 곱하려는 두 행렬이 행과 열의 개수가 같은 정사각행렬이 아니면 행렬의 '''크기 자체'''가 달라지며, 예를 들어 크기가 각각 [math(3\times 5, 5\times 3)]인 두 행렬을 곱할 때 순서에 따라 그 결과는 각각 [math(3\times 3, 5\times 5)] 크기의 행렬이 된다. 앞 행렬([math(A)])의 행의 수와 뒤 행렬([math(B)])의 열의 수가 다르면 [math(AB)]가 정의될 때 [math(BA)]가 '''정의조차 되지 않는다'''.

예를 들어
 [math(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix})]
일 때,
 [math(AB=\begin{pmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{pmatrix}, BA=\begin{pmatrix}23 & 34 \\ 31 & 46\end{pmatrix})]
이므로 [math(AB\ne BA)]이다.

따라서 행렬에서는 실수의 계산에서 쓰이는 [[곱셈 공식]]을 일반적으로 적용할 수 없다. 즉 예를 들어 다음과 같다.
 * [math((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\ne A^2+2AB+B^2)]
 * [math((A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2\ne A^2-B^2\ne A^2+AB-BA-B^2)]

==== 성립하는 경우 ====
교환법칙이 성립하는 경우는 다음과 같다.
 * 곱하려는 행렬 중 하나가 [[단위행렬]]이거나 [[영행렬]]인 경우
  * [math(IA=AI=A, OA=AO=O)]
 * 곱하려는 행렬 중 하나가 [math(kI)] 꼴인 경우
  * [math((kI)A=A(kI)=kA)]

따라서 이때는 다음과 같이 실수의 곱셈 공식을 그대로 사용할 수 있다.
 * [math((A+I)^2=A^2+AI+IA+I^2=A^2+2A+I)]
 * [math((A+I)(A-I)=A^2-AI+IA-I^2=A^2-A+A-I=A^2-I)]

또한 세 행렬 [math(A, B, C)]에 대해 서로 교환법칙이 성립할 때, 즉 [math(AB=BA, AC=CA, BC=CB)]일 때, [math(ABC=ACB=CAB=CBA=BCA=BAC)]이므로 곱하는 순서에 따라 곱셈 결과가 달라지지 않는다. 이는 4개 이상의 행렬이 서로 교환법칙이 성립할 때도 똑같이 적용된다.

그러나 [math(AB=BA, AC=CA)]일 때 [math(BC=CB)]라고 할 수는 없는데, [math(A=O, A=I)]와 같이 [math(A)]가 다른 행렬과의 교환법칙이 항상 성립하는 행렬인 경우 [math(B, C)]가 어떤 행렬인지와 무관하게 [math(AB=BA, AC=CA)]가 성립하기 때문이다.

두 행렬 [math(A, B)]에 대해 [math(AB=BA)]일 때, 이들의 [[역행렬]] [math(A^{-1}, B^{-1})]이 존재한다고 하면 [math(A^{-1}B^{-1}=B^{-1}A^{-1})]가 성립한다. 즉 역행렬에 대해서도 마찬가지로 교환법칙이 성립한다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다.
 * [math(A^{-1}B^{-1}=(BA)^{-1}=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1})]
마찬가지로 3개 이상의 행렬에 대해서 서로 교환법칙이 성립할 때 이들의 역행렬에 대해서도 역시 교환법칙이 성립하므로, 곱셈 순서에 따라 그 결과가 달라지지 않는다.

두 이차정사각행렬의 곱에 대해서 성립하기 위한 조건은 다음과 같다. 이 행렬을 각각
 [math(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}e & f \\ g & h\end{pmatrix})]
라고 할 때, [math(AB=\begin{pmatrix}ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh\end{pmatrix}, BA=\begin{pmatrix}ae+cf & be+df \\ ag+ch & bg+dh\end{pmatrix})]
이므로 교환법칙이 성립하려면
 [math(ae+bg=ae+cf, af+bh=be+df, ce+dg=ag+ch, cf+dh=bg+dh)]
가 성립해야 한다.

[[https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7Ba%2Cb%7D%2C%7Bc%2Cd%7D%7D*%7B%7Be%2Cf%7D%2C%7Bg%2Ch%7D%7D%3D%7B%7Be%2Cf%7D%2C%7Bg%2Ch%7D%7D*%7B%7Ba%2Cb%7D%2C%7Bc%2Cd%7D%7D|WolframAlpha]]에 따르면 이것을 만족시키는 해는 다음과 같다.
 * [math(b\ne0, g=\displaystyle\frac{cf}{b}, h=\displaystyle\frac{-af+be+df}{b})]
 * [math(b=0, c\ne0, f=0, h=\displaystyle\frac{-ag+ce+dg}{c})]
 * [math(b=0, c=0, a-d\ne0, f=0, g=0)]
 * 실수해: [math(b=0, c=0, d=a)]
=== 결합법칙 ===
행렬곱에서 결합법칙이 성립한다는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다.
두 행렬 [math(A, B, C)]가 각각 [math(m\times n, n\times r, r\times s)] 행렬이고 [math(k=1,2,...,n, l=1,2,...,r)]일 때,
 [math(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1r} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nr}\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1s} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{r1} & c_{r2} & \cdots & c_{rs}\end{pmatrix})]
이라고 하면 행렬곱 [math((AB)C)]는
 [math((AB)C=\begin{pmatrix}\sum_k a_{1k}b_{k1} & \sum_k a_{1k}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{1k}b_{kr} \\ \sum_k a_{2k}b_{k1} & \sum_k a_{2k}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{2k}b_{kr} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{mk}b_{k1} & \sum_k a_{mk}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{mk}b_{kr}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1s} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{r1} & c_{r2} & \cdots & c_{rs}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_l(\sum_k a_{1k}b_{kl})c_{l1} & \sum_l(\sum_k a_{1k}b_{kl})c_{l2} & \cdots & \sum_l(\sum_k a_{1k}b_{kl})c_{ls} \\ \sum_l(\sum_k a_{2k}b_{kl})c_{l1} & \sum_l(\sum_k a_{2k}b_{kl})c_{l2} & \cdots & \sum_l(\sum_k a_{2k}b_{kl})c_{ls} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_l(\sum_k a_{mk}b_{kl})c_{l1} & \sum_l(\sum_k a_{mk}b_{kl})c_{l2} & \cdots & \sum_l(\sum_k a_{mk}b_{kl})c_{ls}\end{pmatrix})]
또한 행렬곱 [math(A(BC))]는
 [math(A(BC)=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sum_l b_{1l}c_{l1} & \sum_l b_{1l}c_{l2} & \cdots & \sum_l b_{1l}c_{ls} \\ \sum_l b_{2l}c_{l1} & \sum_l b_{2l}c_{l2} & \cdots & \sum_l b_{2l}c_{ls} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_l b_{nl}c_{l1} & \sum_l b_{nl}c_{l2} & \cdots & \sum_k b_{nl}c_{ls}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_k a_{1k}(\sum_l b_{kl}c_{l1}) & \sum_k a_{1k}(\sum_l b_{kl}c_{l2}) & \cdots & \sum_k a_{1k}(\sum_l b_{kl}c_{ls}) \\ \sum_k a_{2k}(\sum_l b_{kl}c_{l1}) & \sum_k a_{2k}(\sum_l b_{kl}c_{l2}) & \cdots & \sum_k a_{2k}(\sum_l b_{kl}c_{ls}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{mk}(\sum_l b_{kl}c_{l1}) & \sum_k a_{mk}(\sum_l b_{kl}c_{l2}) & \cdots & \sum_k a_{mk}(\sum_l b_{kl}c_{ls})\end{pmatrix})]
로 나타낼 수 있다.

또는 행렬의 곱셈의 정의
 [math((AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj})]
를 이용하여 다음과 같이 유도할 수도 있다.
 * [math(((AB)C)_{ij}=\sum_l (AB)_{il}c_{lj}=\sum_l(\sum_k a_{ik}b_{kl})c_{lj})]
 * [math((A(BC))_{ij}=\sum_k a_{ik}(BC)_{kj}=\sum_k a_{ik}(\sum_l b_{kl}c_{lj}))] 

이때 [math(\sum_l(\sum_k a_{ik}b_{kl})c_{lj})]와 [math(\sum_k a_{ik}(\sum_l b_{kl}c_{lj}))] (단, [math(i=1,2,...,m, j=1,2,...,s)])를 비교하면 다음과 같이 서로 같다는 것을 알 수 있다.
 * [math(\sum_l(\sum_k a_{ik}b_{kl})c_{lj}=\sum_l \sum_k (a_{ik}b_{kl}c_{lj})=\sum_k \sum_l (a_{ik}b_{kl}c_{lj})=\sum_k a_{ik}(\sum_l b_{kl}c_{lj}))]
이것이 [math((AB)C, A(BC))]의 모든 성분에 대해 성립하므로, [math((AB)C=A(BC))], 즉 결합법칙이 성립한다.

네 행렬 [math(A, B, C, D)]에 대하여 그 곱 [math(ABCD)]가 정의될 때, 다음과 같이 [math(((AB)C)D=(A(BC))D=(AB)(CD)=A((BC)D)=A(B(CD)))]가 성립한다.
|| [math(((AB)C)D=(A(BC))D)]
[math(((AB)C)D=(ABC)D=AB(CD)=(AB)(CD))]
[math((A(BC))D=A((BC)D)=A(B(CD)))] ||

=== 분배법칙 ===
행렬의 곱셈에서는 다음과 같은 분배법칙이 성립한다.
 * [math(A(B+C)=AB+AC)]
 * [math((A+B)C=AC+BC)]
각각에 대해서 행렬의 곱셈의 정의를 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
 * [math((A(B+C))_{ij}=\sum_k A_{ik}(B+C)_{kj}=\sum_k A_{ik}(B_{kj}+C_{kj})=\sum_k A_{ik}B_{kj}+\sum_k A_{ik}C_{kj}=\sum_k(A_{ik}B_{kj}+A_{ik}C_{kj})=(AB+AC)_{ij})]
 * [math(((A+B)C)_{ij}=\sum_k (A+B)_{ik}C_{kj}=\sum_k(A_{ik}+B_{ik})C_{kj}=\sum_k A_{ik}C_{kj}+\sum_k B_{ik}C_{kj}=\sum_k(A_{ik}C_{kj}+B_{ik}C_{kj})=(AC+BC)_{ij})]

=== 기타 ===
 * 임의의 실수 [math(k)]에 대하여 [math(k(AB)=(kA)B=A(kB))]가 성립한다.
 * 행렬의 실수배 [math(kA)] ([math(k)]는 실수, [math(A)]는 행렬)는 행과 열의 개수가 각각 [math(A)]의 행의 개수와 같은 단위행렬 [math(I_r)]와 열의 개수와 같은 단위행렬 [math(I_c)]에 대해 행렬 [math(K_r=kI_r, K_c=kI_c)]를 이용하여 각각 [math(K_rA, AK_c)]로 나타낼 수 있다. 이 방법으로 행렬
 [math(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix})]
 의 [math(k)]배인
 [math(kA=\begin{pmatrix}k & 2k & 3k \\ 4k & 5k & 6k\end{pmatrix})]
 를 나타내면 다음과 같다.
  * [math(I_r)]을 이용: [math(A)]의 행의 개수는 2개이므로,
  [math(I_r=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, K_r=\begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}, kA=K_rA=\begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k & 2k & 3k \\ 4k & 5k & 6k\end{pmatrix})]
  * [math(I_c)]을 이용: [math(A)]의 열의 개수는 3개이므로,
  [math(I_c=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, K_c=\begin{pmatrix}k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k\end{pmatrix}, kA=AK_c=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k & 2k & 3k \\ 4k & 5k & 6k\end{pmatrix})]
  * 연산 횟수를 비교할 때, 행의 개수가 더 적으면 [math(I_r)]을, 열의 개수가 더 적으면 [math(I_c)]을 이용하는 것이 연산 횟수가 더 적으므로 효율적이다.
  * 정사각행렬의 경우에는 행과 열의 개수가 같으므로 [math(K_r, K_c)]를 앞과 뒤 어디든 추가해도 상관없다.
 * 일차정사각행렬을 제외하고 [math(A\ne O, B\ne O)]이지만 [math(AB=O)]인 경우가 있다. 예를 들어 다음과 같다.
  * [math(A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 0\end{pmatrix})] (이때 [math(AB=BA=O)])
  * [math(A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 0\end{pmatrix})] (이때 [math(AB=O, BA=A)], 이 경우에는 [math(B)]가 단위행렬이 아닌데도 다른 행렬 [math(A)]와의 곱이 [math(A)]와 같다.)
  * [math(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix})]
== 행렬의 거듭제곱 ==
임의의 행렬 [math(A)]를 여러 번 곱한 것을 행렬 [math(A)]의 거듭제곱이라고 한다. 행렬의 곱셈이 정의되는 원리에 의해 거듭제곱이 정의되려면 그 행렬은 행과 열의 개수가 같은 정사각행렬이어야 한다.

행렬 [math(A)]에 대해 자기 자신을 [math(k)]번 곱한 것을 [math(A^k)]라고 표시한다.

예를 들어
 [math(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]
이면 다음과 같다.
 * [math(A^2=AA=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]
 * [math(A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 6 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]

=== 규칙성 ===
특정한 형태의 행렬을 거듭제곱할 때 규칙성이 나타난다. 여기서는 다음을 모두 만족하는 경우에 한하여 소개한다.
 * 곱해지는 행렬의 모든 성분이 -1, 0, 1 또는 문자로 나타내어진 변수임
 * 곱한 결과 행렬의 모든 성분(일반항)을 숫자 및 연산 기호를 포함하고 아래 첨자를 제외하여 10개 이하의 문자로 나타낼 수 있음

 * [math(I^k=I, O^k=O)]
 * [math(A=\begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{pmatrix}1 & ka \\ 0 & 1\end{pmatrix})]
 * [math(A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ a & 1\end{pmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ ka & 1\end{pmatrix})]
 * [math(A=\begin{pmatrix}a & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{pmatrix}a^k & 0 \\ \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}a^i & 1\end{pmatrix})]
 * [math(A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & a\end{pmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{pmatrix}1 & \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}a^i \\ 0 & a^k\end{pmatrix})]
 * [math(A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ a & b\end{pmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ a\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}b^i & b^k\end{pmatrix})]
 * [math(A=\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & 1\end{pmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{pmatrix}a^k & b\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}a^i \\ 0 & 1\end{pmatrix})]
 * [math(A=\begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{pmatrix}a_{11}^k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22}^k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^k\end{pmatrix})]
 * [math(A=\begin{pmatrix}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1\end{pmatrix})]일 때, 즉 모든 원소가 1일 때, [math(A^k=\begin{pmatrix}n^{k-1} & \cdots & n^{k-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ n^{k-1} & \cdots & n^{k-1}\end{pmatrix})] (단, [math(A)]는 [math(n\times n)] 행렬)
 * [math(A=\begin{pmatrix}a & \cdots & a \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a & \cdots & a\end{pmatrix})]일 때, 즉 모든 원소가 [math(a)]일 때, [math(A^k=\begin{pmatrix}a^kn^{k-1} & \cdots & a^kn^{k-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a^kn^{k-1} & \cdots & a^kn^{k-1}\end{pmatrix})] (단, [math(A)]는 [math(n\times n)] 행렬)

=== [[제곱근행렬]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=제곱근행렬)]
== 아다마르 곱(Hadamard product) ==
이것은 행렬곱과 다르게 같은 크기의 두 행렬의 각 성분을 곱하는 연산(element-wise multiplication)이다. 크기가 같은 두 행렬
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(A=\begin{bmatrix}
A_{11}&A_{12}&\dotsm&A_{1n}\\
A_{21}&A_{22}& \dotsm &A_{2n}\\
\vdots& \vdots &\ddots&\vdots\\
A_{m1}&A_{m2}&\dotsm&A_{mn}
\end{bmatrix} \qquad \qquad B=\begin{bmatrix}
B_{11}&B_{12}&\dotsm&B_{1n}\\
B_{21}&B_{22}& \dotsm &B_{2n}\\
\vdots& \vdots &\ddots&\vdots\\
B_{m1}&B_{m2}&\dotsm&B_{mn}
\end{bmatrix} )]}}}
에 대하여 그 아다마르 곱은 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  A \circ B=\begin{bmatrix}
A_{11}B_{11}&A_{12}B_{12}&\dotsm&A_{1n}B_{1n}\\
A_{21}B_{21}&A_{22}B_{22}& \dotsm &A_{2n}B_{2n}\\
\vdots& \vdots &\ddots&\vdots\\
A_{m1}B_{m1}&A_{m2}B_{m2}&\dotsm&A_{mn}B_{mn}
\end{bmatrix} )]}}}

곱하는 두 행렬의 크기가 서로 같아야 하므로, 정의되기 위한 조건이 행렬의 덧셈이 정의되기 위한 조건과 동일하다.

아다마르 곱에서는 대응되는 각 성분을 단순히 곱한 결과를 성분으로 하므로, 실수의 곱셈에서와 같이 교환법칙과 결합법칙이 모두 성립한다. 교환법칙이 성립한다는 것이 일반적인 행렬곱과의 가장 큰 차이점이다.
== 컴퓨터에서 ==
 * [[Microsoft Excel]]에서는 MMULT 함수를 이용하여 행렬곱을 구한다. 자세한 것은 [[Microsoft Excel/함수 목록]] 문서 참고.
 * [[Python]]의 [[NumPy]] 라이브러리에서는 dot() 메소드를 이용하여 두 행렬의 곱을 구한다.

== 활용 ==
행렬곱은 사실상 행렬이 선형대수학적 의미로 쓰이는 모든 분야에서 쓰인다고 할 수 있다. 대표적으로 다음과 같다.
 * [[인공신경망]]의 다층 퍼셉트론 (Multi Layer Perceptron, MLP)
 * [[네트워크 이론]]에서의 [[인접행렬]](adjacency matrix)에서 길이가 [math(n>1)]인 걸음의 수 구하기

=== [[선형변환]]의 [[행렬표현]]과 행렬곱 ===
대칭변환, 회전변환과 같은 선형변환의 행렬표현에서 다음과 같은 의미를 갖는다.
 * 선형변환 [math(T_A, T_B)]의 행렬표현을 각각 [math(A, B)]라 하면, [math(AB)]는 어떤 도형에 [math(T_B)]를 적용하여 변환시킨 다음에 [math(T_A)]를 적용하여 또 한번 변환시키는 것을 의미한다. (합성변환)
 * 특정 행렬표현의 n제곱은 해당 선형변환을 n번 반복한다는 것을 의미한다.
따라서 다음과 같다.
 * 원점 대칭변환, 특정 직선에 대한 대칭변환, 3차원 이상의 좌표계에서 특정 평면, 입체 등에 대한 대칭변환 등 대부분의 대칭변환의 행렬표현의 제곱은 단위행렬 [math(I)]이다.
 * 원점을 중심으로 [math(\theta)]만큼 회전시키는 회전변환 행렬의 [math(\displaystyle\frac{2n\pi}{\theta})] (단, [math(n=1,2,...)])제곱은 단위행렬이다.

[include(틀:문서 가져옴, title=행렬(수학),paragraph=2.1.3,version=83, title2=행렬(수학),version2=83, paragraph2=2.1.3.1)]
[[분류:선형대수학]]